Ο Ινδο-Αμερικανός μαθηματικός Srinivasa Varadhan βραβεύθηκε με το βραβείο Abel

Άρθρο, Απρίλιος 2007

Η Νορβηγική ακαδημία γραμμάτων και επιστημών απένειμε τον Μάρτιο, το βραβείο Abel για το 2007 στον Srinivasa S.R. Varadhan, καθηγητή μαθηματικών στο Ινστιτούτο Courant της Νέας Υόρκης. Βραβεύτηκε για τη θεμελιακή συνεισφορά του στη θεωρία πιθανοτήτων και πιο συγκεκριμένα για τη δημιουργία μιας ενοποιημένης θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων. Το βραβείο συνοδεύεται από το ποσό των 850.000 δολαρίων.

Ο Srinivasa Varadhan γεννήθηκε στο Μαντράς της Ινδίας το 1940. Έκανε τις βασικές του σπουδές στο πανεπιστήμιο του Μαντράς, ενώ πήρε το διδακτορικό του από το Ινστιτούτο στατιστικής της Καλκούτας το 1963. Ο Srinivasa Varadhan γνωστός στον κόσμο των μαθηματικών με το υποκοριστικό Ραγκού, πρωτοπήγε στο Ινστιτούτο Courant του πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης ως μεταδιδακτορικός συνεργάτης το 1963 και έκτοτε δούλεψε όλα του τα χρόνια στο ίδιο ινστιτούτο. Το ινστιτούτο Courant είναι ένα από τα μεγαλύτερης φήμης κέντρα για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά.

Αν και η δουλειά του είχε συχνά ως κίνητρα προβλήματα από γειτονικά πεδία έρευνας όπως είναι η μαθηματική φυσική και οι διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, ο Varadhan δούλεψε κυρίως στο χώρο των πιθανοτήτων.

Ιστορικά, η θεωρία πιθανοτήτων ξεκίνησε σαν μια προσπάθεια να κατανοηθούν τα τυχερά παιχνίδια στα οποία διακυβεύεται κάποιο στοίχημα. Στα παιχνίδια αυτά υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός δυνατών αποτελεσμάτων, και ο στόχος είναι να μπορέσουμε να βρούμε την πιθανότητα να έρθει καθένα από τα αποτελέσματα. Αν και αυτό ακούγεται απλό, τα προβλήματα αυτά απαιτούν συχνά μεγάλη δόση επινοητικότητας. Παρόλα αυτά όμως το ενδιαφέρον στη θεωρία πιθανοτήτων πέρασε βαθμιαία σε σημαντικότερα και πιο δύσκολα ζητήματα.

Τα προβλήματα αυτά συχνά έχουν να κάνουν με το τι συμβαίνει αν κανείς επαναλαμβάνει το ίδιο πείραμα ξανά και ξανά. Οι μαθηματικοί νόμοι που διέπουν τα επαναλαμβανόμενα αυτά πειράματα λέγονται οριακοί νόμοι, καθώς περιγράφουν τι συμβαίνει στο όριο όταν το πείραμα εκτελείται όλο και περισσότερες φορές. Θα αναφερθούμε παρακάτω σε δύο τέτοιους οριακούς νόμους με τους οποίους όλοι σχεδόν έχουμε μια επαφή.
Για να περιγράψουμε τον πρώτο από αυτούς τους νόμους, ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε ένα νόμισμα πάρα πολλές φορές. Αν το νόμισμα είναι τίμιο, θα περιμέναμε ότι η αναλογία των "κεφαλιών" που εμφανίζονται είναι περίπου το 1/2 του συνόλου των ρίψεων, καθώς οι ρίψεις γίνονται όλο και περισσότερες. Αυτό προβλέπει ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών, ο οποίος λέει ότι αν επαναλαμβάνουμε το πείραμα όλο και περισσότερες φορές, η αναλογία των κεφαλιών θα τείνει ακριβώς στην τιμή 1/2.

