Επιπλέουμε σε ένα κρυφό ωκεανό από εξισώσεις. Βρίσκονται στο χώρο της εργασίας μας, στον τομέα των μεταφορών, του χρηματοπιστωτικού συστήματος, της υγείας, της πρόληψης του εγκλήματος και τον εντοπισμό, στις επικοινωνίες, στα τρόφιμα, στο νερό, στη θέρμανση και στο φωτισμό. Μπείτε στο ντους και επωφεληθείτε από τις εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για τη ρύθμιση της παροχής του νερού. Τα δημητριακά του πρωινού σας προέρχεται από καλλιέργειες που γίνονται με τη βοήθεια των στατιστικών εξισώσεων. Οδηγήστε και η αεροδυναμική σχεδίαση του αυτοκινήτου σας οφείλεται εν μέρει στις εξισώσεις Navier-Stokes που περιγράφουν τον τρόπο που ο αέρας ρέει πάνω και γύρω από το αυτοκίνητο.
Ενεργοποιείστε την δορυφορική πλοήγηση που περιλαμβάνει κβαντική φυσική, καθώς και τους νόμους του Νεύτωνα και της βαρύτητας, που βοήθησαν την εκτόξευση των δορυφόρων εντοπισμού θέσης και τους έβαλαν στις τροχιές τους. Χρησιμοποιούν, επίσης, εξισώσεις γεννήτριες τυχαίων αριθμό για τον χρονισμό των σημάτων, τριγωνομετρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό της θέσης, και τέλος την ειδική και τη γενική σχετικότητα για τον ακριβή εντοπισμό της κίνησης των δορυφόρων λόγω της βαρύτητας της Γης.
Χωρίς εξισώσεις, το μεγαλύτερο μέρος της τεχνολογίας μας δεν θα μπορούσε ποτέ να είχε εφευρεθεί. Φυσικά, σημαντικές εφευρέσεις, όπως η φωτιά και ο τροχός ήρθαν χωρίς καμία μαθηματική γνώση. Ωστόσο, χωρίς εξισώσεις θα έπρεπε να κολλήσουμε σε ένα μεσαιωνικό κόσμο.
Οι εξισώσεις προχωρούν περισσότερο την τεχνολογία. Χωρίς αυτές, δεν θα είχαμε καμία κατανόηση της φυσικής που διέπει τις παλίρροιες, τα κύματα που σκάνε στην παραλία, το συνεχώς μεταβαλλόμενο κλίμα, τις κινήσεις των πλανητών, τους πυρηνικούς φούρνους στο εσωτερικό των άστρων, τις σπείρες των γαλαξιών – την απεραντοσύνη του σύμπαντος και τη θέση μας μέσα σε αυτό.
Υπάρχουν χιλιάδες σημαντικές εξισώσεις. Οι επτά που επικεντρώθηκαν εδώ – η κυματική εξίσωση, τέσσερις εξισώσεις του Maxwell, η μέθοδος μετασχηματισμού Fourier και η εξίσωση του Schrödinger – δείχνουν πώς οι εμπειρικές παρατηρήσεις έχουν οδηγήσει σε εξισώσεις που χρησιμοποιούμε τόσο στην επιστήμη όσο και στην καθημερινή ζωή.
Πρώτον, η κυματική εξίσωση
Ζούμε σε έναν κόσμο κυμάτων. Τα αυτιά μας ανιχνεύουν κύματα από πυκνώματα και αραιώματα του αέρα, σαν ήχο, και τα μάτια μας εντοπίσουν τα κύματα του φωτός. Όταν ένας σεισμός χτυπά μια πόλη, η καταστροφή που προκαλείται από τα σεισμικά κύματα διακινούνται μέσω της Γης.
