Απόδειξη και εφαρμογές της σχέσης του de Broglie

Άρθρο, Σεπτέμβριος 2002

Εισαγωγή

Κατά το de Broglie η κίνηση των ηλεκτρονίων στις κβαντικές τροχιές κατά Bohr, οδηγείται - διευθύνεται από μερικά μυστηριώδη οδηγά κύματα που η ταχύτητα διαδόσεως και το μήκος τους εξαρτώνται από τη ταχύτητα του ηλεκτρονίου. Υποθέτοντας πως το μήκος αυτών των οδηγών κυμάτων είναι αντιστρόφως ανάλογο προς την ταχύτητα των ηλεκτρονίων ο de Broglie μπόρεσε να δείξει ότι οι διάφορες κβαντικές τροχιές του ατόμου του υδρογόνου, στο πρότυπο του Bohr, ήταν αυτές που χωρούσαν ένα ακέραιο αριθμό οδηγών κυμάτων.

Το μοντέλο ενός ατόμου έμοιαζε λοιπόν με ένα μουσικό όργανο που παίζει ένα βασικό τόνο (που είναι η εσωτερική τροχιά n=1) και μερικούς ανώτερους αρμονικούς τόνους (τις εξωτερικές τροχιές για n=3, n=4 κλπ). 

Η πρώτη κβαντική τροχιά έφερε μόνο ένα οδηγό κύμα, η δεύτερη δύο, η τρίτη τρία κύματα κ.ο.κ.. Το μήκος λ του 1ου κύματος θα είναι το μήκος της τροχιάς δηλ. , στην δεύτερη τροχιά κοκ. Άρα η τροχιά με κβαντικό αριθμό n, φέρει n κύματα με μήκος

Απόδειξη της σχέσης

Γνωρίζουμε ότι η ακτίνα στη στιβάδα n δίνεται από τη σχέση:

Επίσης ότι η κεντρομόλος δύναμη ισούται με την δύναμη Coulomb:

ή  

Βγάζοντας την τετραγωνική ρίζα παίρνουμε τελικά:

 δηλαδή αν   :

τότε ο de Broglie μπορεί να ικανοποιήσει την επιθυμία του να εισαγάγει τέτοια κύματα, 1 κύμα στην 1η στιβάδα, 2 κύματα στην 2η στιβάδα κοκ. Στις παρακάτω εικόνες βλέπουμε τα οδηγά κύματα για την στιβάδα n=2 και n=3

Το αποτέλεσμα είναι σύμφωνο με την 1η εξίσωση του Bohr και συγχρόνως εισάγει αυτή τη νέα ιδέα του de Broglie. Η κίνηση των ηλεκτρονίων στις στιβάδες κατά Bohr συνοδεύεται από μυστηριώδη οδηγά κύματα, που αργότερα ονομάστηκαν κύματα de Broglie.

Δηλαδή αποδείχθηκε η συνθήκη κβάντωσης του Bohr, που την είχε ορίσει αυθαίρετα στο ατομικό του μοντέλο.

Αν όμως η θεωρία του ήταν σωστή έπρεπε μια δέσμη ηλεκτρονίων να παρουσιάζει φαινόμενα περίθλασης, όπως και τα άλλα κύματα, σε φράγματα με αποστάσεις παρόμοιες με το μήκος κύματος λ=10^-8 cm. Σαν τέτοια φράγματα θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν αντί για οπτικά φράγματα κρύσταλλοι, που τα κοντινά τους κρυσταλλικά επίπεδα απέχουν μεταξύ τους παρόμοιες αποστάσεις.

Δύο ειδικά παραδείγματα υποστηρίζουν την κυματική φύση των ηλεκτρονίων όπως δείχνει η υπόθεση του De Broglie. Είναι τα ξεχωριστά επίπεδα της ενέργειας του ατόμου (αριστερή κάτω εικόνα) και η περίθλαση των ηλεκτρονίων από επίπεδα του κρυστάλλου σε στερεά υλικά, με τη βοήθεια του πειράματος των Davisson-Germer (εικόνα κάτω δεξιά).

Στο πρώτο ιστορικό πείραμα των Davisson-Germer, ηλεκτρόνια χαμηλής ενέργειας σκεδάζονται, εν κενώ, από ένα στόχο νικελίου. Οι δύο επιστήμονες παρατήρησαν ότι τα σκεδαζόμενα ηλεκτρόνια είχαν μέγιστα και ελάχιστα. Αυτό κατά τη γνώμη τους οφείλετο  στα περιοδικώς διατεταγμένα κρασταλλικά επίπεδα των ατόμων (πάνω φωτογραφία), τα οποία έπαιζαν ρόλο φράγματος περίθλασης για τα προσπίπτοντα υλικά κύματα που οδηγούν τα ηλεκτρόνια.

Επίσης οι δύο φυσικοί συνέχισαν με σκέδαση όχι με δέσμες ηλεκτρονίων αλλά με μοναχικά ηλεκτρόνια. Και σε αυτήν την περίπτωση παρατήρησαν φαινόμενα μέγιστου και ελάχιστου. Έτσι έδειξαν ότι η περίθλαση δεν οφείλονταν στη συμβολή των υλικών κυμάτων διαφορετικών ηλεκτρονίων αλλά στα οδηγά κύματα που συνοδεύουν ένα και μόνο ηλεκτρόνιο.

Ακολούθως ο Σκώτος φυσικός G.Thomson παρατήρησε περίθλαση ηλεκτρονίων σε υμένια χρυσού και σήμερα γίνονται πειράματα με νετρόνια, άτομα ηλίου και άτομα υδρογόνου.

 Αναφορές: Κβαντομηχανική Berkeley, Στ. Τραχανά, Serway, Ο κβαντικός κόσμος του J. C. Polkinghorne, Το κβαντικό Σύμπαν των Tony Hey & Patrick Walters καθώς και το βιβλίο της Γ! Λυκείου Κόκκοτα, Περιστερόπουλου κλπ.