Νεύτωνας: μια αντιπαθέστατη ιδιοφυία

Ξεκίνημα με τα Μαθηματικά

Το 1663 ο Νεύτων στράφηκε προς τα Μαθηματικά. Λέγεται ότι ήταν αυτοδίδακτος στη Γεωμετρία, αλλά προχώρησε στη λύση ενός από τα πιο σημαντικά προβλήματα στην εποχή του που είχε να κάνει με τη μελέτη των καμπυλών.

Το πρόβλημα για τον Νεύτωνα ήταν ότι η γωνία μιας καμπύλης, εξ ορισμού, άλλαζε συνεχώς από σημείο σε σημείο, κάνοντας έτσι δύσκολο τον υπολογισμό της. Όμοια, ήταν αρκετά δύσκολος ο υπολογισμός του εμβαδού της επιφάνειας που ορίζει μια καμπύλη. H λύση που δόθηκε εισήγαγε τις έννοιες που σήμερα είναι γνωστές ως παραγώγιση και ολοκλήρωση. H πρώτη αναφέρεται στον υπολογισμό της κλίσης μιας καμπύλης σε κάθε σημείο της και η δεύτερη στον υπολογισμό του εμβαδού που περικλείεται κάτω από μια καμπύλη.

Γνωστός για τη μυστικοπάθεια του ο Νεύτων κράτησε την εργασία του αυτή μυστική από όλους, εκτός από τους πιο στενούς του συνεργάτες με τους οποίους αλληλογραφούσε, μέχρι τη δημοσίευση τους στο βιβλίο του.

Μηχανική

Ο Νεύτωνας θα μετασχηματίσει τα συμπεράσματα από τα πειράματα του Γαλιλαίου σε γενικές αρχές και οικουμενικούς νόμους. Θα θεμελιώσει τη Μηχανική, το βασικό υπόβαθρο ολόκληρης της Φυσικής. Ας δούμε όμως τι ακριβώς προσέφερε στη Μηχανική, γιατί επαναλαμβάνουμε τόσο συχνά ότι ήταν ιδιοφυία, ώστε υπάρχει κίνδυνος να λησμονούμε σχεδόν για ποιο λόγο τού αποδίδεται αυτός ο χαρακτηρισμός.

Συνηθίζουμε να λέμε ότι ο Νεύτωνας θεμελίωσε τη Μηχανική με τη σύγχρονη έννοια του όρου είναι ο πατέρας της, όπως ο Γαλιλαίος είναι ο παππούς της.

Αυτή η νέα επιστήμη έχει τέτοια πληρότητα που ο Laplace (ένας από τους σοφούς που ο Ναπολέων εκτιμούσε ιδιαίτερα) θα ισχυριστεί: «Δώστε μου την κατάσταση (μάζα, θέση, ταχύτητα) ενός μηχανικού συστήματος δύο σωμάτων σε μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή και θα είμαι σε θέση να σας υπολογίσω την ιστορία του, παρελθούσα και μελλούμενη. Οι πλανητικές κινήσεις είναι ένας ωρολογιακός μηχανισμός πλήρως προβλέψιμος».

Κι όταν ο Ναπολέων, εντυπωσιασμένος από τις διαλέξεις του, τον ρωτούσε: «Και πού είναι η θέση του Θεού μέσα σ’ όλη αυτή την ιστορία;» ο Laplace απαντούσε υπερήφανα: «Μεγαλειότατε, αυτή η υπόθεση δεν μου είναι απαραίτητη!»

Τι ακριβώς έκανε λοιπόν;

Γενίκευσε τις ανακαλύψεις του Γαλιλαίου και τις διατύπωσε με μαθηματικό τρόπο. Έτσι, εξέφρασε τη θεμελιώδη αρχή της Μηχανικής με τον ακόλουθο τρόπο: η επιτάχυνση που υφίσταται ένα σώμα είναι συνάρτηση της δύναμης που ασκείται στη μάζα του. Όπως είπαμε και πριν, όσο πιο μεγάλη δύναμη του ασκείται, τόσο πιο πολύ επιταχύνεται. Όσο μικρότερη μάζα έχει, τόσο λιγότερο αντιστέκεται.

Στη συνέχεια, ανακάλυψε το θεμελιώδη νόμο της παγκόσμιας έλξης: δύο μάζες με μεγέθη m και m’ έλκονται ανάλογα με το γινόμενο τους και αντιστρόφως ανάλογα προς το τετράγωνο της απόστασης που τις χωρίζει: F = G M1*M2/r². Πρόκειται για έναν τύπο που γνωρίζουν πολύ καλά όσοι έτυχε να μελετήσουν Φυσική ή Μηχανική.

0 «μύθος» λέει ότι αυτή η διαδικασία ολοκληρώθηκε σε τρεις φάσεις.

Αρχικά, μελέτησε τον Γαλιλαίο, τον κατανόησε, συμπλήρωσε τα πειράματα του και μέτρησε πώς ένα αντικείμενο που πέφτει επιταχύνεται. Διαπίστωσε ότι η ταχύτητα του φαίνεται να αυξάνει κάθε δευτερόλεπτο κατά δέκα μέτρα. Πρόκειται για την περίφημη ιστορία του μήλου (που δεν προσέφερε τίποτα το καινούργιο, αφού ήδη ο Αριστοτέλης γνώριζε ότι η Γη έλκει τα βελανίδια!).

