Η ειδική σχετικότητα συμπληρώνει τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα, ώστε να ισχύουν και σε ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός. Εξετάζει φαινόμενα που βρίσκονται έξω από το πλαίσιο της άμεσης αντίληψής μας για τον κόσμο που μας περιβάλλει. Η εικόνα μας για τον κόσμο διαμορφώθηκε για ταχύτητες πολύ μικρές σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός. Αυτή η αντίληψη φυσικά δεν κατανοεί παραδοξότητες, όπως το παράδοξο των διδύμων, η διαστολή του χρόνου, η συστολή του μήκους, η ισοδυναμία μάζας-ενέργειας, που επιβεβαιώνονται καθημερινά στους σύγχρονους επιταχυντές σωματιδίων.
1. Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας
Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας που παρουσιάστηκε το 1905, από τον Αϊνστάιν έχει μια μοναδική γοητεία εξαιτίας της απλότητας και κομψότητας των δύο αξιωμάτων πάνω στα οποία στηρίζεται:
α. Οι νόμοι της φύσης είναι ίδιοι για όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.
β. Η ταχύτητα του φωτός είναι ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.
Η άμεση και εκπληκτική συνέπεια των δύο υποθέσεων είναι ότι ο χρόνος είναι σχετικός και παρατηρητές με σχετική ταχύτητα ο ένας ως προς τον άλλο, βλέπουν διαφορετικά τα χρονικά διαστήματα μεταξύ δύο γεγονότων που παρατηρούν.
Δηλαδή η Ειδική Θεωρία ασχολείται με δύο ιδέες που μπορούν να θεωρηθούν αντίθετες, την σχετικότητα και το αναλλοίωτο.
Η σχετικότητα έχει να κάνει με την έννοια της σχετικότητας της παρατήρησης ενός φαινομένου. Ένας παρατηρητής βλέπει ένα φαινόμενο διαφορετικά από έναν άλλο που κινείται σχετικά ως προς τον πρώτο. Διαφωνούν δηλαδή οι δύο τους σε ορισμένα μεγέθη που μετρούν.
Το αναλλοίωτο από την άλλη, αναφέρεται στη συμφωνία που επικρατεί για ορισμένους νόμους ή φαινόμενα, που είναι όμοια και στους δύο.
Ο Αϊνστάιν τώρα έδειξε πως μια σειρά φυσικών ποσοτήτων που προηγουμένως θεωρούνταν αναλλοίωτες (χρόνος, μάζα, μήκος κλπ), είναι τελικά ποσότητες σχετικές.
Και από την άλλη, έδειξε πως όλοι οι νόμοι που κυβερνούν τα φαινόμενα παραμένουν αναλλοίωτοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.
Συγχρόνως έδειξε πως δεν υπάρχει προτιμητέο σύστημα αναφοράς στη φύση και επομένως ούτε απόλυτη κίνηση.
Μετά την πειραματική απόρριψη της ιδέας του ‘αιθέρα’, το 1905 ο Αϊνστάιν στην πρώτη δημοσίευση του για την ειδική σχετικότητα γράφει: “η εισαγωγή του αιθέρα είναι περιττή διότι δεν χρειαζόμαστε κανένα απόλυτο ακίνητο χώρο που να έχει ειδικές ιδιότητες”.
Το κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς δηλαδή, διέπεται από τους ίδιους νόμους και ένας παρατηρητής σ’ αυτό, μπορεί να θεωρεί το σύστημα που βρίσκεται ως “ακίνητο”, ενώ η ταχύτητα του φωτός είναι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα σταθερή. Γι’ αυτό και δεν υπάρχει ειδικό, προνομιακό, σύστημα αναφοράς στη φύση.
Η Θεωρία αυτή ονομάστηκε Ειδική Σχετικότητα, για να δείξει ότι ασχολείται με συστήματα αναφοράς που κινούνται το ένα σχετικά ως προς το άλλο (Σχετικότητα) αλλά δεν θα πρέπει να κινούνται κυκλικά ή με επιταχυνόμενη κίνηση (Ειδική Θεωρία, όχι Γενική).