Μαθηματικοί και επιστήμονες σκέφτονται τα κύματα σαν μέρος της δουλειάς τους, αλλά η αφετηρία τους προήλθε από τις τέχνες: πώς μια χορδή του βιολιού δημιουργεί τον ήχο; Το ερώτημα ανάγεται στην αρχαία ελληνική λατρεία των Πυθαγορείων, οι οποίοι διαπίστωσαν ότι αν δύο χορδές του ίδιου τύπου και ίδιας τάσης έχουν μήκη απλού λόγου, όπως 2:1 ή 3:2, παράγουν νότες που, μαζί, ο ήχος είναι ασυνήθιστα αρμονικός. Με πιο σύνθετες σχέσεις ο ήχος είναι παράφωνος και δυσάρεστος στο αυτί.
Ο Ελβετός μαθηματικός Johann Bernoulli πρώτος κατάλαβε το νόημα αυτών των παρατηρήσεων. Το 1727 μοντελοποίησε μια χορδή βιολιού με έναν μεγάλο αριθμό σημειακών μαζών, που συνδέονταν μεταξύ τους με ελατήρια. Χρησιμοποίησε τους νόμους του Νεύτωνα για να καταγράψει τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος, και να τις επιλύσει. Από τις λύσεις, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η πιο απλή μορφή για μια παλλόμενη χορδή είναι απαραίτητα η ημιτονοειδής καμπύλη. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι δόνησης, όπως οι γνωστοί στους μουσικούς σαν αρμονικές.
Από τα κύματα στον ασύρματο
Σχεδόν 20 χρόνια αργότερα, ο Jean Le Rond d’Alembert ακολούθησε μια παρόμοια διαδικασία, αλλά επικεντρώθηκε στην απλοποίηση των εξισώσεων κίνησης αντί για τις λύσεις τους. Αυτό που προέκυψε ήταν μια κομψή εξίσωση που περιγράφει πώς το σχήμα των χορδών αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Αυτή είναι η κυματική εξίσωση, και αναφέρει ότι η επιτάχυνση του κάθε μικρού τμήματος της χορδής είναι ανάλογη με την τάση που δρα σε αυτήν. Αυτό σημαίνει ότι τα κύματα των οποίων οι συχνότητες δεν είναι απλές αναλογίες παράγουν έναν δυσάρεστο ‘πολύβουο’ θόρυβο γνωστό ως «beats». Αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο απλές αριθμητικές αναλογίες δίνουν νότες που ο ήχος είναι αρμονικός.
Η κυματική εξίσωση μπορεί να τροποποιηθεί για να ασχοληθεί με πιο πολύπλοκα φαινόμενα, όπως οι σεισμοί. Εξελιγμένες εκδόσεις της κυματικής εξίσωσης αφήνουν τους σεισμολόγους να εντοπίσουν τι συμβαίνει εκατοντάδες χιλιόμετρα κάτω από τα πόδια μας. Μπορούν να χαρτογραφήσουν τις τεκτονικές πλάκες της Γης καθώς αυτές εισχωρούν η μία κάτω από την άλλη, προκαλώντας σεισμούς και εκρήξεις ηφαιστείων. Το μεγαλύτερο βραβείο στον τομέα αυτό θα είναι ένας αξιόπιστος τρόπος για να προβλέψουμε τους σεισμούς και τις ηφαιστειακές εκρήξεις, ενώ πολλές από τις μεθόδους που διερευνώνται υποστηρίζονται από την κυματική εξίσωση.
Αλλά η πιο ισχυρή εικόνα από την κυματική εξίσωση προέκυψε από τη μελέτη των εξισώσεων Maxwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό. Το 1820, οι περισσότεροι άνθρωποι άναβαν στα σπίτια τους κεριά και φαναράκια. Αν ήθελε κάποιος να στείλει ένα μήνυμα, έγραφε ένα γράμμα και το έβαζε σε μία άμαξα. Για επείγοντα μηνύματα, παραλείπατε την μεταφορά, πήγαινε ο ίδιος. Μέσα σε 100 χρόνια, τα σπίτια και οι δρόμοι είχαν ηλεκτρικό φωτισμό, τηλεγραφία, που σήμαινε μηνύματα ανάμεσα σε άλλες ηπείρους, και οι άνθρωποι άρχισαν να μιλούν μεταξύ τους μέσω τηλεφώνου.
