Μαθηματικά Σημαντικά θέματα

Η πλάνη του τζογαδόρου ή πλάνη Μόντε Κάρλο

Written by Δ.Μ.

Η «πλάνη του τζογαδόρου» (The Gambler’s fallacy) ή «πλάνη Μόντε Κάρλο» (Monte Carlo Fallacy) όπως είναι ευρέως γνωστή, είναι η πεποίθηση ότι εάν υπάρχουν αποκλίσεις από την αναμενόμενη συμπεριφορά σε επανειλημμένες ανεξάρτητες δοκιμές κάποιας τυχαίας διαδικασίας, τότε οι αποκλίσεις αυτές είναι πιθανό να εξομαλυνθούν από αντίθετες αποκλίσεις στο μέλλον.

Share

Η «πλάνη του τζογαδόρου» (The Gambler’s fallacy) ή «πλάνη Μόντε Κάρλο» (Monte Carlo Fallacy) όπως είναι ευρέως γνωστή, είναι η πεποίθηση ότι εάν υπάρχουν αποκλίσεις από την αναμενόμενη συμπεριφορά σε επανειλημμένες ανεξάρτητες δοκιμές κάποιας τυχαίας διαδικασίας, τότε οι αποκλίσεις αυτές είναι πιθανό να εξομαλυνθούν από αντίθετες αποκλίσεις στο μέλλον.

average-dice-roll

Ο δειγματικός μέσος μιας ακολουθίας ανεξάρτητων και πολλών τυχαίων μεταβλητών, συγκλίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό μέσο (η μέση τιμή) της κατανομής.

Για παράδειγμα, αν ένα κέρμα ριχτεί επανειλημμένα και έρχεται «γράμματα» περισσότερες φορές από αυτές που αναμένονται, τότε ένας παίκτης μπορεί λανθασμένα να πιστέψει ότι σε μελλοντικές ρίψεις του νομίσματος το «κεφάλι» είναι πιο πιθανό να έρθει.

Αυτή η προσδοκία είναι λανθασμένη για τον απλό λόγο ότι το κέρμα ή η μπίλια δεν έχει μνήμη. Το αποτέλεσμα επαναλαμβανόμενων ρίψεων είναι στατιστικά ανεξάρτητο, δηλαδή η πιθανότητα να έρθει «κεφάλι» ή «γράμματα» είναι 50% σε κάθε ρίψη.

Το κέρμα αποτελεί απλά ένα αντικείμενο και ως τέτοιο δεν γνωρίζει τα προηγούμενα αποτελέσματα

Η βασικότερη αρχή που συνοδεύει το τζόγο εδώ και τέσσερις περίπου αιώνες ορίζει ότι όσο μεγαλύτερο είναι το δείγμα των αποτελεσμάτων ενός γεγονότος, τόσο πιο αντιπροσωπευτικό είναι ως προς τις πραγματικές πιθανότητες.

Το πιο απλό και συνάμα διαχρονικό παράδειγμα είναι αυτό της ρίψης του κέρματος. Το ίδιο ακριβώς ισχύει τόσο στα παιχνίδια καζίνο όσο και στο στοίχημα. Με βάση αυτή την αρχή πορεύονται και οι στοιχηματικές πλατφόρμες, καθώς βασιζόμενες σε συγκεκριμένο ιστορικό αποτελεσμάτων διαμορφώνουν τις αντίστοιχες πιθανότητες, δηλαδή τις αποδόσεις. Η διαδικασία αυτή αποτελεί τη λεγόμενη «πλάνη του τζογαδόρου».