Τα παραπάνω σχήματα δείχνουν ακριβώς τι συμβαίνει όταν κάθε φορά έχουν εκτελεστεί 4 ακολουθίες ρίψεων νομίσματος, και έχουν υπολογιστεί οι αναλογίες με τις οποίες εμφανίζεται κεφάλι. Κάθε εικόνα αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο συνολικό αριθμό ρίψεων. Από εικόνα σε εικόνα, ο αριθμός αυτός γίνεται όλο και μεγαλύτερος. Παρατηρούμε ότι η σύγκλιση προς την τιμή 1/2 είναι μάλλον αργή. Ακόμα και όταν οι ρίψεις γίνουν 1000, τα αποτελέσματα ξεχωρίζουν ακόμη.

Για να περιγράψουμε τον άλλο οριακό νόμο, ας υποθέσουμε ότι μετράμε το ύψος των στρατιωτών ενός στρατού. Αν κάνουμε ένα διάγραμμα πόσοι στρατιώτες έχουν κάθε συγκεκριμένο ύψος (π.χ. πόσοι έχουν ύψος 175 cm, πόσοι έχουν 176 cm κ.λ.π. ) βλέπουμε ότι το διάγραμμα αυτό έχει τη μορφή μιας καμπάνας και καθώς καταμετρούμε όλο και περισσότερα ύψη και όλο και περισσότερους άνδρες, το διάγραμμά μας παρουσιάζει όλο και πιο ομαλή μορφή. Το διάγραμμα είναι συμμετρικό γύρω από το κέντρο του και το κεντρικό σημείο είναι το μέσο ύψος (ας πούμε περίπου 175 cm).

Αυτό που βλέπουμε σ' αυτό το πείραμα, είναι συνέπεια του λεγόμενου θεωρήματος κεντρικού ορίου ο οποίος βασικά λέει ότι οι στατιστικές ιδιότητες οι οποίες εξαρτώνται από πλήθος μικρών ανεξάρτητων μεταξύ τους παραγόντων, έχουν μια κατανομή σε σχήμα καμπάνας. Αυτές οι κωδωνοειδείς κατανομές λέγονται κανονικές κατανομές και περιγράφονται από δύο αριθμούς. Την μέση τιμή και την απόκλιση. Ο πρώτος μας λέει που είναι το κέντρο της κατανομής και ο δεύτερος μας λέει πόσο πλατειά και επίπεδη είναι η καμπύλη.

Το παραπάνω σχήμα δείχνει δύο κανονικές κατανομές με διαφορετικούς μέσους και αποκλίσεις. Δηλαδή με διαφορετικά κέντρα και διαφορετικά πλάτη

Τι το σημαντικό έχουν αυτοί οι δύο οριακοί νόμοι; Είναι σημαντικοί γιατί στις περισσότερες πρακτικές καταστάσεις ενδιαφερόμαστε για μεγάλα σύνολα στατιστικών δεδομένων. Σε μια μεγάλη ασφαλιστική εταιρία αυτοκινήτων, δεν μας ενδιαφέρει τι θα γίνει με κάθε αυτοκίνητο ξεχωριστά, αλλά πόσα συνολικά ατυχήματα και τι είδους θα συμβούν στο σύνολο των αυτοκινήτων που έχουν ασφαλιστεί. Αν μια εταιρία κατασκευάζει ένα τηλεφωνικό δίκτυο και ενδιαφέρεται για τη χωρητικότητά του, δεν την ενδιαφέρει τι θα κάνει κάθε πελάτης ξεχωριστά, αλλά η πιθανότητα που υπάρχει μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή κατά τις ώρες αιχμής, να θελήσουν πάρα πολλοί από αυτούς να τηλεφωνήσουν συγχρόνως.

Αν αντιμετωπίζουμε μαθηματικά προβλήματα σαν τα παραπάνω, θα διαπιστώσουμε ότι πολλά από αυτά μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας το νόμο των μεγάλων αριθμών και το θεώρημα κεντρικού ορίου. Όχι όμως όλα!