Αυτή η κοινωνική και τεχνολογική επανάσταση που προκλήθηκε από τις ανακαλύψεις δύο επιστημόνων. Περίπου το 1830, ο Μάικλ Φαραντέι καθόρισε τη βασική φυσική του ηλεκτρομαγνητισμού. Τριάντα χρόνια αργότερα, ο James Clerk Maxwell αποδύθηκε σε μια προσπάθεια να διαμορφώσει μια μαθηματική βάση για τα πειράματα και τις θεωρίες του Faraday.
Εκείνη την εποχή, οι περισσότεροι φυσικοί εργαζόμενοι στον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό έψαχναν για αναλογίες με τη βαρύτητα, που την θεωρούσαν ως μια δύναμη που δρα μεταξύ των φορέων σε μια απόσταση. Ο Faraday, είχε μια διαφορετική ιδέα: να εξηγήσει τη σειρά των πειραμάτων που διεξήγαγε στον ηλεκτρισμό και το μαγνητισμό, οπότε διατύπωσε την άποψη ότι τα δύο φαινόμενα είναι πεδία που γεμίζουν τον χώρο, αλλάζοντας με την πάροδο του χρόνου και μπορούν να ανιχνευθούν από τις δυνάμεις που παράγουν. Ο Faraday, έθεσε τις θεωρίες του με όρους γεωμετρικών δομών, όπως είναι οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου.
Ο Maxwell επαναδιατύπωσε αυτές τις ιδέες, κατ ‘αναλογία με τα μαθηματικά της ροής των υγρών. Υποστήριξε ότι οι γραμμές του πεδίου ήταν ανάλογες με τις τροχιές που ακολουθούν τα μόρια του υγρού και ότι η ισχύς του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου ήταν ανάλογη με την ταχύτητα του ρευστού. Το 1864 Μάξγουελ είχε γράψει τέσσερις εξισώσεις για τις βασικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων. Οι δύο μας λένε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν μπορούν να διαρρεύσουν (διαδοθούν) μακριά. Οι άλλες δύο μας λένε ότι όταν μια περιοχή του ηλεκτρικού πεδίου περιστραφεί κυκλικά, δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο, και το αντίστροφο, μια στρεφόμενη περιοχή του μαγνητικού πεδίου δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο.
Αλλά αυτό δεν ήταν και τόσο εκπληκτικό, άλλο ήταν αυτό που έκανε διάσημο τον Maxwell. Κάνοντας πράξεις και υπολογισμούς στις απλές εξισώσεις του, πέτυχε να εξάγει την κυματική εξίσωση και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το φως πρέπει να είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτό από μόνο του ήταν μια καταπληκτική είδηση, καθώς κανείς δεν είχε φανταστεί μια τέτοια θεμελιώδη σχέση ανάμεσα στο φως, τον ηλεκτρισμό και το μαγνητισμό. Και υπήρχε και συνέχεια. Το φως έρχεται σε διάφορα χρώματα, που αντιστοιχούν σε διαφορετικά μήκη κύματος. Τα μήκη κύματος που βλέπουμε περιορίζονται από τη χημεία των χρωστικών του ματιού που ανιχνεύουν το φως. Οι εξισώσεις του Maxwell οδήγησαν σε μια δραματική πρόβλεψη – ότι θα πρέπει να υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος. Μερικά, με πολύ μεγαλύτερα μήκη κύματος από ό, τι μπορούμε να δούμε, θα μεταμόρφωναν τον κόσμο: τα ραδιοκύματα.