Άλλο ένα παράδειγμα που καταδεικνύει ότι τα μαθηματικά και η ανθρώπινη διαίσθηση είναι αντικρουόμενες έννοιες, είναι το πρόβλημα των γενεθλίων. Από την 1η Ιανουαρίου μέχρι και την 31η Δεκεμβρίου είναι 366 μέρες, συμπεριλαμβανομένης και της 29ης Φεβρουαρίου. Άρα για να είμαστε 100% σίγουροι ότι θα βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με κοινή μέρα γενεθλίων, χρειαζόμαστε το λιγότερο 367 άτομα, δηλαδή αυτούς του 366 και ακόμα έναν. Ενώ το παραπάνω παράδειγμα είναι πλήρως κατανοητό και μέσα στην «κοινή λογική» δεν ισχύει το ίδιο για τον μικρότερο αριθμό ατόμων που απαιτούνται ώστε η πιθανότητα να βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με την ίδια μέρα γενέθλιων να είναι 99%. Σκεφτείτε το λίγο, κάντε μια πρόβλεψη και μετά διαβάστε το άρθρο πρόβλημα των γενεθλίων στη Wikipedia για να δείτε πόσο έξω πέσατε.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών (The Strong Law of Large Numbers LLN)

Είναι ένα από τα πιο γνωστά αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σύμφωνα με το θεώρημα κάτω από κατάλληλες υποθέσεις, ο δειγματικός μέσος μιας ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν μία κοινή κατανομή συγκλίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό μέσο (η μέση τιμή) της κατανομής

Ο νόμος αυτός αποτελεί το βασικό έργο του Ελβετού μαθηματικού Μπερνούλι και ορίζει ότι ο δειγματικός μέσος μιας ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν μία κοινή κατανομή συγκλίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό μέσο (ή μέση τιμή) της κατανομής.

Βάζοντας στο μικροσκόπιο το παράδειγμα με τη ρίψη του νομίσματος, ας υποθέσουμε πως μετά από 100 ρίψεις το ενδεχόμενο «κορώνα» επαληθεύεται 68 φορές και το ενδεχόμενο «γράμματα» 32. Πρόκειται ωστόσο για ένα ιδιαίτερα μικρό δείγμα, κάτι που σημαίνει πως όσο αυξάνονται οι ρίψεις, τόσο τα δύο πιθανά ενδεχόμενα θα τείνουν να αγγίξουν ποσοστιαία το 50%. Αυτή ακριβώς είναι και η ερμηνεία του θεωρήματος του Μπερνούλι. Ο ίδιος παρατήρησε πως μετά από π.χ. 9 συνεχόμενες επαληθεύσεις του ενδεχομένου «κορώνα», ο μέσος άνθρωπος προβλέπει ότι στην επόμενη ρίψη το αποτέλεσμα θα είναι «γράμματα». Πρόκειται όμως για λανθασμένη εκτίμηση καθώς το νόμισμα δεν έχει μνήμη και ως εκ τούτου κάθε ρίψη είναι ανεξάρτητη τόσο από την προηγούμενη όσο και από την επόμενη.

Η λανθασμένη αυτή εκτίμηση αποτελεί την «πλάνη του τζογαδόρου». Όπως προαναφέρθηκε, οι 9 διαδοχικές ρίψεις του νομίσματος αποτελούν ένα επίσης πολύ μικρό δείγμα. Όσο αυξάνονται, τόσο η επιβεβαίωση του κάθε ενδεχομένου θα βαδίζει προς το 50%, κάτι όμως που θα συμβεί σε βάθος χρόνου (και ρίψεων) και που δεν εξασφαλίζει σε καμία περίπτωση πως το αποτέλεσμα της 10ης ρίψης θα είναι «γράμματα». Το ανωτέρω παράδειγμα μας βρίσκει άμεσα εφαρμογή στην ρουλέτα και στο ποντάρισμα στο μαύρο ή κόκκινο (ενώ υπάρχει και η πολύ μικρή πιθανότητα του zero) και στο οποίο θα αναφερθούμε εκτενώς στην συνέχεια του κειμένου μας.

To φαινόμενο της πλάνης του τζογαδόρου έρχεται για να εξηγήσει το πως σκέφτεται ο μέσος παίκτης όταν τζογάρει και βρίσκει εφαρμογή σε αρκετά δημοφιλή τυχερά παιχνίδια. Ας ξεκινήσουμε από τη ρουλέτα και την κλασική επιλογή «μαύρο ή κόκκινο» που αποτελεί ένα πείραμα παραπλήσιο με αυτό της ρίψης του κέρματος.

