Προηγούμενη σελίδα:Εισαγωγή στην κβαντομηχανική

Τα προβλήματα που υπήρχαν στο μοντέλο του Bohr, ο οποίος για τη διατύπωση της θεωρίας του βασίστηκε σε αξιώματα του 19ου αιώνα, άρχισαν να λύνονται από το έτος 1925,   με τις εργασίες του Heisenberg, του Schodinger, και του Dirac στις οποίες εφαρμόστηκαν διαφορετικές αφετηρίες και μέθοδοι.

1. Θεωρία της κυματικής εξίσωσης του Schrodinger

2. Θεωρία των πινάκων ή μητρών του Heisenberg

3. Μια άλλη μορφή πινάκων από τον Dirac

Θεωρία της κυματικής εξίσωσης του Schrodinger

Ο Γάλλος φυσικός Louis de Broglie είχε προτείνει ότι όχι μόνο το φως αλλά και η ύλη πρέπει να συμπεριφέρονται όπως ένα κύμα. Επισύροντας την προσοχή σε αυτήν την ιδέα, στην οποία Einstein είχε προσφέρει την υποστήριξή του, ο Scrodinger απέδωσε τις κβαντικές ενέργειες των τροχιών των ηλεκτρονίων της παλαιάς κβαντικής θεωρίας του ατόμου, στις συχνότητες δόνησης των   "υλοκυμάτων" του ηλεκτρονίου, γύρω από τον πυρήνα του ατόμου.

Ακριβώς όπως μια χορδή των πιάνων έχει έναν σταθερό τόνο, έτσι ένα ηλεκτρόνιο-κύμα θα είχε ένα σταθερό κβάντο της ενέργειας. Αυτό οδήγησε σε πολύ ευκολότερους υπολογισμούς και πιό γνωστές απεικονίσεις των ατομικών γεγονότων από τη μηχανική των μητρών του Heisenberg, όπου η ενέργεια βρέθηκε με έναν δυσνόητο υπολογισμό.

Τον Ιανουάριο του 1926 δημοσίευσε την εργασία του στο Annalen der Physik 79, 361 ( 1926), στην οποία διατύπωσε την περίφημη εξίσωση Schrοdinger:

Ρ²ψ(x,y,z)+8π²m/h²{E-U(x,y,z)}ψ(x,y,z)=0

Η μορφή τής παραπάνω εξίσωσης ήταν πολύ γνωστή στους παλαιότερους μαθηματικούς φυσικούς που μελετούσαν την κυματική θεωρία. Πράγματι, είναι η τυπική μορφή εξίσωσης όλων των κυμάτων, από τα ακουστικά έως   τα ηλεκτρομαγνητικά τα οποία διέπονται από εξισώσεις, η μορφή των οποίων μοιάζει πολύ με εκείνης του Schrοdinger.

Στην εξίσωση Schrodinger , ο Ρ² εί ναι ο τελεστής Laplace, Ε είναι η ενέργεια του συστήματος και U(x,y ,z) η δυναμική ενέργεια που το χαρακ:ηρίζει. π.χ. για το άτομο του υδρογόνου η U(x,y,z) είναι ίση με Ze2/r .

Τέλος, η σημασία της συνάρτησης Ψ(x,y,z), η οποία ονομάστηκε από τον Schrodinger βαθμωτό (μη διανυσματικό), μονόμετρο πεδίο, που αναλύεται παρακάτω.

Οι εργασίες του Schrodinger παρουσιάστηκαν υπό τη μορφή σειράς πραγματειών στο Annalen der Physik, το ίδιο περιοδικό που είχε δημοσιεύσει τις αλησμόνητες εργασίες των Plank και Einstein, με τίτλο «Ή κβάντωση ως πρόβλημα ιδιοτιμών», και αμέσως προσέλκυσαν την παγκόσμια προσοχή και τον καθολικό θαυμασμό.

Γιατί ο Schrodinger είχε τόσο άμεση και καθολική επιτυχία ενώ η εργασία τού Heisenberg, που είχε προηγηθεί, συνάντησε «μέτρια» αποδοχή;

Ενας λόγος ήταν, βεβαίως, επειδή το είδος των Μαθηματικών που χρησιμοποίησε ο Schrodinger ήταν πιο οικείο στους φυσικούς, αλλά και το γεγονός ότι η όλη μέθοδος αντιμετώπισης του θέματος δεν ήταν -από μαθηματική σκοπιά- διαφορετική από την κλασική κυματική θεωρία.