Το 1887, ο Heinrich Hertz απέδειξε πειραματικά τα ραδιοκύματα, αλλά απέτυχε να εκτιμήσει πιο επαναστατική εφαρμογή τους. Ο Νίκολα Τέσλα, ο Guglielmo Marconi και άλλοι μετέτρεψαν το όνειρο σε πραγματικότητα, και ολόκληρη η πανοπλία των σύγχρονων επικοινωνιών, από το ραδιόφωνο και την τηλεόραση έως τα ραντάρ και τις μικροκυματικές ζεύξεις για τα κινητά τηλέφωνα, ακολούθησαν φυσιολογικά. Και όλα αυτά προέρχονταν από τέσσερις εξισώσεις και ένα δύο μικρών υπολογισμών. Οι εξισώσεις του Maxwell δεν άλλαξαν μόνο τον κόσμο. Άνοιξαν έναν καινούργιο.
Εξίσου σημαντικό με το τι περιγράφουν οι εξισώσεις του Μάξγουελ είναι το τι δεν κάνουν. Αν και οι εξισώσεις αποκάλυψαν ότι το φως ήταν ένα κύμα, οι φυσικοί σύντομα διαπίστωσαν ότι η συμπεριφορά του ερχόταν μερικές φορές σε αντίθεση με την άποψη αυτή. Στείλτε μια λάμψη φωτός πάνω σε ένα μέταλλο και θα δημιουργήσετε ροή ηλεκτρονίων, ένα φαινόμενο που ονομάζεται φωτοηλεκτρικό. Θα είχε νόημα μόνο αν το φως συμπεριφέρθηκε σαν σωματίδιο. Έτσι το φως είναι κύμα ή σωματίδιο; Στην πραγματικότητα, λίγο και από τα δύο. Η ύλη φτιάχνεται από κβαντικά κύματα και μια σφιχτή δέσμη κυμάτων ενεργεί ως σωματίδιο.
Νεκρή ή Ζωντανή
Το 1927 Έρβιν Σρέντιγκερ έγραψε μια εξίσωση για τα κβαντικά κύματα. Ταίριαζε αρκετά με τα πειράματα, ενώ έδινε την εικόνα ενός πολύ περίεργου κόσμου, στον οποίο τα θεμελιώδη σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο δεν είναι σαφώς καθορισμένα αντικείμενα, αλλά νέφη πιθανότητας. Το σπιν ενός ηλεκτρονίου μπορεί να είναι συγχρόνως πάνω και κάτω μέχρι να το μετρήσουμε. Πολλοί θεωρητικοί ανησυχούν για κάθε λογής παραξενιές της κβαντικής μηχανικής, όπως η γάτα που είναι ταυτόχρονα νεκρή και ζωντανή, και τα παράλληλα σύμπαντα στα οποία ο Αδόλφος Χίτλερ κέρδισε το δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο.
Η κβαντομηχανική δεν περιορίζεται σε τέτοια φιλοσοφικά αινίγματα. Σχεδόν όλα τα σύγχρονα gadgets – υπολογιστές, κινητά τηλέφωνα, κονσόλες παιχνιδιών, αυτοκίνητα, ψυγεία, φούρνοι – περιέχουν ηλεκτρονικά τσιπ μνήμης με βάση το τρανζίστορ, των οποίων η λειτουργία βασίζεται στην κβαντομηχανική των ημιαγωγών. Επίσης, κάθε τόσο καταφθάνουν νέες χρήσεις για την κβαντομηχανική. Οι κβαντικές κουκίδες – μικροσκοπικά κομμάτια ενός ημιαγωγού – μπορούν να εκπέμψουν φως από κάθε χρώμα και χρησιμοποιούνται για τη βιολογική απεικόνιση, αντικαθιστώντας τις παραδοσιακές, συχνά τοξικές, βαφές. Μηχανικοί και φυσικοί προσπαθούν να εφεύρουν ένα κβαντικό υπολογιστή, που μπορεί να εκτελέσει πολλούς διαφορετικούς υπολογισμούς, παράλληλα, σαν τη γάτα του Σρέντιγκερ που είναι τόσο ζωντανή όσο και νεκρή.