Σ’ αυτό το σημείο ο Νεύτων έκανε το αποφασιστικό βήμα. Αυτό που ο Γαλιλαίος είχε κατανοήσει διαισθητικά, αυτός το διατύπωσε φορμαλιστικά. Ανακάλυψε, δηλαδή, την πραγματική φύση και κυρίως τη μαθηματική έκφραση αυτού που για μας σήμερα είναι μια πολύ οικεία έννοια, την επιτάχυνση. Επιτάχυνση είναι η ταχύτητα της ταχύτητας. Πατάτε το πεντάλ του αυτοκινήτου σας και η ταχύτητα αυξάνει. Επιταχύνετε. Ο Γαλιλαίος είχε διαπιστώσει ότι κατά τη διάρκεια της πτώσης η ταχύτητα αυξάνει, δεν είχε όμως κατανοήσει πλήρως αυτή την έννοια: ταχύτητα της ταχύτητας.

O λόγος; Δεν διέθετε αυτό το εξαιρετικό εργαλείο που λέγεται «Άλγεβρα».

O Νεύτων, αντίθετα, γνώριζε καλά την Άλγεβρα, που είχε έρθει από τους Άραβες μέσω Ιταλίας, ειδικότερα μέσω Βενετίας. Με τη σειρά τους, οι Άραβες την είχαν κληρονομήσει από τους Ινδούς.

Στη συνέχεια, ο Νεύτωνας θα γράψει: ταχύτητα ίσον απόσταση που διανύθηκε ανά μονάδα χρόνου. Και παρακάτω: επιτάχυνση ίσον αύξηση της ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου.

Σ’ αυτό το σημείο εισάγει μια βαθιά τομή στην επιστημονική σκέψη, τη λεγόμενη «διαφορική προσέγγιση». Αυτός ο τρόπος προσέγγισης μοιάζει περίπλοκος σε κάποιον που δεν είναι εξοικειωμένος με το συμβολισμό και την ορολογία. Κατά βάση όμως είναι απλός. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Αν κάθε ταξίδι που κάνετε χωριστεί σε πάρα πολλές μικρές φάσεις, τότε σε μια πραγματικά μικρή απόσταση είναι δυνατόν να ορίσουμε την ακριβή, στιγμιαία ταχύτητα. Αυτή είναι η «διαφορική» ταχύτητα. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εργαστούμε για την επιτάχυνση και να την υπολογίσουμε σε κάθε στιγμή.

Αυτό ακριβώς ανακάλυψε ο Νεύτωνας: ένα μαθηματικό μηχανισμό που ονομάστηκε «διαφορικός λογισμός». Πρόκειται για έναν τρόπο υπολογισμού που χρησιμοποιεί ως εργαλείο πολύ μικρές μεταβολές όλων των μεταβλητών.

Ας αφήσουμε όμως αυτές τις εξελίξεις, που είναι, βέβαια, απαραίτητες σε όποιον θέλει να εντρυφήσει στην ουσία αυτών των θεμάτων, αλλά για το δικό μας στόχο είναι μάλλον δευτερεύουσες, και ας επικεντρώσουμε την προσοχή μας σε μια διαφορετική οπτική γωνία των πραγμάτων.

Για να ελέγξει την υπόθεση περί της παγκόσμιας έλξης, ο Νεύτωνας έγραψε στον αστρονόμο Flamsteed για να τον ρωτήσει αν είχε παρατηρήσει ότι ο Κρόνος επιβραδυνόταν όταν διέρχεται κοντά από τον Δία. Έκπληκτος ο Flamsteed του απάντησε ότι κάποια τέτοια επίδραση όντως είχε παρατηρηθεί. Αυτό το φαινόμενο είχε προβλεφθεί από τους υπολογισμούς του Νεύτωνα. Οι εξισώσεις του επιβεβαιώθηκαν κι άλλο παρατηρώντας το σχήμα της Γης, που είναι πεπλατυσμένο σφαιροειδές αντί επιμηκυμένο, όπως ισχυρίζονταν οι Καρτεσιανοί. Ακόμα οι εξισώσεις του Νεύτωνα μέσω διαδοχικών προσεγγίσεων πρόβλεψαν σωστά και την επιστροφή του κομήτη του Halley.

Ο Νεύτωνας κατανόησε ακόμη πως δύναμη και επιτάχυνση είναι δύο έννοιες σχεδόν ισοδύναμες, ότι η μία δημιουργεί την άλλη. O Αριστοτέλης πίστευε ότι η δύναμη δημιουργεί την κίνηση. Ο Γαλιλαίος έδειξε ότι η δύναμη μεταβάλλει την ταχύτητα. O Νεύτωνας δήλωσε με σαφήνεια ότι η δύναμη παράγει την επιτάχυνση. Κι εδώ υπεισέρχεται ένας πολλαπλασιαστικός παράγοντας (που τον είχε εντοπίσει και ο Γαλιλαίος), η μάζα. Όμως η μάζα είναι σταθερή και μπορεί να αναχθεί στη μονάδα, αν κάνουμε την κατάλληλη επιλογή μονάδων μετρήσεως).

