Από πού προέρχονται οι νόμοι της διατήρησης – οι δυνάμεις, τα χωρίς μάζα σωματίδια , όπως και αυτά της δύναμης με μάζα;

1. Από πού προέρχονται οι νόμοι της διατήρησης;

Η Γερμανίδα Emmy Noether (1882 – 1935) ήταν μια εξέχουσα φυσιογνωμία στον χώρο της θεωρητικής φυσικής και των μαθηματικών στις αρχές της δεκαετίας του 1900, όταν κυριαρχούσαν στους τομείς αυτούς οι άνδρες. Ο Αϊνστάιν μαζί με τον Χίλμπερτ την θεωρούσαν σαν την σπουδαιότερη γυναίκα στην ιστορία των Μαθηματικών. Σήμερα κάθε φοιτητής της φυσικής μαθαίνει το Θεώρημα Noether, σαν τμήμα της αναλυτικής μηχανικής. Το θεώρημα αυτό μπορεί να συνοψιστεί ως :

Για κάθε συνεχή συμμετρία (πχ μια περιστροφή), υπάρχει ένα μέγεθος που διατηρείται

Τι σημαίνει αυτό; Το πρώτο μέρος αναφέρεται σε μια συνεχή συμμετρία, σαν τις συμμετρίες του χωροχρόνου που συζητήσαμε στα δύο άρθρα Η συμμετρία στη Φυσική και Η έννοια της συμμετρίας στους νόμους της Φυσικής: όπου είδαμε τις περιστροφές, τις μετατοπίσεις στο χώρο, τις μεταφορές στον χρόνο, καθώς και τις σχετικιστικές γενικεύσεις τους (μετασχηματισμούς Lorentz). Η λέξη συνεχής σημαίνει ότι μπορείτε να εκτελέσετε τη συμμετρία προχωρώντας με όσο βήμα θέλετε, σε αντίθεση με τις διακριτές συμμετρίες (συμμετρίες ανταλλαγής, κατοπτρικές, αντιστροφής του φορτίου, του χρόνου κλπ).

Το δεύτερο μέρος του θεωρήματος μας λέει ότι αν έχετε μια συνεχή συμμετρία, τότε έχετε μια ποσότητα που διατηρείται, που οι φυσικοί το λένε γενικά φορτίο. Είναι κάτι που ήδη το ξέρουμε, πχ τα ηλεκτρόνια μεταφέρουν ένα ηλεκτρικό φορτίο που διατηρείται, ούτε δημιουργείται ούτε καταστρέφεται. Καθώς και ότι σε κάθε αλληλεπίδραση μεταξύ σωματιδίων το συνολικό φορτίο τους πρέπει να είναι στο τέλος ίδιο με το αρχικό.

Τώρα λοιπόν μπορούμε να εξηγήσουμε την ύπαρξη ποσοτήτων που διατηρούνται με βάση της ύπαρξης μιας συμμετρίας στη φύση. Παρακάτω αναφέρουμε μερικά γνωστά παραδείγματα από τη μη σχετικιστική κλασσική φυσική:

Οι νόμοι της φυσικής είναι ίδιοι με την πάροδο του χρόνου (συμμετρία μετάθεσης χρόνου). Αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη μιας ποσότητας που διατηρείται και η οποία δεν μεταβάλλεται με το χρόνο. Αυτή η ποσότητα είναι η γνωστή μας ενέργεια. Άρα η ενέργεια ενός συστήματος παραμένει σταθερή στο χρόνο.

Οι νόμοι της φυσικής είναι οι ίδιοι σε κάθε σημείο του χώρου (συμμετρία μετάθεσης χώρου). Αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη μιας ποσότητας που διατηρείται και η οποία δεν αλλάζει με το χώρο. Αυτή η ποσότητα είναι η ορμή.

Οι νόμοι της Φυσικής είναι οι ίδιοι ανεξάρτητα πόσο θα αλλάξουμε την διεύθυνση ή τις συντεταγμένες. Αυτό μας οδηγεί στη διατήρηση της στροφορμής.

Βλέπουμε λοιπόν ότι όλα αυτά είναι χρήσιμα, διότι οι φυσικοί κτίζοντας θεωρίες μπορούν να δημιουργήσουν ποσότητες που διατηρούνται, υποθέτοντας μόνο ότι η θεωρία υπακούει σε κάποια συμμετρία.

