Είναι ένας από τους πιο απλούς τύπους που θα μάθει ένας μαθηματικός. Κι όμως, οι συνέπειες του είναι αμέτρητες. Ικανές να σε κάνουν να απορείς πώς μπορεί κάτι τόσο απλό να ταρακουνήσει συθέμελα την επιστήμη.
Πρόκειται για μια από τις εξισώσεις που οι φοιτητές των θετικών επιστημών, αργά ή γρήγορα, θα συναντήσουν μπροστά τους. Μάλιστα, συνήθως αυτό γίνεται στα πρώτα χρόνια φοίτησης, καθώς το Θεώρημα του Bayes δεν είναι ούτε ακατανόητο, ούτε δύσμορφο όπως οι περισσότεροι τύποι. Με λίγη μαθηματική διαίσθηση, αυτό που διατύπωσε και απέδειξε ο Άγγλος μαθηματικός στις αρχές του 18ου αιώνα, γίνεται πλήρως αντιληπτό.
Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει το θεώρημα του Bayes που μαθαίνουν όλοι οι πρωτοετείς φοιτητές των θετικών επιστημών. Διατυπώθηκε από τον Άγγλο μαθηματικό και πρεσβυτεριανό ιερέα Τόμας Μπέυζ (Thomas Bayes 1701–1761).
Τι εξηγεί αυτός ο απλούστατος νόμος; – Πώς να τον αποδείξετε, χρησιμοποιώντας ένα ζάρι
Το θεώρημα του Bayes ανήκει στην μεγάλη οικογένεια της «Θεωρίας των Πιθανοτήτων». Δεν είναι όμως ένα απλό μέλος της. Ο Harold Jeffreys, ένας από τους σπουδαιότερους Άγγλους μαθηματικούς, που ασχολήθηκε με τις «μπεϊζιανές» πιθανότητες και εισήγαγε την έννοια του αλγορίθμου Bayes, είχε δηλώσει πως ο συγκεκριμένος τύπος «είναι στη Θεωρία Πιθανοτήτων όπως αντίστοιχα το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη Γεωμετρία».
Ο Bayes ασχολήθηκε με τις δεσμευμένες πιθανότητες ή αλλιώς τις «υπό συνθήκη» πιθανότητες. Ο νόμος του, μέσα στην συνοπτική του γραφή, κρύβει μυστικά που βασανίζουν από μαθηματικούς και φυσικούς, μέχρι γιατρούς και φιλοσόφους. Γράφοντας το «P(A|B) = P(B|A)*P(A)/ P(B)» ο Αγγλος μαθηματικός δεν περίμενε πως ο τύπος του, μετά από 300 χρόνια, θα έχει δημιουργήσει ολόκληρα φιλοσοφικά ερωτήματα. Πως θα έχει επηρεάσει την τεχνητή νοημοσύνη ή πως θα θέσει τις βάσεις για την εξέλιξη κλάδων όπως η κβαντομηχανική.
Τι σημαίνει όμως ο συγκεκριμένος τύπος; «Η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α, δεδομένου του Β, ισούται με την πιθανότητα να συμβεί το Β δεδομένου του Α, επί την πιθανότητα να συμβεί το Α, διά την πιθανότητα να συμβεί το Β». Ο νόμος του Bayes γίνεται πολύ εύκολα αντιληπτός με ένα απλό παράδειγμα.
Έστω ότι ρίχνω ένα ζάρι και πληροφορούμαι ότι έφερα ζυγό αριθμό. Ποια η πιθανότητα να έχω φέρει 2; Η απάντηση είναι 1/3 και μπορεί να δοθεί άμεσα. Εχω φέρει ζυγό, άρα το αποτέλεσμα της ζαριάς είναι 2 ή 4 ή 6. Κάθε ένα από αυτά έχει 1/3 πιθανότητα να ισχύει.
Ας το δούμε τώρα μέσα από τον τύπο του Bayes: Η πιθανότητα να έχω φέρει ζυγό, αν ξέρω ότι έφερα 2, είναι 100%. Η πιθανότητα να φέρω 2, χωρίς να ξέρω τίποτα, είναι 1/6 (επειδή το ζάρι έχει 6 πλευρές). Η πιθανότητα να φέρω ζυγό είναι 1/2. Βάζοντας τα νούμερα πάνω στην εξίσωση έχουμε ότι P(A|B) = (1* 1/6)/1/2 =1/3.
Ο νόμος του Bayes μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητός. Οι συνέπειες του όμως είναι πραγματικά… ασύλληπτες.