‘Όταν δημοσιεύτηκε όμως η θεωρία αυτή στο Γερμανικό περιοδικό Annalen der Physik (τόμος 17, 1905), είχε τίτλο “Περί της Ηλεκτροδυναμικής κινουμένων σωμάτων”. Γιατί αντίθετα με το Νεύτωνα που υποστήριζε ότι όλοι οι νόμοι της Μηχανικής παραμένουν αναλλοίωτοι σε όλα τα συστήματα, ο Αϊνστάιν απέδειξε πως όλοι οι νόμοι της Φυσικής, μαζί και η Ηλεκτροδυναμική, παραμένουν αναλλοίωτοι.
2.Το πρόβλημα της πρόσθεσης των ταχυτήτων
Μια βασική παραδοχή της Νευτώνειας Μηχανικής είναι ότι υπάρχει μια απόλυτη, παγκόσμια κλίμακα του χρόνου, που είναι ίδια για όλους τους παρατηρητές. Αυτή οδηγεί στην ιδέα ότι αν δύο γεγονότα είναι ταυτόχρονα για ένα παρατηρητή, θα είναι και για οποινδήποτε άλλον, είτε κινούμενο είτε ακίνητο.
Αργότερα η παρατηρηθείσα σταθερότητα της ταχύτητας με την οποία ταξιδεύει το φως, (πειράματα Michelson-Morley) μας έθεσε την υπόνοια ότι το Νευτώνειο μοντέλο του χώρου και του χρόνου δεν είναι πλήρες. Στα πειράματα αυτά η ταχύτητα του φωτός ήταν πάντα ίδια, είτε αυτό ταξίδευε προς την φορά κίνησης της Γης, είτε αντίθετα από αυτήν.Αλλά οι ρωγμές σε αυτό το μοντέλο δεν προσέχθηκαν και τόσο έως ότου αρχίσαμε να περιγράφουμε σώματα που κινούνται κοντά στην ταχύτητα του φωτός
Ένας λόγος λοιπόν για τον οποίο απαιτήθηκε η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein, ήταν τα ειδικά προβλήματα που δημιουργήθηκαν, όταν παρατήρησαν οι επιστήμονες ότι η ταχύτητα του φωτός είναι μια σταθερή ταχύτητα, προς κάθε κατεύθυνση. Αυτό προκάλεσε προβλήματα στο Νευτώνειο μοντέλο για τη μέτρηση του χρόνου.
Ένα από αυτά τα προβλήματα καλείται πρόβλημα της πρόσθεσης των ταχυτήτων. Το πρόβλημα αυτό διευκρινίζεται στα παρακάτω σχήματα.
Γεγονότα όπως παρατηρούνται από το σύστημα αναφοράς του κόκκινου οδηγού ή το από το δικό μας αδρανειακό σύστημα αναφοράς . Όπως γνωρίζουμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς μπορεί να κινείται με σταθερή ταχύτητα ή να είναι ακίνητο.
Στο πάνω σχήμα βλέπουμε το σύστημα αναφοράς του κόκκινου οδηγού που είναι το ίδιο με το δικό μας, όταν στεκόμαστε ακίνητοι στην άκρη του δρόμου. Ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς, το μπλε αυτοκίνητο ταξιδεύει προς τα εμπρός με ταχύτητα Uμπλε και κάποια αντικείμενα (πχ μπάλες) πετιούνται από το μπλε αυτοκίνητο με ταχύτητα V όπως την αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής στο κόκκινο αυτοκίνητο.
Στο κάτω σχήμα διευκρινίζεται τι συμβαίνει, ως προς το σύστημα αναφοράς του μπλε αυτοκινήτου. Ως προς το μπλε αυτοκίνητο, λοιπόν, τα αντικείμενα πετιούνται προς τα εμπρός από το παράθυρό του με ταχύτητα V’ και το κόκκινο αυτοκίνητο πηγαίνει προς τα πίσω. 
Γεγονότα όπως βλέπονται από το πλαίσιο αναφοράς του μπλε αυτοκινήτου.
Η ερώτηση λοιπόν του προβλήματος της πρόσθεσης των ταχυτήτων είναι η εξής:
Αν δοθούν τα Uμπλε και V’ , με τι θα ισούται η ταχύτητα V των αντικειμένων που πετιούνται από το μπλε αυτοκίνητο όπως την αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής στο κόκκινο;
Εάν χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο του Νεύτωνα για τον χρόνο, ο παρατηρητής στο κόκκινο αυτοκίνητο αντιλαμβάνεται ταχύτητα :
V = Uμπλε + V’
Πως βγαίνει όμως αυτή η σχέση;
Υποθέστε,όπως πιστεύει ο Νεύτωνας, ότι οι οδηγοί του κόκκινου και μπλε αυτοκινήτου, μετρούν ακριβώς τις ίδιες χρονικές διάρκειες και μετατοπίσεις.