2. Από πού προέρχονται οι δυνάμεις;

Υπάρχει ένα συγκεκριμένο είδος συμμετρίας για την οποία ενδιαφέρονται ιδιαίτερα οι φυσικοί των σωματιδίων, αυτές είναι οι συμμετρίες βαθμίδας (gauge symmetries). Αυτές οι συμμετρίες είναι ειδικές διότι μας δίνουν τα μποζόνια βαθμίδας ή όπως αλλιώς είναι γνωστά τα σωματίδια της δύναμης. Έτσι μπορούμε επίσης να πούμε ότι η συμμετρία είναι ο λόγος για τον οποίο έχουμε δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων.

Υπάρχουν δύο συμπληρωματικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να δει τη συμμετρία βαθμίδας. Ο πρώτος τρόπος είναι να την σκεφτούμε σαν ένα πρόσθετο χαρακτηριστικό της κανονικής γενικής  συμμετρίας. Για παράδειγμα, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μια εσωτερική γενική συμμετρία που μας αναγκάζει να έχουμε τρία χρώματα σε κάθε κουάρκ. Στη συνέχεια μπορούμε να “προωθήσουμε” αυτή τη γενική συμμετρία προς μια συμμετρία βαθμίδας και το γεγονός αυτό μας αναγκάζει να εισαγάγουμε ένα νέο σωματίδιο δύναμης (το γκλουόνιο), που συνδέει τα σωματίδια τα οποία έχουν φορτίο χρώματος, δηλαδή τα κουάρκ. Το φορτίο χρώματος, φυσικά, προέρχεται από το θεώρημα της Noether, που όπως έχουμε δει πριν λέει πως για κάθε συνεχή συμμετρία υπάρχει ένα μέγεθος  (που πολλές φορές το ονομάζουμε φορτίο) το οποίο διατηρείται. Αυτό επιτυγχάνεται αν προωθήσουμε μια γενική συμμετρία σε μια τοπική συμμετρία, που σημαίνει ότι κάνουμε διάφορους μετασχηματισμούς συμμετρίας σε διαφορετικά σημεία στον χώρο.

Για παράδειγμα, το ηλεκτρικό φορτίο προέρχεται από μια απλή συμμετρία που ονομάζεται U(1). Αυτή είναι συμμετρία του κύκλου. Έτσι, μπορούμε να φανταστούμε ένα μικρό κύκλο που υπάρχει σε κάθε σημείο του χωροχρόνου, και σε κάθε σημείο υπάρχει κάποιο σημείο του κύκλου που μας αποκαλύπτει μια ιδιότητα του πεδίου του ηλεκτρονίου. Ποιά είναι αυτή η ιδιότητα; Είναι μια πολύπλοκη φάση, κατά βάση ένα σύνθετος αριθμός μήκους 1 που πολλαπλασιάζει τη μεταβλητή ηλεκτρονίου στις θεωρίες μας. Αυτός δεν είναι όμως ένας "πραγματικός" κύκλος επειδή είναι μια εσωτερική συμμετρία, την οποία φανταζόμαστε ακριβώς για να μας βοηθήσει να καταλάβουμε τι συμβαίνει. Μια καθολική συμμετρία θα μας αποκαλύψει ότι, αν μετακινήσουμε το σημείο του κύκλου κατά το ίδιο ποσό παντού στο χώρο, τότε οι νόμοι της φυσικής πρέπει να είναι οι ίδιοι (κάτω σχήμα)  Η συμμετρία βαθμίδας, ωστόσο, είναι μία συμμετρία όπου μπορούμε να κάνουμε μια ανεξάρτητη περιστροφή σε κάθε σημείο του χώρου, δηλαδή μια τοπική μεταμόρφωση (κάτω σχήμα):