Ένα ζήτημα που δεν μπορούν τα θεωρήματα αυτά να αντιμετωπίσουν, είναι το ζήτημα των μεγάλων αποκλίσεων. Για να καταλάβουμε αυτό τι θέμα ας πάμε πίσω στο πείραμα της ρίψης νομισμάτων. Αν στρίψουμε ένα νόμισμα πολλές φορές περιμένουμε όπως είπαμε η αναλογία των κεφαλιών να είναι περίπου 1/2. Αλλά δεν είναι απαραίτητο να συμβεί κάτι τέτοιο. Ακόμα και αν ρίξουμε το νόμισμα 1000 φορές, υπάρχει μια πολύ μικρή αλλά όχι μηδενική πιθανότητα, το νόμισμα να δείξει κεφάλι όλες τις φορές. Υπάρχει επίσης μια μεγαλύτερη μεν αλλά και πάλι πολύ μικρή πιθανότητα, η αναλογία των κεφαλιών να είναι π.χ. 3/4 αντί για 1/2. Ο τομέας των μεγάλων αποκλίσεων ασχολείται με τον υπολογισμό της πιθανότητας τέτοιων σπάνιων γεγονότων.

Οι μεγάλες αποκλίσεις μελετήθηκαν πρώτα από τον μεγάλο στατιστικολόγο και μαθηματικό των ασφαλιστικών θεμάτων, Harald Cramer (1893-1985), κατά το τέλος της δεκαετίας του 1930. Είναι εύκολο να δούμε γιατί το πρόβλημα αυτό τράβηξε την προσοχή κάποιου που ασχολείται με ασφαλιστικά μαθηματικά. Το ποσό που πρέπει να πληρώσουμε για την ασφάλιση του αυτοκινήτου μας στηρίζεται στη στατιστική των προηγουμένων ετών. Τι θα γίνει όμως αν η τρέχουσα χρονιά είναι είναι μια εξαιρετικά κακή χρονιά κατά την οποία γίνονται πολύ περισσότερες συγκρούσεις αυτοκινήτων σε σχέση με τις προηγούμενες χρονιές; Αν η ασφαλιστική εταιρία πρέπει να πληρώσει περισσότερα χρήματα απ' όσα θα εισπράξει, θα βρεθεί σίγουρα σε κίνδυνο.

Δεν υπάρχει συγκεκριμένος τρόπος για να αποφύγει κανείς εξ ολοκλήρου το πρόβλημα. Αν η εταιρία ορίσει ασφάλιστρα πολύ υψηλά ώστε να καλύψει την περίπτωση που θα συγκρουστούν όλα τα ασφαλισμένα αυτοκίνητα, το ποσό αυτό θα αποθαρρύνει τους πελάτες να ασφαλιστούν σ' αυτήν.

Μια πολύ κακή χρονιά είναι μια τεράστια απόκλιση, και αυτό που πρέπει να κάνει η εταιρία είναι να υπολογίσει την πιθανότητα αυτών των μεγάλων αποκλίσεων κατά διάφορα ποσά και να προσπαθήσει να βρει ένα λογικό μέγεθος του κινδύνου.

Υπάρχουν παρόμοια προβλήματα και σε άλλους τομείς. Στο ζήτημα της εγκατάστασης τηλεφωνικού δικτύου που θίξαμε παραπάνω, χρειάζεται να γνωρίζουμε πόσο πιθανό είναι να καταρρεύσει το δίκτυο από υπερφόρτωση. Ίσως είναι σκόπιμο να επενδυθούν κάποια χρήματα σε μεγαλύτερης χωρητικότητας δίκτυο, παρά να έχουμε να αντιμετωπίσουμε κάθε τόσο εξαγριωμένους πελάτες.