Σύμφωνα με την μπλε οδηγό, στον χρόνο Τ η απόσταση της μπάλας από το μπλε αυτοκίνητο είναι Xμπ = V’ T.
Στον ίδιο χρόνο T στο σύστημα αναφοράς όμως του κόκκινου αυτοκινήτου, το μπλε αυτοκίνητο έχει διανύσει την απόσταση Xαυτ = Uμπλε T.
Σύμφωνα λοιπόν με την οδηγό του κόκκινου, η συνολική απόσταση που ταξίδευσε η πορφυρή μπάλα είναι η απόσταση που ταξίδευσε το μπλε αυτοκίνητο από το κόκκινο αυτοκίνητο συν την απόσταση που η μπάλα ταξίδεψε ως προς το μπλε αυτοκίνητο, ή με σύμβολα:
Χ = Xαυτ + Xμπ = Uμπλε.T + V’. T = (Uμπλε + V’ ). T.
Αλλά X = V. T, και έτσι αυτό μας δίνει την Νευτώνεια σχέση της πρόσθεσης των ταχυτήτων:
V = Uμπλε + V’
Έτσι, παραδείγματος χάριν, εάν το μπλε αυτοκίνητο πηγαίνει με 30 km/h και η οδηγός του μπλε αυτοκινήτου μετρά την ταχύτητα της μπάλας σε 60 km/h, τότε η οδηγός του κόκκινου αυτοκινήτου πρέπει να μετράει την μπάλα να πηγαίνει με ταχύτητα 90 km/h, επειδή Uμπλε = 30 km/h, V’= 60 km/h και ως εκ τούτου V = Uμπλε + V’ = 90 km/h.
Αυτό βέβαια μοιάζει λογικό και έχει αποδειχθεί στην πράξη πολλές φορές.
Υποθέστε τώρα όμως ότι η ταχύτητα του μπλε αυτοκινήτου είναι Uμπλε = το ήμισυ της ταχύτητας του φωτός (C/2), και η ταχύτητα των αντικειμένων όπως την αντιλαμβάνεται η μπλε οδηγός είναι V’= με την ταχύτητα του φωτός (C, ίσως το αντικείμενο να είναι ένας παλμός από λέιζερ).
Με τι όμως θα ισούται τότε η ταχύτητα V των αντικειμένων ως προς το κόκκινο αυτοκίνητο;
Ο πιο πάνω Νευτώνειος τύπος μας λέει ότι η V με την οποία θα κινούνται οι παλμοί των λέιζερ, ισούται με μιάμιση φορά τη ταχύτητα του φωτός V=1,5C.
Αυτό όμως είναι αντίθετο προς την παρατηρηθείσα συμπεριφορά της φύσης, πως η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή για όλους τους παρατηρητές.
Επομένως το νευτώνειο μοντέλο του χρόνου όπως έχει βιωθεί από τις συνηθισμένες μας παρατηρήσεις, δεν πρέπει να είναι το καλύτερο μοντέλο για τη φύση.
Ενώ λοιπόν στη Νευτώνεια μηχανική το άθροισμα δύο ταχυτήτων V1, V2 κάνει V=V1+ V2, στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας το άθροισμά τους είναι:
V=(V1+ V2) / (1+V1.V2/C2).
Με τον τρόπο αυτό το “άθροισμα” δύο ταχυτήτων δεν ξεπερνά ποτέ την ταχύτητα του φωτός.
3. Ο χρόνος πρέπει να είναι σχετικός
Εάν η ταχύτητα του φωτός παραμένει η ίδια ακόμα κι αν η πηγή του φωτός κινείται με κάποια ταχύτητα σχετικά με το πρόσωπο που κάνει την μέτρηση, τότε πως αυτό επιδράει στον τρόπο που διαφορετικοί παρατηρητές μετρούν τον χρόνο και το χώρο; Και πως συνδυάζονται αυτά στη σύνθεση του χωρόχρονου;
Πάρτε τα κόκκινα και μπλε αυτοκίνητα από το προηγούμενο παράδειγμα, και βάλτε ένα λέιζερ πάνω στο μπλε αυτοκίνητο. Θα βάλουμε έναν καθρέφτη στο μπλε αυτοκίνητο όπως φαίνεται στα σχήματα, και θα στοχεύσουμε με το λέιζερ στον καθρέπτη κάθετα στη κατεύθυνση που το μπλε αυτοκίνητο ταξιδεύει.