Εάν μια συμμετρία είναι συμμετρία βαθμίδας, τότε αυτός ο μετασχηματισμός θα πρέπει να αφήνει αναλλοίωτους τους νόμους της φυσικής. Σημειώστε ότι η τοπική συμμετρία είναι πολύ πιο περιοριστική από ό,τι η γενική συμμετρία. Γιατί όμως αυτή μας δίνει σωματίδια δύναμης; Αν όλα τα βέλη είναι ευθυγραμμισμένα μεταξύ τους, αποδεικνύεται ότι πρέπει να καθορίσουμε έναν τρόπο να πάνε από τον προσανατολισμό ενός βέλους στο σημείο x προς τον προσανατολισμό του βέλους στο σημείο y. Στην διαφορική γεωμετρία αυτό ονομάζεται σύνδεση. Στη φυσική όμως λέγεται πεδίο βαθμίδας. Αυτό το αντικείμενο "πεδίο βαθμίδας" είναι αυτό το οποίο μας αποκαλύπτει πώς η κατεύθυνση στα βέλη είναι ακριβώς αυτό που ονομάζουμε δύναμη σωματιδίων! Έτσι, το φωτόνιο είναι απλώς το “πεδίο βαθμίδας" που συνδέει τους U (1) προσανατολισμούς των ηλεκτρικά φορτισμένων σωματιδίων. Σωματίδια που δεν είναι φορτισμένα δεν διαθέτουν ένα προσανατολισμό U(1), και έτσι τα φωτόνια  δεν τα «βλέπει».

Ένας  δεύτερος τρόπος για να σκεφτούμε τη συμμετρία βαθμίδας είναι να πούμε ότι αν τα βέλη μπορούν  να στοχεύσουν σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε αυτό το κομμάτι της πληροφορίας είναι στην πραγματικότητα ένας πλεονασμός στη θεωρία μας. Με άλλα λόγια, οι συμμετρίες βαθμίδας μπορεί να θεωρηθούν ότι δεν προκύπτουν από κάποια φυσική αρχή, αλλά είναι μια ανθρώπινη εφεύρεση για να κάνει τη φύση περισσότερο βολική από μαθηματική άποψη. Αν φτιάξουμε μια συμμετρία βαθμίδας που είναι περιττή, οφείλουμε να διασφαλίσουμε ότι κάποια κβαντικά φαινόμενα δεν την μπερδεύουν ή ότι δεν είναι εντελώς αντίθετη με τη θεωρία μας. Αυτά τα κβαντικά φαινόμενα ονομάζονται ανωμαλίες, και έχουμε ένα ισχυρό εργαλείο στη θεωρητική φυσική, που λέγεται ακύρωση της ανωμαλίας. Αυτή δε η ακύρωση των ανωμαλιών οδήγησαν τους Green και Schwarz το 1984 στην πρώτη επανάσταση των υπερχορδών.

3. Από πού προέρχονται τα άμαζα σωματίδια;

Πρόκειται για μια παράξενη ερώτηση. Δηλαδή τα σωματίδια χωρίς μάζα – όπως για παράδειγμα τα φωτόνια – είναι διαφορετικά από τα σωματίδια με μάζα; 

Τα σωματίδια χωρίς μάζα έχουν μια ειδική κάπως θέση στην κβαντική θεωρία πεδίου. Αποδεικνύεται ότι αυτά τα σωματίδια μπορούν να οδηγήσουν σε εμφανείς θεωρητικές ασυνέπειες και η κβαντομηχανική συνήθως συνωμοτεί για να δώσει σωματίδια με μάζα, εκτός κι αν τέτοιες μάζες προστατεύονται από κάποια συμμετρία. (Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η χειραλική (chiral) συμμετρία, δηλαδή η αριστερόστροφη και δεξιόστροφη δομή των φερμιονίων του Καθιερωμένου Προτύπου, που εμποδίζει τα φερμιόνια να αποκτήσουν μάζα, εκτός από το μηχανισμό Higgs).

Αυτό συνδέεται με το θεώρημα Goldstone, που μας λέει ότι:

Αν μια γενική συνεχής συμμετρία είναι σπασμένη, τότε υπάρχουν άμαζα σωματίδια στη θεωρία.

Σαν γενική συνεχή συμμετρία εννοείται κάτι σαν την U (1) συμμετρία του κύκλου που περιγράφηκε  πιο πάνω. Για να το καταλάβετε η καλύτερη εικόνα που υπάρχει εδώ είναι το λεγόμενο “Μεξικάνικο καπέλο δυναμικού": 
 

Ένα μεξικάνικο καπέλο επεξηγεί το θεώρημα Goldstone. Αν και το καπέλο είναι αναλλοίωτο κάτω από περιστροφές γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα, ένας μικρός βόλος θα μπορεί να κάτσει μακριά από τον άξονα συμμετρίας, κάπου στο χείλη του καπέλου, αλλά μπορεί και να κινηθεί ελεύθερα χωρίς δύναμη επαναφοράς γύρω από το χείλη. Η σπασμένη κατά προσέγγιση συμμετρία απεικονίζεται με ελαφρώς γερμένο το καπέλο (προς τα δεξιά), που παράγει έτσι μια μικρή δύναμη επαναφοράς, ανάλογη με τη μικρή μάζα του πιονίου