H δύναμη είναι, λοιπόν, η επιτάχυνση ανά μονάδα μάζας. 0 Νεύτων ταυτίζει τη δράση με το αίτιο. H δύναμη δημιουργεί την επιτάχυνση, η δύναμη μεταφράζεται σε επιτάχυνση, η δύναμη είναι η επιτάχυνση. Στη συνέχεια, γράφει τη σχέση που του χάρισε την αθανασία: F=m*a δηλαδή η δύναμη (F) ισούται με τη μάζα (τη) επί την επιτάχυνση (α).

Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας

Πριν μελετήσει αναλυτικά τις τροχιές των σωμάτων, ο Νεύτων έστειλε μια επιστολή στον Hooke, όπου εκεί του πρότεινε ότι ένα σώμα, εφόσον αφεθεί ελεύθερο, θα κάνει μια σπειροειδή κίνηση προς το κέντρο της Γης. Ο Hooke του έγραψε υποστηρίζοντας ότι η τροχιά δεν θα ήταν μια σπείρα, αλλά μια έλλειψη.

Ο Νεύτωνας στη συνέχεια προχώρησε στην επεξεργασία των μαθηματικών της τροχιάς. Και πάλι, δεν δημοσίευσε τους υπολογισμούς του. Ακολούθως, άρχισε να αφιερώνει τις προσπάθειές του στον θεολογικό προβληματισμό και έθεσε τους υπολογισμούς για την ελλειπτική κίνηση κατά μέρος, λέγοντας στον αστρονόμο Halley πως τους είχε χάσει. Ο Halley που ενδιαφερόταν για τις τροχιές των σωμάτων, τελικά τον έπεισε να δημοσιεύσει τους υπολογισμούς του.

Από τον Αύγουστο του 1684 έως την άνοιξη του 1686 ο Νεύτωνας αφιερώθηκε στη μελέτη της τροχιάς των σωμάτων και τούτη η μελέτη, που δημοσιεύτηκε στα τρία βιβλία των Μαθηματικών Αρχών της Φυσικής Φιλοσοφίας, έγινε ένα από τα πιο σημαντικά έργα με τη μεγαλύτερη  επιρροή στη φυσική όλων των εποχών.

Στο βιβλίο αυτό αναλύει την κίνηση σωμάτων που εκτελούν κυκλική κίνηση, την κίνηση βλημάτων και την ελεύθερη πτώση κοντά στη Γη. Επίσης απέδειξε ότι οι πλανήτες έλκονται από τον Ήλιο με μια δύναμη που είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης τους και υποστήριξε ότι όλα τα ουράνια σώματα έλκονται αμοιβαία μεταξύ τους.

0 Νεύτωνας διατύπωσε επίσης την άποψη ότι, σύμφωνα με τους νόμους του, οι πλανήτες θα έπρεπε να διαγράφουν ελλειπτικές και όχι κυκλικές τροχιές, μια θεωρία που δεν είχε ακόμη αποδειχτεί από τις παρατηρήσεις. Κατά τη διάρκεια των εργασιών του διαπίστωσε ανακρίβειες στις εργασίες του Κέπλερ, τις οποίες και διόρθωσε.

Στο πρώτο βιβλίο των Principia, ο Νεύτων όρισε και τους τρεις νόμους της κίνησης (νόμος της αδράνειας, της δράσης και αντίδρασης, και ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη με την δύναμη). Στο δεύτερο βιβλίο παρουσίασε τη νέα επιστημονική φιλοσοφία του που ήρθε να αντικαταστήσει τον καρτεσιανισμό. Τέλος, το τρίτο βιβλίο αποτελείται από τις εφαρμογές της δυναμικής του, συμπεριλαμβανομένης και της εξήγησης για τις παλίρροιες και μια θεωρία για τη σεληνιακή κίνηση.

Calculus

Όταν ο Νεύτων ξεκίνησε να ασχολείται με το πρόβλημα των θεμελιωδών αρχών της δυναμικής, ανακάλυψε πως τα μαθηματικά εκείνης της εποχής δεν επαρκούσαν για την περιγραφή παραδείγματος χάριν της ταχύτητας και της κατεύθυνσης των πλανητών, λόγω της ευμεταβλητότητάς τους. Έτσι λοιπόν δημιούργησε  ένα νέο κλάδο των μαθηματικών, τον οποίο ονόμασε «fluxions» (συνεχείς αλλαγές). Σήμερα είναι γνωστός ως Μαθηματική Ανάλυση (calculus). Μάλιστα, με τα έργα του “Παγκόσμια Αριθμητική” και “Δοκίμιο για τον τετραγωνισμό των καμπυλών” ουσιαστικά έδωσε μια περαιτέρω ώθηση στον διαφορικό λογισμό, που τον επινόησε παράλληλα με έναν άλλο εξαιρετικό μαθηματικό, τον Λάιμπνιτς.