Η διαδρομή του παλμού του λέιζερ όπως εμφανίζεται στο σύστημα αναφοράς του μπλε αυτοκινήτου.
Μέσα στο χρονικό διάστημα T που μετρείται από τον οδηγό του μπλε αυτοκινήτου, ο οποίος ενεργοποιεί το λέιζερ, το φως του λέιζερ ταξιδεύει μια απόσταση 2L, από το λέιζερ στον καθρέφτη και πάλι πίσω.
Εν τω μεταξύ, η οδηγός του κόκκινου αυτοκινήτου βλέπει το μπλε αυτοκίνητο που πλησιάζει. Σύμφωνα με την οδηγό του κόκκινου αυτοκινήτου, το λέιζερ χρειάστηκε έναν συνολικό χρόνο Τ για να χτυπήσει τον καθρέφτη και να επιστρέψει. (Αυτή η οδηγός είναι πρόθυμη να συμφωνήσει με την οδηγό του μπλε αυτοκινήτου ότι η απόσταση μεταξύ του λέιζερ και του καθρέφτη είναι L, δεδομένου ότι κανένας οδηγός δεν έχει οποιαδήποτε ταχύτητα προς εκείνη την κατεύθυνση, αφού κινούνται κάθετα προς αυτήν)
Η οδηγός του κόκκινου μετρά ότι το μπλε αυτοκίνητο έχει ταξιδεψει μια απόσταση X=Uμπλε.T και ο παλμός του λέιζερ ότι έχει ταξιδέψει μια συνολική απόσταση 2D=CT στο χρόνο αυτό. (όπου C=ταχύτητα του φωτός)
Εδώ είναι ο παλμός του λέϊζερ όπως εμφανίζεται στο σύστημα αναφοράς του κόκκινου αυτοκινήτου.
Εδώ είναι που προκύπτει το πρόβλημα. Δεδομένου όπως συναγάγαμε ακριβώς πιο πάνω, ότι cT’ = 2L και cT = 2D, ο μόνος τρόπος που θα μπορούσαμε να είχαμε ίσους χρόνους T’ = T θα ήταν αν η απόσταση D = L.
Επομένως, οι οδηγοί του κόκκινου και μπλε αυτοκινήτου δεν αντιλαμβάνονται τα χρονικά διαστήματα μεταξύ εκπομπής και λήψης του παλμού ως ίσα.
Έτσι δύο γεγονότα που είναι ταυτόχρονα σε ένα σύστημα αναφοράς, δεν είναι κατ’ ανάγκη ταυτόχρονα και σε ένα άλλο, που κινείται ως προς το πρώτο. Αυτή είναι μια βασική διαφορά ανάμεσα στο μοντέλο του Αϊνστάιν και στο Νευτώνειο μοντέλο.
Όμως τι σχέσεις μπορούμε να έχουμε μεταξύ των Τ και Τ’, προκειμένου να ισχύει η παρατηρηθείσα σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός γιά όλους τους παρατηρητές;
Σε αυτό που και οι δύο οδηγοί συμφωνούν είναι ότι η απόσταση L είναι κάθετη στη κίνηση των αυτοκινήτων. Χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα για την απόσταση του παλμού του λέιζερ στο χώρο, παίρνουμε
L2 + (X/2)2 = (c T/2)2 .
Από την άποψη του κινούμενου μπλε αυτοκινήτου L2 = (c T’/2)2 , και τοποθετώντας το στην ανωτέρω σχέση μαζί με τη σχέση X = Uμπλε T παίρνουμε τελικά : (c T’)2 + (X)2 = (c T)2Χ = Uμπλε ή
T = T’ / (1 – (Uμπλε/c)2)1/2 =Τ’.γ
όπου γ=1/(1 – (Uμπλε/c)2)1/2
Αυτό είναι καταπληκτικό!
Οι οδηγοί των μπλε και κόκκινων αυτοκινήτων δεν μετρούν τα ίδια χρονικά διαστήματα για τον παλμό του λέιζερ που χτυπάει στον καθρέφτη και έρχεται πίσω!
Αναγκαζόμαστε να συμπεριλάβουμε αυτή την ιδέα, αν θέλουμε να είμαστε σύμφωνοι με την παρατηρηθείσα σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός στη φύση.