Πιθανή εμφάνιση του μαύρου συνεχόμενες φορές, οδηγεί αυτόματα τους παίκτες στην πεποίθηση πως έχει έρθει η ώρα η μπίλια να σταματήσει στο κόκκινο. Η μπίλια όμως αποτελεί απλά ένα αντικείμενο και ως τέτοιο δεν γνωρίζει τα προηγούμενα αποτελέσματα. Σε κάθε περιστροφή, το αποτέλεσμα είναι κάθε φορά 50-50, κάτι που αποδείχθηκε περίτρανα ένα βράδυ του 1913 στο καζίνο του Μόντε Κάρλο.

Πιο συγκεκριμένα, η μπίλια του τροχού προσγειώθηκε στο μαύρο χρώμα 26 συνεχόμενες φορές, ένα σενάριο συνοδευόμενο από πιθανότητες επαλήθευσης 1 προς 578 εκατομμύρια! Κι όμως συνέβη!

Στη διάρκεια των 26 αυτών περιστροφών, τοποθετήθηκαν πολλά και υπέρογκα πονταρίσματα από τους παίκτες του τραπεζιού, σε μια προσπάθεια να εξορθολογήσουν αυτό το τυχαίο γεγονός και να δημιουργήσουν μια προβλέψιμη εξήγηση. Μέχρι την εμφάνιση του κόκκινου χρώματος στην 27η ρίψη, το καζίνο είχε εξασφαλίσει ένα αμύθητο κέρδος και η εν λόγω ιστορία στιγμάτισε το πολυτελές καζίνο δίνοντας του την ονομασία «Monte Carlo Fallacy» (η πλάνη του Μόντε Κάρλο).

Κάτι αντίστοιχο ισχύει και στο παιχνίδι των κουλοχέρηδων όπου τα αποτελέσματα βασίζονται στη γεννήτρια τυχαίων αριθμών και υπάρχει πάντα ένα default ποσοστό επιστροφής (return to player ή RTP). Είναι συχνό φαινόμενο πολλοί παίκτες να συνεχίζουν το πάτημα του κουμπιού «Spin» στο αγαπημένο τους φρουτάκι παρά το γεγονός πως έχουν μετρήσει ήδη σημαντικές απώλειες. Ο λόγος είναι πως γνωρίζοντας την ύπαρξη του ποσοστού RTP, θεωρούν πως κάποια στιγμή το μηχάνημα θα τους επιστρέψει την προβλεπόμενη επιστροφή.

Πρόκειται όμως για μια ακόμη εφαρμογή του θεωρήματος του Μπερνούλι, βάσει του οποίου το ποσοστό αυτό αποτελεί απλά έναν μέσο όρο. Στο πλαίσιο αυτό, απαιτείται και πάλι ένα μεγάλο δείγμα – περιστροφών των τροχών αυτή τη φορά – προκειμένου να επιβεβαιωθεί το οριζόμενο ποσοστό επιστροφής. Ως άμεση συνέπεια, απαιτείται και το ανάλογο ρίσκο!

Η ίδια ακριβώς πλάνη φαίνεται να διακατέχει και τους λάτρεις των παιχνιδιών τύπου λοταρίας (λόττο, τζόκερ, λαχεία) στα καλύτερα online casino. Σίγουρα θα έχετε ακούσει για τακτικούς παίκτες που συνηθίζουν να επιλέγουν τους ίδιους αριθμούς επί πολλά χρόνια και κυρίως επί πολλές διαδοχικές κληρώσεις. Η τακτική αυτή πηγάζει από την απλή πεποίθηση πως πλησιάζει η στιγμή που θα κληρωθεί η επιλεχθείσα ομάδα αριθμών, εφόσον αυτό δεν έχει συμβεί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Μια τέτοια περίπτωση ωστόσο, μόνο εγγυημένη δεν είναι καθώς τα αποτελέσματα εξάγονται και πάλι από μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών

About the author

Δ.Μ.

Share