O Κρίστιαν Γκόλντμπαχ γεννήθηκε 18 Μαρτίου του 1690 . Ήταν γιος προτεστάντη ιερέα. Σπούδασε στο τοπικό πανεπιστήμιο νομικά και ιατρική (όχι μαθηματικά) και μετά το τέλος των σπουδών του, από το 1710 έως το 1724, ταξίδεψε σε πολλά μέρη της Ευρώπης, όπου γνώρισε διάσημους μαθηματικούς (τους Λάιμπνιτς, Όιλερ και Μπερνούλι, μεταξύ άλλων), με τους οποίους διατήρησε επαφή μέσω αλληλογραφίας. Επιστρέφοντας στη γενέθλια πόλη του, γνώρισε τους μαθηματικούς Γκέοργκ Μπίλφινγκερ και Γιάκομπ Χέρμαν, μια γνωριμία που άλλαξε τη ζωή του.
Οι τρεις τους πήγαν στην Αγία Πετρούπολη, όπου δούλεψαν στη μόλις ιδρυθείσα Ακαδημία Επιστημών. Ο Γκόλντμπαχ δίδαξε εκεί μαθηματικά και ιστορία, γεγονός μάλλον περίεργο γιατί δεν είχε τα τυπικά προσόντα ούτε για το ένα ούτε για το άλλο γνωστικό πεδίο. Φαίνεται όμως πως ήξερε λίγο απ’ όλα, πανεπιστήμονας. Ήταν και πολύγλωσσος: μιλούσε και έγραφε γερμανικά, γαλλικά, ιταλικά, ρωσικά και λατινικά.
Το 1728 πήγε στη Μόσχα, στην αυλή τού μόλις 13 ετών Τσάρου Πέτρου Β΄, ως αποκλειστικός δάσκαλός του. Το 1730 ο νεαρός μαθητής του αρρώστησε και πέθανε, και ο Γκόλντμπαχ επέστρεψε στην Ακαδημία, όπου ανέλαβε διοικητικά καθήκοντα, ενώ παράλληλα ασχολήθηκε ενεργά με την πολιτική. Το 1740 ανέλαβε σημαντική θέση στο Ρωσικό Υπουργείο Εξωτερικών. Το 1760 ανέλαβε τη γενική εποπτεία της εκπαίδευσης των παιδιών του Τσάρου. Το πρόγραμμα σπουδών που κατάρτισε ακολουθήθηκε για τα επόμενα 100 χρόνια.
Ο Γκόλντμπαχ είναι κυρίως γνωστός για την αλληλογραφία του με τον Λάιμπνιτς, τον Όιλερ και τον Μπερνούλι, και ειδικά για το γράμμα του προς τον Όιλερ το 1742, στο οποίο περιέγραφε την εικασία του. Επίσης μελέτησε και απέδειξε θεωρήματα των τέλειων δυνάμεων, όπως το θεώρημα Γκόλντμπαχ-Όιλερ, και πρόσφερε κάποια αποτελέσματα στην ανάλυση.
Η εικασία του Γκόλντμπαχ είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:
Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.
Για παράδειγμα,
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
κτλ.
Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:
Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων.
Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής
Κάθε περιττός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.
Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:
Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων, προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει.
Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.
Προσπάθειες απόδειξης πως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της εικασίας του Γκόλντμπαχ, από τις οποίες όμως καμία δεν έχει γίνει ακόμα αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα. Ο εκδοτικός οίκος “Faber and Faber” προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον αποδείκνυε την εικασία του Γκόλντμπαχ μέσα στο χρονικό διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοιχτή.
Δεύτερη Εικασία του Γκόλντμπαχ
Η δεύτερη εικασία αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 3 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων.
Απόδειξη: Έστω περιττός αριθμός x μεγαλύτερος του 3. Τότε ο x-1 θα είναι άρτιος και βάση της 1ης εικασίας μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών έστω y,z οι αριθμοί αυτοί. Άρα x-1=y+z => x=y+z+1.
Το 1 είναι πρώτος αριθμός γιατί διαιρείται με τον εαυτό του και την μονάδα.