Μια από τις μεγαλύτερες συνεισφορές του Varadhan είναι ότι κατάφερε να κάνει την τεχνική υπολογισμού των πολύ μεγάλων αποκλίσεων, ένα ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο με εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών αλλά και συναφών επιστημών. Ο Varadhan με την αρχή του της πολύ μεγάλης απόκλισης, μαζεύει όλα όσα χρειάζονται για να εφαρμοστεί με επιτυχία η τεχνική και καλύπτει πολλές περιπτώσεις φαινομενικά ασύνδετες μεταξύ τους. Η θεωρία του περιλαμβάνει ισχυρά κομμάτια από πολλούς τομείς των μαθηματικών. Συνδυάζει τη θεωρία πιθανοτήτων με τη ανάλυση των κυρτών συναρτήσεων, τον μη γραμμικό προγραμματισμό, τη συναρτησιακή ανάλυση και τις διαφορικές εξισώσεις μερικών παραγώγων.

Αποδεικνύεται ότι η θεωρία της πολύ μεγάλης απόκλισης είναι πολύ πιο εκλεπτυσμένη από το νόμο των πολύ μεγάλων αριθμών και το κεντρικό οριακό θεώρημα. Σ' αυτούς τους οριακούς νόμους, το σημαντικό σημείο είναι ότι το ίδιο είδος γεγονότος το μετράμε ξανά και ξανά. Η φύση κάθε μεμονωμένου γεγονότος έχει ελάχιστη σημασία ή με άλλα λόγια, αυτό που έχει σημασία συνοψίζεται σε δύο αριθμούς, την μέση τιμή και την απόκλιση. Στις πολύ μεγάλες αποκλίσεις, η φύση των μεμονωμένων γεγονότων έχει την πιο μεγάλη σημασία. Διαφορετικά είδη γεγονότων μας οδηγούν σε τελείως διαφορετικές πιθανότητες να συμβούν πολύ μεγάλες αποκλίσεις. Για παράδειγμα, μια ασφαλιστική εταιρία αυτοκινήτων η οποία θέλει να υπολογίσει ακριβείς πιθανότητες για μεγάλες αποκλίσεις, χρειάζεται να γνωρίζει περισσότερα για τη φύση των αυτοκινητικών ατυχημάτων από την απλή γνώση του πόσο συχνά συμβαίνουν και πόσο κοστίζει η αποζημίωση κατά μέσον όρο.

Η θεωρία της πολύ μεγάλης απόκλισης βρίσκει επίσης πολλές εφαρμογές στη μαθηματική φυσική. Πολλές φυσικές θεωρίες είναι από τη φύση τους στατιστικές. Αν θέλουμε για παράδειγμα να περιγράψουμε τον αέρα μέσα σ' ένα δωμάτιο ή τη ροή του νερού σ' ένα ποτάμι, δεν είναι δυνατόν να περιγράψουμε την κίνηση ξεχωριστά κάθε σωματίου του αέρα ή του νερού. Αντί γι αυτό περιγράφουμε τη στατιστική συμπεριφορά του συνόλου των σωματίων, χρησιμοποιώντας μακροσκοπικά μεγέθη όπως η πίεση και η ροή. Οι νόμοι και οι εξισώσεις που παίρνουμε τότε δεν είναι πιθανοτικοί, αλλά περιγράφουν μέσες ή αναμενόμενες τιμές για το αέριο ή το υγρό.

Πιθανόν θα σκεφθείτε ότι εδώ έχουμε μια πολύ πιο περίπλοκη κατάσταση από τη ρίψη νομισμάτων. Εδώ η συνολική πιθανοτική συμπεριφορά των σωματιδίων συνοψίζεται στους νόμους της θερμοδυναμικής και της υδροδυναμικής! Όπως όμως συμβαίνει κατά τη ρίψη του νομίσματος, υπάρχουν και εδώ αποκλίσεις. Υπάρχει για παράδειγμα μια πολύ μικρή πιθανότητα να μαζευτούν ξαφνικά όλα τα μόρια του αερίου σε μια γωνιά του δωματίου και να μην μπορούμε να αναπνεύσουμε αν βρισκόμαστε στην άλλη άκρη του!