Τα λέιζερ είναι μια άλλη εφαρμογή της κβαντομηχανικής. Τα χρησιμοποιούμε για να διαβάσουμε πληροφορίες από μικροσκοπικά ‘κοιλώματα’ ή σήματα σε CD, σε DVD και σε δίσκους Blu-ray. Οι αστρονόμοι χρησιμοποιούν λέιζερ για να μετρήσουν την απόσταση από τη Γη στη Σελήνη. Θα μπορούσε ακόμη να είναι δυνατόν να εκτοξεύουμε διαστημικά οχήματα από τη Γη στο πίσω μέρος μιας ισχυρής ακτίνας λέιζερ.
Το τελευταίο κεφάλαιο σε αυτή την ιστορία προέρχεται από μια εξίσωση που μας βοηθά να κατανοήσουμε τα κύματα. Ξεκινά το 1807, όταν ο Joseph Fourier επινόησε μια εξίσωση για τη ροή της θερμότητας. Υπέβαλε μια εργασία σχετικά με αυτό το ζήτημα στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, αλλά απορρίφθηκε. Το 1812, ο Fourier υπέβαλε την αναθεωρημένη εργασία του και κέρδισε το βραβείο της Ακαδημίας.
Η πιο ενδιαφέρουσα πτυχή της βραβευμένης εργασίας του Fourier δεν ήταν η εξίσωση, αλλά το πώς λύνεται. Ένα τυπικό πρόβλημα ήταν να βρούμε τον τρόπο που η θερμοκρασία αλλάζει με τον χρόνο κατά μήκος μιας λεπτής ράβδου, δεδομένης της αρχικής θερμοκρασίας. Ο Fourier θα μπορούσε να λύσει αυτή την εξίσωση με ευκολία αν η θερμοκρασία μεταβαλλόταν σαν ένα ημιτονοειδές κύμα καθ’ όλο το μήκος της ράβδου. Έτσι, απεικόνισε την μεταβολή της θερμοκρασίας με ένα πιο περίπλοκο προφίλ, ως συνδυασμό ημιτονοειδών συναρτήσεων-καμπυλών με διαφορετικά μήκη κύματος, λύνοντας την εξίσωση για κάθε συνιστώσα ημιτονοειδή καμπύλη, και πρόσθεσε μαζί αυτές τις λύσεις. Ο Fourier ισχυρίστηκε ότι η μέθοδος αυτή λειτούργησε για οποιοδήποτε προφίλ θερμοκρασίας απόλυτα, ακόμα κι εκεί που η θερμοκρασία μεταβάλει απότομα την τιμή του. Το μόνο που έπρεπε να κάνει ήταν να προσθέσει έναν άπειρο αριθμό συνεισφορών από τις ημιτονοειδείς καμπύλες.
Ακόμα κι έτσι, η νέα εργασία του Fourier επικρίθηκε επειδή δεν είναι αρκετά αυστηρή, και πάλι η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε να τη δημοσιεύσει. Το 1822 ο Φουριέ αγνόησε τις αντιρρήσεις και δημοσίευσε τη θεωρία του ως βιβλίο. Δύο χρόνια αργότερα, ο ίδιος διορίστηκε γραμματέας της Ακαδημίας, κι τελικά μόνο τότε δημοσιεύθηκε η εργασία του στο περιοδικό της ακαδημίας. Ωστόσο, οι κριτικοί εστίασαν σε ένα σημείο. Οι μαθηματικοί άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι οι άπειρες σειρές ήταν επικίνδυνα θηρία. Που δεν συμπεριφέρονται πάντα σαν ωραία, πεπερασμένα ποσά. Η επίλυση των ζητημάτων αυτών αποδείχθηκε ότι είναι σαφώς δύσκολη, αλλά η τελική ετυμηγορία ήταν ότι η ιδέα του Fourier μπορεί να γίνει αυστηρή εξαιρώντας πολύ ασταθή προφίλ θερμοκρασίας. Το αποτέλεσμα είναι ο μετασχηματισμός Fourier, μια εξίσωση η οποία αντιμετωπίζει ένα χρονικά μεταβαλλόμενο σήμα ως το άθροισμα μιας σειράς από συνιστώσες ημιτονοειδείς καμπύλες και υπολογίζει τα πλάτη και τη συχνότητά τους.