Αυτό το φαινόμενο έχει βρεθεί να έχει βαθιές επιπτώσεις στη μαθηματική διαμόρφωση του χώρου και του χρόνου όπως παρατηρείται στη φύση.
Έτσι σημαίνει ότι πρέπει να επεκτείνουμε την ιδέα της Ευκλείδειας αναλυτικής γεωμετρίας για να συμπεριλάβει την εξαρτώμενη από τον παρατηρητή σχετικότητα των μετρήσεων του χρόνου και του χώρου.
Αυτό με τη σειρά του μας ανοίγει μια γιγαντιαία πόρτα των μαθηματικών προς τις μαύρες τρύπες, τις σκουληκότρυπες και τα ταξίδια στο χρόνο που είναι κατ’ αρχήν μαθηματικώς δυνατά.
Αυτό που μάθαμε προηγουμένως λέγεται σχετικιστική χρονική διαστολή. Το γεγονός που εμφανίστηκε στο σύστημα αναφοράς του κινούμενου μπλε οδηγού μέσα σε χρόνο Τ’, έγινε αντιληπτό από τον ακίνητο κόκκινο οδηγό να έχει συμβεί σε χρόνο Τ =Τ’/(1 – (Uμπλε/c) 2 ) 1/2 . Ο χρόνος Τ μπορεί να είναι κατά πολύ μεγαλύτερος από τον χρόνο Τ’ εάν η ταχύτητα Uμπλε είναι κοντά στην ταχύτητα του φωτός C .
Βλέπουμε λοιπόν πως το χρονικό διάστημα Τ που μετράει το ακίνητο σύστημα αναφοράς, είναι μεγαλύτερο από το χρονικό διάστημα Τ’ που μετράει ο παρατηρητής στο κινούμενο σύστημα αναφοράς. Δηλαδή Τ > Τ’ . Άρα τα κινούμενα ρολόγια πάνε αργότερα ή καθυστερούν κατά ένα παράγοντα 1/γ.
4. Και ο χώρος επίσης είναι σχετικός
Στην προηγούμενη παράγραφο, είδαμε ότι εάν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε γεωμετρία για να διαμορφώσουμε το διάστημα και το χρόνο μαζί, προκειμένου να έχουμε την παρατηρηθείσα σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός, οι παρατηρητές που κινούνται με σταθερή ταχύτητα σχετικά με ένα άλλο σύστημα αναφοράς, αντιλαμβάνονται τη μεταβολή του χρόνου διαφορετικά.
Τώρα θα υπολογίσουμε εάν αυτοί οι παρατηρητές μετρούν και το διάστημα επίσης διαφορετικά.
Υποθέστε ότι η οδηγός του μπλε αυτοκινήτου πιο κάτω, έχει μετρήσει το μήκος του αυτοκινήτου της με έναν κανόνα και τον βρήκε L’. Η μπλε οδηγός βλέπει την κόκκινη να κατευθύνεται προς αυτήν με την ταχύτητα –Uμπλε .
Η μπλε οδηγός βλέπει επίσης ότι χρειάζεται ένας χρόνος Τ’ από τη στιγμή που θα διέλθει το μπροστινό άκρο του κόκκινου αυτοκινήτου, από το μπροστινό άκρο του μπλε μέχρι να διέλθει το μπροστινό άκρο του κόκκινου από το πίσω άκρο του μπλε, και έτσι υπολογίζει ότι L’ = Uμπλε T’.
L’ είναι το μήκος του μπλε αυτοκινήτου, και Τ’ είναι ο χρόνος που απαιτείται στο κόκκινο για να διασχίσει το μπλε, όπως τον μετράει η οδηγός του μπλε.
Η οδηγός του κόκκινου αυτοκινήτου (που θεωρείται αδρανειακό σύστημα αναφοράς), αφ’ ετέρου, βλέπει το μπλε αυτοκίνητο να έρχεται πάνω της. Μετρά το χρόνο Τ που θέλει το μπλε αυτοκίνητο για να περάσει από τον μπροστινό προφυλακτήρα της. Υπολογίζει έπειτα το μήκος L του μπλε αυτοκινήτου που είναι
L = Uμπλε T. Έτσι έχουμε L/L’ = T/T’.
Τώρα τη σχέση μεταξύ του Τ και του Τ’, την υπολογίσαμε ήδη στην προηγούμενη παράγραφο.
