Η διαστολή του χρόνου στη Γενική Σχετικότητα

Άρθρο, Ιούνιος 2004

Γιατί σε σημεία που το βαρυτικό πεδίο είναι ισχυρότερο, τα ρολόγια "τρέχουν" με πιο αργούς ρυθμούς; Η απάντηση βρίσκεται στα πλαίσια της Γενικής σχετικότητας και μπορούμε να δώσουμε μια απλή εξήγηση χωρίς να καταφύγουμε στις γενικές εξισώσεις πεδίου του Einstein.

Ένα από τα κεντρικά σημεία στα οποία στηρίχτηκε η Γενική Σχετικότητα, είναι η λεγόμενη αρχή της ισοδυναμίας. Αυτή λέει ότι όλοι οι νόμοι της φυσικής έχουν την ίδια μορφή σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί ελεύθερη πτώση, με αυτή που θα είχαν σε ένα σύστημα αναφοράς εκτός πεδίου βαρύτητας.
Η αρχή αυτή εύκολα μπορεί να μας οδηγήσει και σε ένα άλλο συμπέρασμα. Ότι δηλαδή ένα σύστημα που επιταχύνεται προς μια κατεύθυνση με επιτάχυνση g είναι ισοδύναμο με ένα άλλο ακίνητο, που βρίσκεται μέσα σε πεδίο βαρύτητας έντασης  έντασης ίσης με g, και αντίθετης φοράς. Αυτή η απλή πρόταση έχει πολλές και σημαντικές συνέπειες, μια από τις οποίες είναι και η διαστολή του χρόνου από το πεδίο βαρύτητας.

Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα αναφοράς, όπως λ.χ. ένα πύραυλο ύψους h που κινείται προς τα επάνω με επιτάχυνση g (αριστερό μέρος του σχήματος), και ένα ρολόι στο επάνω μέρος του πυραύλου, που στέλνει φωτόνια προς το πάτωμα με σταθερό ρυθμό. Η συχνότητα των φωτονίων αυτών - πιο σωστά η περίοδός τους - χρησιμοποιείται ως μονάδα για τη μέτρηση του χρόνου από το ρολόι αυτό. 

Αν ο πύραυλος επιταχύνεται προς τα επάνω με g, τότε το δάπεδο μέσα στο χρόνο που χρειάζεται ένα φωτόνιο για να φτάσει από την οροφή στο δάπεδο, θα έχει αποκτήσει ταχύτητα

v=gh/c

όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός η οποία είναι σταθερή. 

Σύμφωνα τότε με το φαινόμενο Doppler για το φως, το φως όταν θα φτάσει στο πάτωμα, θα έχει υποστεί μια μετατόπιση συχνότητας προς το μπλε που δίνεται σε πρώτη προσέγγιση από τη σχέση:

Δf = vf/c ή Δf=ghf/c² ή Δf/f = gh/c²

όπου f είναι η συχνότητα των φωτονίων που στέλνει το ρολόι-πηγή της οροφής. 

Είναι εύκολο να δούμε ότι η σχετική αυτή μεταβολή της συχνότητας αντιπροσωπεύει επίσης τον αυξημένο ρυθμό καταγραφής των φωτονίων όπως τον μετράει ένας παρατηρητής στο δάπεδο. 

Ο παρατηρητής λοιπόν του δαπέδου, αν διαθέτει ένα πανομοιότυπο ρολό με αυτό της οροφής είναι αναγκασμένος να συμπεράνει ότι, το ρολόι της οροφής τρέχει με γρηγορότερο ρυθμό από το δικό του, κι έτσι εξηγεί την υψηλότερη συχνότητα των φωτονίων που λαμβάνει.

Αν λοιπόν υποτεθεί ότι η επιτάχυνση διαρκεί κάποιο χρονικό διάστημα t σύμφωνα με το ρολόι της οροφής, ο παρατηρητής του δαπέδου θα αντιλαμβάνεται ότι το ρολόι της οροφής έχει προηγηθεί του δικού του κατά Δt σύμφωνα με τη σχέση:

Δt/t = gh/c²

Με άλλα λόγια, αντιλαμβάνεται ότι το ρολόι της οροφής πηγαίνει πιο γρήγορα από το δικό του ή ότι το δικό του είναι πιο αργό - μένει πίσω. 

Αν επικαλεστούμε τώρα την αρχή της ισοδυναμίας που αναφέραμε στην αρχή, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι και η βαρύτητα φέρνει το ίδιο αποτέλεσμα. Ένας παρατηρητής στο δάπεδο ενός ακίνητου πυραύλου που βρίσκεται ακίνητος στο πεδίο βαρύτητας ας πούμε της Γης, θα αντιλαμβάνεται ότι το δικό του ρολόι πάει πίσω σε σχέση με ένα ρολόι που βρίσκεται υψηλότερα στην κορυφή του πυραύλου. (Δεξιό μέρος του σχήματος).
μάλιστα αν θυμηθούμε ότι η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων με υψομετρική διαφορά h σ' ένα π.χ. ομογενές πεδίο βαρύτητας δίνεται από τη σχέση:

Δφ = gh

τότε καταλήγουμε στη σχέση που δίνει τη διαστολή του χρόνου μέσα στο πεδίο βαρύτητας:

Δt/t = Δφ/c² 

Η πειραματική επαλήθευση της μετατόπισης Doppler της συχνότητας του φωτός λόγω πεδίου βαρύτητας, και συνεπώς της επιβεβαίωσης της αρχής της ισοδυναμίας, έγινε ήδη από τη δεκαετία του 1960.