O Sheldon Cooper στο τηλεοπτικό σίριαλ Big Bang Theory χρησιμοποιεί το θεώρημα του Bayes
Όσον αφορά την κατανόηση του θεωρήματος του Bayes, ο Horgan θεωρεί πολύ χρήσιμο το δοκίμιο, “An Intuitive Explanation of Bayes’ Theorem”, του θεωρητικού της τεχνητής νοημοσύνης Eliezer Yudkowsky, την παρουσίαση του θεωρήματος στη Wikipedia, αλλά και την σύντομη παρουσίαση του φιλοσόφου Curtis Brown.
Ένας κρυμμένος θησαυρός – Οι συνέπειες του Bayes σε επιστήμη, τεχνητή νοημοσύνη αλλά και στον ανθρώπινο εγκέφαλο
Έχετε παρατηρήσει που μερικές φορές κάποια email μπαίνουν στον φάκελο με τα «ανεπιθύμητα» χωρίς να πρέπει; Αυτό συμβαίνει λόγω κάποιου σφάλματος στο αλγοριθμικό σύστημα, το οποίο βασίζεται στα λόγια του Bayes. Αναγνωρίζει κάποια στοιχεία του email (π.χ. συγκεκριμένες λέξεις, ή μαζικές αποστολές mail) και βάσει αυτών υπολογίζει την πιθανότητα το email να είναι ανεπιθύμητο. Αν η πιθανότητα είναι μεγάλη, τότε το μήνυμα πάει στα «junk». Με λίγα λόγια, υπολογίζει μια δεσμευμένη πιθανότητα.
Κάπως έτσι λειτουργεί και το «ψαχτήρι» της Google αλλά και οι σύγχρονες ρομποτικές μηχανές με εξελιγμένη τεχνητή νοημοσύνη. Ενα ακόμα πιο πρόσφατο παράδειγμα, είναι τα αυτοκινούμενα οχήματα. Για να αναγνωρίζουν την δομή του χώρου και να πάρουν αποφάσεις, ακολουθούν το «μπεϊζιανό» λογισμικό. Η ανεπτυγμένη ευφυΐα που παρουσιάζουν οι σημερινές μηχανές, οφείλεται εν πολλοίς σε αυτό το θεμελιώδες θεώρημα.
Οι συνέπειες του Bayes όμως δεν έχουν εφαρμογή μόνο στον χώρο της ρομποτικής. Οι φιλόσοφοι υποστηρίζουν πως ολόκληρη η επιστήμη μπορεί να θεωρηθεί ο μια «μπεϊζιανή» διαδικασία, όπως επίσης και ότι το θεώρημα του Bayes μπορεί να διακρίνει με τεράστια ακρίβεια την επιστήμη από την ψευδο-επιστήμη. Αν το σκεφτεί κανείς, η επιστήμη ξεκινάει από κάποια δεδομένα, γνωστά και ως αξιώματα. Δεχόμαστε ότι 1+0=1 και δεδομένου αυτού εξελίσουμε βήμα-βήμα την επιστήμη. Εχουμε κάνει όμως μια, έστω και υποτυπώδη, δέσμευση.
Οι επιστήμονες της γνωστικής επιστήμης, εικάζουν ότι το περιεχόμενο του θεωρήματος του Bayes είναι πιθανό να περνάει και εκτός των ορίων της επιστήμης. Μπορεί να βρίσκεται μέσα στον ίδιο μας τον… εγκέφαλο. Στον τρόπο με τον οποίο επεξεργαζόμαστε τα αμέτρητα δεδομένα, ώστε να καταλήξουμε σε κάποια απόφαση. Τον περασμένο Νοέμβριο, στην Νέα Υόρκη είχε λάβει μέρος ένα πολύ σημαντικό συνέδριο, γεμάτο με διακεκριμένους επιστήμονες και φιλοσόφους, με θέμα «Είναι ο εγκέφαλος Μπεϊζιανός;». Κάποια από τα γνωστότερα επιστημονικά περιοδικά έχουν επίσης ασχοληθεί με αυτό το εντυπωσιακό ερώτημα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτό το άρθρο του Scientific American.
Το τεστ που εξαπατάει τους πάντες: Οταν ο νόμος του Bayes συγκρούεται με την… λογική
Πέραν όλων των άλλων, οι πιθανότητες του Bayes επηρεάζουν σημαντικά την ιατρική. Μάλιστα, σε αρκετές περιπτώσεις, τα αποτελέσματα που βγαίνουν μέσα από το θεώρημα του Αγγλου μαθηματικού δεν συμβαδίζουν με την κοινή λογική. Το παρακάτω παράδειγμα είναι χαρακτηριστικό.