L είναι το μήκος του μπλε αυτοκινήτου, και T είναι ο χρόνος που απαιτείται να περάσει το μπλε, όπως τον μετράει η οδηγός του κόκκινου.
Υπενθυμίζουμε πως προηγουμένως δεχθήκαμε πως, η οδηγός του μπλε, ήταν συγχρονισμένη με ένα παλμό λέιζερ και την αντανάκλασή του από έναν καθρέφτη.
Αυτά ήταν γεγονότα που συνέβησαν στην ίδια θέση σύμφωνα με τον μπλε οδηγό, και η χρονική διάρκεια ανάμεσα τους, μετρήθηκε πως είναι Τ’, με ένα μόνο ενιαίο ρολόι που απαιτήθηκε για τη μέτρηση.
Ο κόκκινος οδηγός είδε τον παλμό λέιζερ και την επιστροφή του να συμβαίνουν σε διαφορετικές θέσεις (επειδή είδε το λέιζερ να κινείται μαζί με το μπλε αυτοκίνητο) και έτσι η χρονική μέτρηση Τ του κόκκινου οδηγού, θα μπορούσε να γίνει κατ’ ελάχιστο, με ένα ζεύγος (συγχρονισμένων) ρολογιών.
Ο περιορισμός που έχουμε για τη ταχύτητα του φωτός, που πρέπει να είναι σταθερή, μας έδωσε αυτήν την σχέση μεταξύ του χρόνου Τ’, ο οποίος μετριέται από τον οδηγό του μπλε (κινούμενο σύστημα αναφοράς) και του χρόνου Τ που μετριέται από τον κόκκινο οδηγό (ακίνητο σύστημα):
T’ = T (1 – (Uμπλε/c)2)1/2
Η οδηγός του μπλε με το λέιζερ (του προηγουμένου παραδείγματος, 2ο μέρος), είναι όπως ο κόκκινος οδηγός σε αυτό το παράδειγμα, που προσπαθεί να μετρήσει ένα χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γεγονότων που συμβαίνουν στην ίδια θέση. Η οδηγός του μπλε σε αυτό το τωρινό παράδειγμα είναι σαν τον κόκκινο οδηγό του προηγούμενου 2ου μέρους, που προσπαθεί να μετρήσει ένα χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γεγονότων σε δύο διαφορετικές θέσεις.
Επομένως, η σχέση μεταξύ των Τ και Τ’ για το παράδειγμα αυτό που εξετάζουμε τώρα της μέτρησης των μηκών είναι :
T = T’ (1 – (Uμπλε/c)2)1/2 .
(Οι ρόλοι του Τ και του Τ’ αντιστρέφονται συγκρινόμενοι με το προηγούμενο τμήμα της διαστολής του χρόνου, επειδή οι ρόλοι των οδηγών του κόκκινου και μπλε όσον αφορά τη χρονική μέτρηση έχουν αλλαχθεί, όπως εξηγήθηκε πιο πάνω.)
Και επειδή η σχέση μεταξύ των μηκών L και L’ πρέπει να είναι : L/L’ = T/T’, θα έχουμε τελικά
L = L’ (1 – (Uμπλε/c)2)1/2
Επομένως, εάν θέλουμε να κάνουμε ένα μαθηματικό μοντέλο για τον χωρόχρονο, που να είναι σύμφωνο με την παρατηρηθείσα σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός, πρέπει να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι σε αυτό το μοντέλο, η μέτρηση του διαστήματος και του χρόνου δεν είναι η ίδια για όλους τους παρατηρητές.
Αυτό που έχουμε μάθει σε αυτό το τμήμα καλείται σχετικιστική συστολή του μήκους. Το μπλε αυτοκίνητο που μετριέται να έχει μήκος L’ στο σύστημα αναφοράς του κινούμενου οδηγού, μετρήθηκε από τον κόκκινο οδηγό (αδρανειακό σύστημα) να πρέπει να έχει το μήκος L = L’ (1 – (Uμπλε/c)2)1/2 , το οποίο μπορεί να είναι πολύ πολύ μικρότερο από το L’ εάν η ταχύτητα Uμπλε βρίσκεται κοντά στην ταχύτητα του φωτός C .
Υπάρχει όμως κάτι που να παραμένει ίδιο για όλους τους παρατηρητές; Θα το δούμε σε ένα προσεχές άρθρο μας.
