Μια περίεργη ιδιοπεριστροφή
Το σπιν των σωματιδίων

Άρθρο, Ιούνιος 2002

Το σπιν είναι ίσως το πιο σπουδαίο εγγενές (φυσικό) χαρακτηριστικό των σωματιδίων μαζί με τη μάζα και το φορτίο τους. Υπάρχει όμως μεγάλη σύγχυση για το τι περιγράφει το σπιν των σωματιδίων. Αν περιγράφει την στροφορμή ενός σωματιδίου λόγω της ιδιοπεριστροφής του, τότε πρέπει να παραδεχθούμε ότι ένα τέτοιο σωματίδιο, σαν το ηλεκτρόνιο, είναι καθαρά σωματίδιο κι όχι ένα ηλεκτρονιακό νέφος όπως γνωρίζουμε από την Κβαντική Φυσική. Αν πάλι το σπιν είναι η ιδιοστροφορμή των σωματιδίων, τότε σαν ιδιοστροφορμή θα μπορεί να αλλάζει, όμως το κβαντικό σπιν έχει πάντα σταθερή τιμή.

Οι μαθητές των σχολείων είναι αλήθεια πως το ηλεκτρόνιο το φαντάζονται σαν ένα σωματίδιο που κάνει δύο κινήσεις: μία γύρω από τον πυρήνα και μία γύρω από τον εαυτό του. Λόγω της πρώτης κίνησης έχει μια τροχιακή στροφορμή L, ενώ  λόγω της δεύτερης έχει και μια δεύτερη στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής S, που την ονομάζουμε σπιν.

Το μοντέλο όμως αυτό για το σπιν ενώ δουλεύει στην Κλασσική Φυσική, είναι τελείως λανθασμένο στα πλαίσια της Κβαντικής Μηχανικής. Γιατί το σπιν είναι μια εγγενή κβαντική ιδιότητα των σωματιδίων τελείως διαφορετική από την γνωστή ιδιοστροφορμή της Κλασσικής Φυσικής.

Η ιδιοστροφορμή (σπιν) της Κβαντικής Μηχανικής έχει τελείως ανάλογες ιδιότητες με την τροχιακή στροφορμή L των σωματιδίων. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της τροχιακής στροφορμής L² , είναι μια κβαντισμένη ποσότητα, όπως και η τιμή της προβολής της Lz πάνω στον άξονα z:  
L²=(h/2π)²*l(l+1) , όπου L=0,1,2,3...    το μέτρο της τροχιακής στροφορμής ή ο δευτερεύων κβαντικός αριθμός, ενώ η προβολή του L στον άξονα z,
L_z=(h/2π)*m_l, όπου ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός m_l=-L...0...+L αρχίζει από την τιμή -L και τελειώνει στην τιμή +L.

Όμοια για το τετράγωνο της στροφορμής λόγω ιδιοπεριστροφής ισχύει ένας ανάλογος τύπος: s²=(h/2π)²*s(s+1), όπου o κβαντικός αριθμός s παίρνει ακέραιες ή ημιακέραιες θετικές τιμές: s=0,1/2,1,3/2,2,5/2,3...    
ενώ η προβολή του διανύσματος s πάνω στον άξονα z:   s_z=(h/2π)*m_{s ,}   όπου ο κβαντικός αριθμός m_s=-s...0...+s αρχίζει από την τιμή -s και τελειώνει στην τιμή +s.

Βλέπουμε λοιπόν ότι ο κβαντικός αριθμός s του σπιν μπορεί να πάρει και ημιακέραιες τιμές, ενώ και ο κβαντικός αριθμός l της τροχιακής στροφορμής μόνο ακέραιες τιμές.

Η ύπαρξη ημιακέραιων τιμών του σπιν είναι μια πρώτη ένδειξη ότι διαφέρει από την τροχιακή στροφορμή των σωματιδίων. Μια δεύτερη ένδειξη είναι ότι ενώ το σπιν είναι ένα εγγενές χαρακτηριστικό του σωματιδίου, που δεν αλλάζει ποτέ, η τροχιακή στροφορμή αλλάζει. Έτσι ενώ τα πρωτόνια, ηλεκτρόνια και νετρόνια έχουν σπιν πάντα 1/2, το φωτόνιο έχει σπιν μηδέν ενώ τα μεσόνια ακέραιο σπιν.

Συνεπώς δεν μπορούμε να θεωρήσουμε το σπιν των σωματιδίων, ότι ταυτίζεται με την στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής των σωμάτων της Κλασσικής Φυσικής.

Το σπιν του ηλεκτρονίου

Δύο κατηγορίες πειραματικών φαινομένων που έγιναν την δεκαετία του 1920, υπέδειξαν μια επιπρόσθετη ιδιότητα του ηλεκτρονίου. Η μία κατηγορία ήταν ο διαχωρισμός των φασματικών γραμμών σε δύο γειτονικές γραμμές πολύ κοντά η μία με την άλλη, ένα φαινόμενο που λέγεται λεπτοδομή.