Σήμερα ο μετασχηματισμός Fourier επηρεάζει τις ζωές μας με μυριάδες τρόπους. Για παράδειγμα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να αναλύσουμε το σήμα δόνησης που παράγεται από έναν σεισμό και να υπολογίσουμε τις συχνότητες στις οποίες η ενέργεια που μεταδίδεται με την ανακίνηση του εδάφους είναι μεγαλύτερη. Ένα λογικό βήμα προς την αντισεισμική θωράκιση ενός κτιρίου είναι να βεβαιωθούμε ότι οι συχνότητες συντονισμού του κτιρίου είναι διαφορετικές από τις συχνότητες του σεισμού.
Άλλες εφαρμογές περιλαμβάνουν την αφαίρεση του θορύβου από παλαιές ηχογραφήσεις, την εύρεση της δομής του DNA με τη χρήση ακτίνων X, τη βελτίωση της του ραδιοφωνικού σήματος και την πρόληψη ανεπιθύμητων δονήσεων στα αυτοκίνητα. Πρόσθετα, οι περισσότεροι από εμάς ασυναίσθητα επωφελούμαστε κάθε φορά που παίρνουμε μια ψηφιακή φωτογραφία.
Εάν υπολογίσετε πόσες πληροφορίες απαιτούνται για να παρουσιαστεί το χρώμα και η φωτεινότητα του κάθε pixel σε μια ψηφιακή εικόνα, θα ανακαλύψετε ότι μια ψηφιακή φωτογραφική μηχανή χρειάζεται 10-πλάσια μνήμη από αυτή που έχει στην διάθεση της. Οι κάμερες όμως χρησιμοποιούν την JPEG συμπίεση δεδομένων, που συνδυάζει πέντε διαφορετικά βήματα συμπίεσης. Ένα από αυτά είναι μια ψηφιακή έκδοση του μετασχηματισμού Fourier, η οποία λειτουργεί με ένα σήμα που δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου, αλλά σε ολόκληρη την εικόνα. Τα μαθηματικά είναι σχεδόν ταυτόσημα. Τα άλλα τέσσερα βήματα μειώνονται τα δεδομένα ακόμη περισσότερο, σε περίπου το ένα δέκατο του αρχικού ποσού.
Αυτές είναι επτά μόνο από τις πολλές εξισώσεις που συναντάμε κάθε μέρα, και που δεν συνειδητοποιούμε ότι υπάρχουν. Αλλά ο αντίκτυπος των εξισώσεων στην ιστορία πηγαίνει πολύ πιο πέρα. Μια πραγματικά επαναστατική εξίσωση μπορεί να έχει μεγαλύτερο αντίκτυπο στην ανθρώπινη ύπαρξη από όλους τους βασιλιάδες και τις βασίλισσες των οποίων οι μηχανορραφίες συμπληρώνουν τα βιβλία της ιστορίας μας.
Υπάρχει (ή μπορεί να υπάρχει) μία εξίσωση – μία θεωρία – που οι φυσικοί και οι κοσμολόγοι τους αρέσει να ασχολούνται: μια θεωρία των πάντων, που θα ενοποιεί την κβαντομηχανική και τη σχετικότητα. Η πιο γνωστή από τις πολλές υποψήφιες είναι η θεωρία των υπερχορδών. Αλλά για όλα όσα γνωρίζουμε, οι εξισώσεις για τον φυσικό κόσμο απλώς είναι υπεραπλουστευμένα μοντέλα που αδυνατούν να συλλάβουν τη βαθιά δομή της πραγματικότητας. Ακόμα κι αν η φύση υπακούει σε συμπαντικούς νόμους, μπορεί να μην είναι εκφρασμένη ως εξισώσεις.