Ακόμη και ο νεαρός, τότε, Fermi είχε συναντήσει σοβαρές δυσκολίες στην προσπάθειά του να κατανοήσει τις ιδέες του Heisenberg ενώ, αντιθέτως, αφομοίωσε τις εργασίες του Scrodinger μόλις δημοσιεύτηκαν, και μάλιστα τις εξηγούσε στους φίλους και τους μαθητές του. Ο Fermi δεν δυσκολεύτηκε καθόλου από το μαθηματικό φορμαλισμό του Heisenberg, τον οποίο εύκολα κατέκτησε, αλλά από τις «φυσικές ιδέες» του.

'Ενας άλλος λόγος της εύκολης επιτυχίας που σημείωσε ο Schrodinger ήταν ότι η μέθοδός του μπορούσε να εφαρμοστεί σε συγκεκριμένα προβλήματα πολύ πιο εύκολα από εκείνη του Heisenberg, κι έτσι μπορούσαν να συγκρίνουν τα αποτελέσματά της με τα πειραματικά δεδομένα.

Υπήρχαν, ωστόσο, σημαντικά, αναπάντητα ερωτήματα. Τι ήταν η συνάρτηση Ψ, το μυστηριώδες βαθμωτό πεδίο που διαδίδεται ως κύμα; Κάποια στιγμή ο Scrodinger και μερικοί άλλοι πίστεψαν ότι το τετράγωνο του μέτρου του μιγαδικού αριθμού Ψ αντιστοιχούσε στην πυκνότητα του ηλεκτρικού φορτίου, όπως αν το ηλεκτρόνιο «διαλυόταν» παίρνοντας τη μορφή νέφους.

Η ερμηνεία αυτή, ωστόσο, δημιουργούσε πολλές αμφιβολίες, επειδή υπήρχαν βάσιμοι λόγοι να θεωρείται ότι το ηλεκτρόνιο ήταν εντοπισμένο σε μια πολύ μικρή περιοχή του χώρου, τόσο μικρή όσο ένα σημείο.

Και στην Κοπεγχάγη θαύμασαν τη θεωρία του Schrodinger, απέρριψαν όμως την ερμηνεια που είχε δώσει για τη συνάρτηση Ψ.

Η έννοια της συνάρτησης Ψ άρχισε να ξεκαθαρίζει το 1926, όταν ο Max Born την ερμήνευσε όχι ως πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου, αλλά ως πυκνότητα πιθανότητας. Έτσι το ΙΨ(x, y, z)I² d r, εί ναι η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σ' ένα στοιχειώδη όγκο dV οι συντεταγμένες του οποίου εί ναι (x, y, z). Όπως ήταν φυσικό η ιδέα αυτή δημιούργησε τρομακτικά προβλήματα, επειδή ήταν κάτι πρωτόγνωρο μια θεωρία Μηχανικής να καταλήγει σε πιθανότητα, αν και ο Einstein, το 1917, με τα δικά του Α και Β είχε προαναγγείλει τη σημασία που θα είχαν οι πιθανότητες στα ατομικά φαι νόμενα.

'Ενα σημαντικό εμπόδιο μπόρεσε να ξεπεραστεί όταν ο Schrodinger τον Μάϊο του 1926, και άλλοι φυσικοί, καθώς και ο Αμερικανός νεαρός, τότε, Karl Eckart, εργαζόμενοι ανεξάρτητα, ανακάλυψαν ότι οι θεωρίες των Heisenberg και Schrodinger ήταν μαθηματικά ισοδύναμες. Αν κάποιος μπορούσε να λύσει την εξίσωση Schrodinger για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, τότε μπορούσε να υπολογίσει και τις μήτρες Heisenberg και αντιστρόφως. 'Ηταν περίπου σαν να έλυνε το ίδιο πρόβλημα με γεωμετρικό ή αναλυτικό τρόπο. Οπότε η Κ υματική Μηχανική και η Matrizenmechanik (Μηχανική Μητρών) ήταν όχι απλώς ισοδύναμες, αλλά ένα και το αυτό.