Η άλλη κατηγορία ήταν το πείραμα των Stern-Gerlach, που κατέδειξε το 1922 ότι μια ακτίνα ατόμων αργύρου που κατευθύνετο μέσω ενός ανομοιογενούς μαγνητικού πεδίου διαχωρίζεται σε δύο ακτίνες.

Και τα δύο πειράματα ήταν συνεπή με την κατοχή μιας εγγενούς στροφορμής και μιας μαγνητικής ροπή από τα μοναχικά ηλεκτρόνια. Κλασσικά αυτό θα μπορούσε να συμβεί αν το ηλεκτρόνιο θεωρηθεί σαν μια μικρή περιστρεφόμενη φορτισμένη σφαίρα, και αυτή η ιδιότητα είναι που ονομάζουμε spin του ηλεκτρονίου.

Μαγνητική ορμή λόγω spin ηλεκτρονίου

Επειδή το ηλεκτρόνιο εμφανίζει μια εγγενή στροφορμή, μπορεί κάποιος να περιμένει και μια μαγνητική ορμή λόγω αυτής της ιδιοστροφορμής. Η συνιστώσα z της μαγνητικής ορμής θα περιμέναμε να συσχετίζεται με το σπιν ως εξής:

αλλά όμως η πειραματική τιμή του είναι διαφορετική και σχεδόν διπλάσια αυτής:

όπου ο παράγοντας g ονομάζεται γυρομαγνητικός λόγος του Lande και για το σπιν του ηλεκτρονίου έχει τιμή g = 2.00232 ενώ για την τροχιακή στροφορμή του g=1. Η ακριβής τιμή του g προβλέφθηκε από την σχετικιστική κβαντική μηχανική στην περίφημη εξίσωση του Dirac και μετρήθηκε στο πείραμα του Lamb. Μια φυσική σταθερά που φάνηκε στον χειρισμό των μαγνητικών φαινομένων ονομάζεται μαγνητόνη του Bohr. Η μαγνητική ροπή συνήθως εκφράζεται σαν πολλαπλάσια της μαγνητόνης του Bohr.

Πρέπει να σημειώσουμε ότι η απλή κβαντική θεωρία προβλέπει ότι το g = 2 τόσο για το ηλεκτρόνιο όσο και για το μιόνιο.

Οι δύο τιμές του σπιν προξενούν έναν ενεργειακό  διαχωρισμό εξαιτίας της μαγνητικής ροπής του ηλεκτρονίου που είναι αρνητική: 

Η αρνητική τιμή φανερώνει ότι τα διανύσματα της μαγνητικής ροπής και του σπιν είναι αντίρροπα. Αν μάλιστα τα σωματίδια υποβληθούν στην επίδραση ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου και ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος κατάλληλης συχνότητας είναι δυνατή η αντιστροφή του σπιν. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό σαν μαγνητικός συντονισμός.

Παρόλο τον κβαντικό του χαρακτήρα το σπιν είναι, όπως αναφέραμε και πιο πάνω, και μια εγγενώς σχετικιστική ιδιότητα της ύλης. Μπορεί να εξηγηθεί μόνο στα πλαίσια της Σχετικιστικής Κβαντικής Μηχανικής με βάση την εξίσωση του Dirac, που αντικαθιστά την εξίσωση του Schrodinger στην περίπτωση που οι ταχύτητες είναι πολύ μεγάλες.

Η εξίσωση του Dirac εξηγεί επίσης και την μαγνητική ανωμαλία του σπιν, όπως έχει αποκληθεί η διαφορά ενός παράγοντα δύο στις σχέσεις που δίνουν τις μαγνητικές ροπές και  που προκαλούνται από την τροχιακή στροφορμή και το σπιν αντίστοιχα. Για ίσες στροφορμές αυτή που συνδέεται με το σπιν δημιουργεί διπλάσια μαγνητική ροπή.  Αυτό μας δικαιολογεί γιατί το σπιν είναι κατά κάποιο τρόπο δύο φορές πιο "μαγνητικό" από την τροχιακή στροφορμή.

Απαγορευτική Αρχή του Pauli

Όλα τα σωματίδια με ακέραιο αριθμό spin (0,1,2,...) μπορούν να εποικούν απεριόριστα μια δεδομένη κβαντική κατάσταση, ενώ αντίθετα τα σωματίδια με ημιακέραιο αριθμό spin (1/2, 3/2,...) για να συγκατοικήσουν θα πρέπει να έχουν τουλάχιστον έναν από τους 4 κβαντικούς αριθμούς (n, l, m_l και σπιν s) διαφορετικό.

Τα σωματίδια της πρώτης κατηγορίας λέγονται μποζόνια γιατί ικανοποιούν την στατιστική Bose-Einstein ενώ τα δεύτερα λέγονται φερμιόνια, αυτά που υπακούουν στην Απαγορευτική Αρχή του Pauli.

Αν τα ηλεκτρόνια δεν ακολουθούσαν την Απαγορευτική Αρχή του Pauli, τότε δεν θα μπορούσαν να σχηματίσουν τα άτομα χημικές ενώσεις, ούτε και το περιοδικό σύστημα.