Μερικοί επιστήμονες πιστεύουν ότι είναι καιρός να εγκαταλείψουμε συνολικά τις παραδοσιακές εξισώσεις υπέρ των αλγορίθμων – πιο γενικές συνταγές για τον υπολογισμό πραγμάτων που αφορούν τη λήψη αποφάσεων. Αλλά μέχρι να ξημερώσει εκείνη η ημέρα, ή και ποτέ, τις μεγαλύτερες γνώσεις μας πάνω στους νόμους της φύσης, θα συνεχίσουμε να λαμβάνουμε από τις εξισώσεις, και πρέπει να μάθουμε να τις κατανοούμε και να τις εκτιμούμε. Οι εξισώσεις έχουν ιστορικό ρόλο. Μπορούν πραγματικά να αλλάξουν τον κόσμο και θα το αλλάξουν και πάλι.
Η προέλευση των εξισώσεων
Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι και οι Έλληνες ήξεραν για εξισώσεις, αν και τις έγραφαν χρησιμοποιώντας λέξεις και εικόνες. Κατά τα τελευταία 500 χρόνια, οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες έχουν χρησιμοποιήσει σύμβολα, το πιο κρίσιμο είναι το σύμβολο του ίσον. Παραδόξως, ξέρουμε ποιος το εφηύρε, και γιατί. Ήταν ο Robert Recorde, ο οποίος το 1557 έγραψε στην πραγματεία του The Whetstone of Witte: “Για να αποφευχθεί κάθε βαρετή επανάληψη θα βάζουμε το ίσον”.
Θεωρήματα και θεωρίες
Μερικές εξισώσεις παρουσιάζουν λογικές σχέσεις ανάμεσα σε μαθηματικές ποσότητες, και το έργο των μαθηματικών είναι να αποδείξουν ότι είναι έγκυρες. Ορισμένες άλλες παρέχουν πληροφορίες σχετικά με μια άγνωστη ποσότητα. Εδώ ο στόχος είναι να λύσουν την εξίσωση και να κάνουν το άγνωστο γνωστό. Εξισώσεις με καθαρά μαθηματικά είναι συνήθως το πρώτο είδος εξισώσεων: αποκαλύπτουν μοτίβα και κανονικότητες στα ίδια τα μαθηματικά. Το Πυθαγόρειο θεώρημα, μια εξίσωση εκφρασμένη στη γλώσσα της γεωμετρίας, είναι ένα παράδειγμα. Λαμβάνοντας υπόψη τις βασικές γεωμετρικές παραδοχές του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο θεώρημα είναι αληθινό.
Εξισώσεις με εφαρμοσμένα μαθηματικά και μαθηματική φυσική είναι συνήθως το δεύτερο είδος εξισώσεων. Εκφράζουν ιδιότητες του σύμπαντος που θα μπορούσαν, κατ’ αρχήν, να ήταν διαφορετικές. Για παράδειγμα, ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα μας λέει πώς να υπολογίσουμε την ελκτική δύναμη μεταξύ δύο σωμάτων. Η επίλυση των εξισώσεων που προκύπτουν μας λένε πώς οι πλανήτες βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τον ήλιο ή πώς να σχεδιάσετε μια πορεία για ένα διαστημικό όχημα. Αλλά ο νόμος του Νεύτωνα δεν είναι μαθηματικό θεώρημα. Ο νόμος της βαρύτητας θα μπορούσε να ήταν διαφορετικός. Πράγματι, είναι διαφορετικός: η γενική σχετικότητα του Αϊνστάιν βελτιώνει το Νεύτωνα. Και ακόμη ότι η θεωρία δεν μπορεί να είναι η τελευταία λέξη.
Άρθρο του Ian Stewart στο New Scientist. O Stewart είναι μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Warwick.
Leave a Comment