Εστω ότι κάνετε ένα τεστ για μια ασθένεια με όνομα «Α», για την οποία τα στατιστικά δείχνουν ότι προσβάλλει μόλις ένα στους εκατό ανθρώπους. Το τεστ γράφει πως έχει 90% ακρίβεια. Δηλαδή αν το κάνουν 10 άτομα που έχουν την ασθένεια τότε θα βγάλει 9 φορές θετικό αποτέλεσμα, ενώ αν το κάνουν 10 άτομα που δεν την έχουν τότε θα βγάλει 9 φορές αρνητικό.
Κάνοντας το τεστ, βλέπετε ότι σας βγάζει θετικό. Η ακρίβεια του τεστ είναι, φαινομενικά, μεγάλη όποτε είστε πλέον σχεδόν σίγουροι ότι πάσχετε από την ασθένεια. Οι πιθανότητες όμως, σε αυτή την περίπτωση, σας έχουν ξεγελάσει κανονικότατα. Παρόλο που το τεστ βγήκε θετικό, η πιθανότητα να είστε ασθενής είναι μόλις 8.33%.
Σε 10.000 άτομα, σύμφωνα με τα δεδομένα του παραδείγματος, θα βρεθούν συνολικά 1080 θετικά τεστ. Ωστόσο, μόλις 90 απο τους 1080 θα είναι πράγματι ασθενείς. Οι υπόλοιποι θα είναι υγιείς, που λόγω σφάλματος θα έχουν βγάλει θετικό αποτέλεσμα. Η διαίρεση 90/1080 οδηγεί στο 0.083 δηλαδή στο 8.33% που αναφέρθηκε παραπάνω.
Εισαγωγικό παράδειγμα
Το σύνολο της παραγωγής ενός εργοστασίου παράγεται από τρεις μηχανές. Οι τρεις μηχανές ευθύνονται για το 20%, 30%, και 50% της παραγωγής, αντίστοιχα. Το όριο των ελαττωματικών αντικειμένων που παράγεται είναι: για την πρώτη μηχανή, 5%; για τη δεύτερη μηχανή, 3%; για την τρίτη μηχανή, 1%. Αν ένα αντικείμενο επιλέγεται τυχαία από το σύνολο της παραγωγής και βρεθεί να είναι ελαττωματικό, ποια είναι η πιθανότητα να έχει παραχθεί από την τρίτη μηχανή?
Η λύση είναι η ακόλουθη. Έστω Ai δηλώνουμε το γεγονός ότι το αντικείμενο που επιλέχθηκε τυχαία είχε παραχθεί από την i μηχανή (για i = 1,2,3). Έστω B δηλώνουμε το γεγονός ότι το αντικείμενο που επιλέχθηκε τυχαία είναι ελαττωματικό. Τότε γνωρίζουμε τα ακόλουθα:
- P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.3, P(A3) = 0.5.
Αν το αντικείμενο παράχθηκε από τη μηχανή A1, τότε η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό είναι 0.05 δηλαδή, P(B | A1) = 0.05. Συνεπώς, έχουμε
- P(B | A1) = 0.05, P(B | A2) = 0.03, P(B | A3) = 0.01.
Για να απαντήσουμε το ερώτημα, πρέπει πρώτα να βρούμε P(B). Αυτό μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τρόπο:
- P(B) = Σi P(B | Ai) P(Ai) = (0.05)(0.2) + (0.03)(0.3) + (0.01)(0.5) = 0.024.
Ως εκ τούτου 2.4% από τη συνολική παραγωγή του εργοστασίου είναι ελαττωματική.
Δηλώσαμε το B πως προέκυψε, και θέλουμε να υπολογίσουμε τη δεσμευμένη πιθανότητα του A3. Από το θεώρημα του Μπέυζ,
- P(A3 | B) = P(B | A3) P(A3)/P(B) = (0.01)(0.50)/(0.024) = 5/24.
Δεδομένου ότι το αντικείμενο είναι ελαττωματικό, η πιθανότητα να παράχθηκε από την τρίτη μηχανή είναι μόνο 5/24. Αν και η τρίτη μηχανή παράγει το μισό από τη συνολική παραγωγή, παράγει ένα πολύ μικρότερο ποσοστό από τα ελαττωματικά αντικείμενα. Ως εκ τούτου, το ότι γνωρίζουμε πως το αντικείμενο που επιλέχθηκε ήταν ελαττωματικό μας δίνει τη δυνατότητα να αντικαταστήσουμε την αρχική πιθανότητα P(A3) = 1/2 με τη μικρότερη δεσμευμένη πιθανότητα P(A3 | B) = 5/24.
Πηγή Wikipedia iefimerida.gr