Όσο για τη θεωρία του Ντιράκ ήταν, επίσης, ισοδύναμη με εκείνες των Heisenberg και Schrodinger. Και για τις τρεις, η θεμελιώδης σχέση η οποία δημιουργεί την κβάντηση είναι η εξής:

pq- qp =h/ 2πί

Για τον Heisenberg τα p και q είναι μήτρες. Για τον Scrodinger το q είναι ένας αριθμός και το ρ είναι ο διαφορικός τελεστής

Τέλος, για τον Ντιράκ τα p και q εί ναι ειδικοί αριθμοί οι οποίοι υπακούουν σε μια μη μεταθετική Άλγεβρα. Η λύση ενός συγκεκριμένου πρoβλήματος με οποιαδήποτε από τις τρεις μεθόδους και αν γίνει θα δώ)σει το ίδιο αποτέλεσμα.

Θεωρία των πινάκων ή μητρών του Heisenberg

Λίγο πριν την εμφάνιση της θεωρίας του Scrodinger, της κυματομηχανικής, που έγινε στο περιοδικό Annalen der Physik το 1926, σε ένα άλλο γερμανικό περιοδικό το Physikalische Zeitschrift, δημοσιεύτηκε μια εργασία του Werner Heisenberg,  πάνω στο ίδιο θέμα αλλά που οδηγούσε όμως στα ίδια αποτελέσματα με τον προηγούμενο.

Προς έκπληξη των επιστημόνων αυτοί ξεκινούσαν από διαφορετικές φυσικές παραδοχές και χρησιμοποιούσαν εντελώς διαφορετικές μαθηματικές μεθόδους.

Ο Heisenberg το 1924, συνεχίζοντας μια μελέτη πάνω στη θεωρία σκέδασης του φωτός την οποία έκανε σε συνεργασία με τους Bohr και Kramers, άρχισε να αντιμετωπίζει με καχυποψία κάποιες έννοιες που χρησιμοποιούνταν διαισθητικά στην αρχική κβαντική θεωρία, όπως εκείνη της εικόνας που έδιναν οι τροχιές των ηλεκτρονίων στα άτομα, με βάση τις συνθήκες του Bohr-Somerfeld.

Άρχισε τότε ο Heisenberg τις προσπάθειες να διατυπώσει μια θεωρία η οποία να αποφεύγει τη χρήση διακριτών αλλά μη παρατηρήσιμων απεικονίσεων των τροχιών των ηλεκτρονίων, χρησιμοποιώντας παρατηρήσιμες μόνο ποσότητες, π.χ. την πιθανότητα να συμβούν μεταπτώσεις που οφείλονται σε κβαντικά άλματα. Με αυτόν τον τρόπο ήλπιζε να προσεγγίσει καλύτερα την πραγματικότητα και να αποφύγει ανύπαρκτες έννοιες βασισμένες μόνο σε μοντέλα.

Ο Heisenberg μεταχειριζόταν το άτομο ως να αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό γραμμικών "πραγματικών" δονητών, που συχνότητες τους συμπίπτουν με όλες τις δυνατές συχνότητες που μπορεί να εκπέμψει το θεωρούμενο άτομο. Oι ποσότητες που εξέταζε ήσαν οι συχνότητες και οι εντάσεις των γραμμών στα φάσματα των ατόμων και των μορίων.

Οι φυσικές μεταβλητές θα έπρεπε να απεικονιστούν από μία σειρά αριθμών. Επηρεασμένος από την θεωρία τής σχετικότητας τού Einstein ( 1905) , ο Heisenberg θεώρησε ότι οι μεταβλητές δεν αντιπροσωπεύουν κάποιες σκοτεινές, απρόσιτες δομές αλλά ορισμένες παρατηρήσιμες (δηλαδή μετρήσιμες) ποσότητες. Εν τούτοις ο Heisenberg δεν είχε αναγνωρίσει πως οι μαθηματικές πράξεις του μπορούσαν να ερμηνευτούν με τη θεωρία των μητρών.

Την εποχή εκείνη ο Heisenberg δεν γνώριζε τη μαθηματική θεωρία των μητρών, όταν όμως μίλησε στον Max Born για τις μη μεταθετικές του ποσότητες, εκείνος αναγνώρισε αμέσως ότι είχαν να κάνουν με την Άλγεβρα μητρών, η οποία τού ήταν γνωστή από τα φοιτητικά του χρόνια. Οι Heisenberg και Born ένωσαν τις προσπάθειές τους με τον Pascual Jordan, έναν προικισμένο μαθηματικό και μαθητή του Μπορ, και γρήγορα κατόρθωσαν να δημιουργήσουν ένα συνεπές σχήμα Κβαντικής Μηχανικής το οποίο έδινε σωστά αποτελέσματα.