Στην πραγματικότητα τα προβλήματα αυτά είναι πιο περίπλοκα απ' ότι περιγράψαμε επειδή η συμπεριφορά των μεμονωμένων σωματιδίων δεν είναι τελείως τυχαία. Κινούνται σύμφωνα με τους θεμελιώδεις νόμους της φυσικής και αν μας φαίνεται τυχαία η κίνησή τους είναι γιατί συγκρούονται και αλληλεπιδρούν συνεχώς μεταξύ τους. Για να συναχθούν λοιπόν οι νόμοι της υδροδυναμικής και θερμοδυναμικής από πρώτες αρχές χρειάζεται μια διαδικασία σε δύο στάδια. Πρώτα να βρούμε τη στατιστική συμπεριφορά των σωματιδίων από τους νόμους της φυσικής που ισχύουν και στη συνέχεια να συνάγουμε τους μακροσκοπικούς νόμους από τη στατιστική περιγραφή. Ο Varadhan μαζί με τους συνεργάτες του έχει κάνει αξιοσημείωτη δουλειά στον τομέα αυτόν, χρησιμοποιώντας ως εργαλείο τη θεωρία των πολύ μεγάλων αποκλίσεων.

Ας επιστρέψουμε στο πείραμα της ρίψης του νομίσματος για να δούμε μια άλλη όψη της δουλειάς του Varadhan. Ας δούμε τη ρίψη του νομίσματος σαν ένα παιχνίδι όπου δύο παίκτες στοιχηματίζουν. Κάθε φορά που έρχεται κεφάλι κερδίζει ο Α και τότε ο Β του δίνει ένα Ευρώ, ενώ κάθε φορά που έρχεται γράμματα κερδίζει ο Β και ο Α πληρώνει ένα Ευρώ. Το παιχνίδι αυτό είναι "καθαρό" κατά κάποιο τρόπο. Κατά μέσο όρο δηλαδή ούτε ο Α περιμένει να κερδίσει από αυτό ούτε και ο Β. Ας αλλάξουμε τώρα λίγο το παιχνίδι και ας υποτεθεί ότι ρίχνουμε ζάρι αντί για νόμισμα. Τώρα ο Α εισπράττει 5 Ευρώ από τον Β αν έρθει "6", και ο Β εισπράττει 1 Ευρώ από τον Α αν έρθει οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσμα εκτός από "6". Το παιχνίδι εξακολουθεί να είναι καθαρό με την έννοια που περιγράφτηκε παραπάνω. Ο Α εισπράττει 5 φορές περισσότερα από τον Β κάθε ριξιά, αλλά ο Β αναμένει να κερδίσει 5 φορές πιο συχνά απ' ότι ο Α. Έτσι κανείς από τους δύο δεν αναμένει να κερδίσει συνολικά μετά από πολλή ώρα.

Κατά τα τελευταία 50 χρόνια, έχει ξεκαθαριστεί ότι η ανάλυση τέτοιων "καθαρών" παιχνιδιών ή martingales όπως λέγονται, είναι εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των τυχαίων φαινομένων. Στα 1970, οι Varadhan και D.W. Stook έγραψαν μια εντυπωσιακή σειρά εργασιών στα λεγόμενα martingales προβλήματα. Η προσέγγισή τους αυτή, ενοποίησε, απλοποίησε και επεξέτεινε τα προηγούμενα αποτελέσματα της θεωρίας πολύ μεγάλης απόκλισης. Η βασική τους ιδέα είναι ότι αντί να ψάξουμε για λύσεις σε πολύ περίπλοκα προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης, αρκεί να ψάξουμε για εκείνη την κατανομή πιθανότητας η οποία μετατρέπει ορισμένες διαδικασίες σε διαδικασίες martingales.