Σε συνεργασία λοιπόν με τον  ΡascυaΙ Jοrdan, ο Heisenberg μπόρεσε να εκφράσει την νέα θεωρία του με την βοήθεια της άλγεβρας των μητρών, με αποτέλεσμα η νέα κβαντική θεωρία να εξελιχθεί σε μιά μηχανική τών μητρών. Κάθε, απείρων συνήθως διαστάσεων, μήτρα αυτής τής θεωρίας αντιπροσωπεύει το σύνολο τών δυνατών τιμών μιάς φυσικής μεταβλητής, ενώ οι επιμέρους όροι της εξυπηρετούν στον καθορισμό τών πιθανοτήτων ύπαρξης τών διαφόρων καταστάσεων και τών μεταπτώσεων ανάμεσα σ' αυτές.

Ενώ στο μοντέλο του Schrodinger η εκπομπή μιας φασματικής γραμμής με συχνότητα f_m,n , θεωρούνταν σαν αποτέλεσμα συνεργασίας δύο κυματικών συναρτήσεων Ψm και Ψn, στο πρότυπο του Heisenberg ή ίδια φασματική γραμμή εκπέμπεται από έναν ανεξάρτητο δονητή που θα τον ονομάσουμε V_m,n.

Στην κλασσική μηχανική ένας γραμμικός δονητής περιγράφεται από δύο αριθμούς: τη μετατόπισή του q από τη θέση ισορροπίας και την ταχύτητα του v, που είναι και οι δύο ποσότητες μεταβαλλόμενες περιοδικώς με το χρόνο. Στην ανώτερη μηχανική όμως αντί για την ταχύτητα χρησιμοποιούν την ορμή p.

Ο Heisenberg είχε την ιδέα ότι, επειδή οι συχνότητες των φασματικών γραμμών που εκπέμπονται από ένα άτομο, σχηματίζουν μια άπειρη μήτρα f_m,n:

θα μπορούσαν και οι μηχανικές ποσότητες, όπως μετατόπιση q, ορμή p κλπ να παρασταθούν με τη μορφή μητρών, όπου οι τιμές pm,n  και qm,n πάλλονται με τις συχνότητες της προηγούμενης μήτρας  fm,n.  Αντικατέστησε δε στις εξισώσεις της κλασσικής φυσικής τα p και q και περίμενε να επιτύχει για τους διάφορους πραγματικούς δονητές, τις δικές τους συχνότητες και πλάτη. Στην κλασσική φυσική δεν υπάρχει διαφορά αν γράψουμε pq ή qp. Στις μήτρες όμως που δεν αντιμετατίθενται υπάρχει διαφορά, qp#pq. Ο Heisenberg υπέθεσε πως η διαφορά αυτή είναι μια μοναδιαία μήτρα Ι επί ένα συντελεστή h/2π. Άρα η συνθήκη έγινε: pq-qp=(h/2πi)I. Ο Heisenberg πρόσθεσε αυτή τη συνθήκη στην κλασσική εξίσωση της μηχανικής, που την έγραψε κι αυτή σε μορφή μήτρας. Πέτυχε τότε ένα σύστημα εξισώσεων που οδήγησε στις σωστές τιμές των συχνοτήτων και των σχετικών εντάσεων των φασματικών γραμμών. Και το πιό παράδοξο ήταν πως οι τιμές ήταν οι ίδιες που είχε πάρει ο Schrodinger χρησιμοποιώντας την ομώνυμη εξίσωση του. Την απροσδόκητη ταύτιση των αποτελεσμάτων της κυματομηχανικής του Schrodinger και της μηχανικής των μητρών του Heisenberg, εξήγησε ο ίδιος ο Schrodinger σε μια επόμενη εργασία του και ότι θα μπορούσε να βγάλει τη μία από την άλλη. Αν και οι θεωρίες του Heisenberg και του Scrodinger είχαν διαφορετικές αφετηρίες και αναπτύχθηκαν με την χρήση διαφορετικών διαδικασιών της σκέψης, παρήγαγαν τα ίδια αποτελέσματα για προβλήματα που αντιμετωπίζονται και από τις δύο θεωρίες.  Πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι ο Heisenberg, όταν εφάρμοσε τη θεωρία του στα μόρια που αποτελούνται από δύο παρόμοια άτομα, βρήκε μεταξύ άλλων ότι το μόριο του υδρογόνου πρέπει να υπάρχει με δύο διαφορετικές μορφές που θα πρέπει να εμφανίζονται σε κάποια δεδομένη αναλογία η μια με την άλλη. Αυτή η πρόβλεψη του Heisenberg αργότερα  επιβεβαιώθηκε επίσης πειραματικά. Η νέα αυτή Μηχανική, η οποία ονομάστηκε Matrizenmechanjk (Μηχανική Μητρών) ή Quantenmechanjk (Κβαντομηχανική), απείχε πολύ από την καθαρότητα και παρουσίαζε μεγάλες δυσκολίες στους υπολογισμούς. Η νέα  κβαντομηχανική έχει αλλάξει προς μια μεγάλη έκταση, όλες τις ιδέες μας για τις σχέσεις που υπάρχουν μέσα στον μικροσκοπικό κόσμο, φιαγμένες από άτομα και μόρια. Ήδη έχουμε αναφέρει ότι ως αποτέλεσμα των νέων μηχανικών κυμάτων έπρεπε να τροποποιήσουμε τη σύλληψή μας στο αναλλοίωτο των υλικών μορίων. Αλλά περισσότερο από αυτό, ο Heisenberg έχει δείξει ότι σύμφωνα με την κβαντομηχανική είναι ασύλληπτο να καθοριστεί, σε μια δεδομένη στιγμή του χρόνου, και η θέση που βρίσκεται ένα μόριο και η ταχύτητά του. Μια άλλη μορφή πινάκων από τον Dirac Μια διαφορετική όμως Κβαντική Μηχανική, παρουσίασε ο Paul Dirac, ένας νεαρός Άγγλος φυσικός, όταν μυήθηκε τις σκέψεις του Heisenberg, μετά από μια επίσκεψη του στο Καίημπριτζ. Στο μυαλό του πέρασε η ιδέα πως ο μεταθέτης pq-qp έμοιαζε με τις αγκύλες του Poisson, τις οποίες συναντά κανείς και στην Κλασσική Φυσική. Κάτι τέτοιο όμως του εξασφάλιζε μια πολύ στενή σχέση μεταξύ της συνηθισμένης κλασσικής Μηχανικής και της Νέας Μηχανικής του Heisenberg. Κάνοντας λοιπόν την κατάλληλη γενίκευση στις κλασσικές εξισώσεις που ήταν διατυπωμένες σε χαμιλτονιανή μορφή κατέληγε στις εξισώσεις της νέας Μηχανικής. Το 1925 ο Dirac κατόρθωσε να δώσει μια ολοκληρωμένη Κβαντική Μηχανική, που ήταν πιό γενική από τις άλλες και διακρινόταν για την αξιωματική της διατύπωση. Το 1928 επίσης ο Dirac, ανακάλυψε έναν τρόπο να δώσει τη σχετικιστικά αναλλοίωτη εξίσωση ενός ηλεκτρονίου και   ανακάλυψε με βάση αυτήν το ποζιτρόνιο. Η εξίσωση του ισχύει μόνο για σωμάτια με spin 1/2. Έτσι με τον Dirac τέθηκαν οι κύριοι άξονες της Κβαντικής Μηχανικής. Να λάβουμε υπόψιν το γεγονός ότι, από μαθηματική άποψη, η θεωρία σχετικότητας και η κβαντική θεωρία είναι όχι μόνο ευδιάκριτες η μια από την άλλη, αλλά και αντιτάσσονται η μια την άλλη. Η εργασία του Dirac θα μπορούσε να θεωρηθεί μια καρποφόρος συμφιλίωση μεταξύ των δύο θεωριών. Την εποχή αυτή έγινε και το συνέδριο των φυσικών στο Solvay. Ήταν ένα συνέδριο αφιερωμένο στην Κβαντική Μηχανική, η οποία από τότε καθιερώθηκε σαν νέος κλάδος της Φυσικής.   Προηγούμενη σελίδα:Εισαγωγή στην κβαντομηχανική