Η ιδέα που έχουμε είναι ότι μπορούμε να φανταστούμε ένα κβαντικό πεδίο σαν τον βόλο που κυλάει γύρω σε αυτό το Μεξικάνικο καπέλο. Η θέση του βόλου αντιπροσωπεύει την "αναμενόμενη τιμή του κενού” του πεδίου. Εδώ η φράση "αναμενόμενη τιμή του κενού” είναι κωδικός για το αν ή όχι το σωματίδιο υπάρχει παντού στο χώρο χωρίς πρόσθετες επιπτώσεις της κβαντομηχανικής.

Τα περισσότερα δυναμικά δεν έχουν αυτό το ‘μικρό λόφο’ στη μέση, έτσι ο «βόλος» θέλει να κάθεται ακριβώς στο κέντρο, όπου το πεδίο έχει μηδενική αναμενόμενη τιμή του κενού. Το γεγονός αυτό είναι που φτιάχνει τα περισσότερα σωματίδια. Για το πεδίο Higgs, ωστόσο, η αναμενόμενη τιμή του κενού είναι μη μηδενική – το σχήμα του μεξικάνικου καπέλου αναγκάζει το Higgs να ζουν στο δακτύλιο (στο κάτω μέρος) όπου το καπέλο είναι επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο Higgs "υπάρχει παντού" στο χώρο, έστω και αν δεν έχει να δημιουργηθεί μέσω κβαντικών αλληλεπιδράσεων. Πράγματι, αυτή η αλληλεπίδραση των σωματιδίων με αυτό το "πανταχού παρών" πεδίο Higgs είναι που δίνει μάζα στα σωματίδια.

Τώρα, το θεώρημα Goldstone είναι η παρατήρηση ότι το σχήμα του καπέλου πράγματι αντιστοιχεί στη μάζα του σωματιδίου που κυλάει μέσα σε αυτό. Αυτό είναι μέρος της δομής όλων των θεωριών κβαντικού πεδίου και μπορείτε να το πάρετε σαν σταθερό γεγονός. Η βασική παρατήρηση είναι ότι το σωματίδιο Higgs έχει ακόμα μια κατεύθυνση όπου είναι ελεύθερο να κυλήσει, δηλαδή την γωνιακή κατεύθυνση. Το θεώρημα Goldstone μας λέει λοιπόν πως αυτές οι κατευθύνσεις (στο "πεδίο του χώρου", δηλαδή στον χώρο των δυνατών τιμών του κενού Higgs, κι όχι στον φυσικό χώρο), αντιστοιχούν σε άμαζες διεγέρσεις του πεδίου Higgs.

Έτσι, όλα αυτά μπορείτε να το σκεφτείτε κι ως εξής: το γεγονός ότι το πεδίο Higgs δεν ζει στο κέντρο του δυναμικού (είναι έξω από το μικρό λόφο) μας λέει ότι το Higgs ζει παντού μέσα στον χώρο. Οι αλληλεπιδράσεις των σωματιδίων με αυτό το "πανταχού στο χώρο" πεδίο Higgs τους δίνει τη μάζα τους. Επιπλέον, υπάρχει ένας συγκεκριμένος τρόπος που μπορούμε να κάνουμε να αναπηδά αυτό το "παντού στο χώρο" πεδίο, που αντιστοιχεί στα άμαζα σωματίδια. Αυτό ακριβώς είναι σαν τους κυματισμούς που παίρνουμε όταν ρίχνουμε μια πέτρα σε μια λίμνη.

4. Και από πού προέρχονται τα σωματίδια της δύναμης με μάζα;

Στην αρχή η θεωρία πρόβλεπε μόνο άμαζους διαδότες των αλληλεπιδράσεων (διανυσματικά μποζόνια), γεγονός που ερχόταν σε αντίθεση με αυτά που διαπιστώσαμε από τα πειραματικά δεδομένα, αλλά και για το λόγο ότι οι άμαζοι διαδότες έπρεπε να είχαν πολύ μεγάλη εμβέλεια γεγονός που ερχόταν και πάλι σε αντίθεση με τα δεδομένα.  Όμως, είναι αδύνατον να αποκτήσουν μάζα τα διανυσματικά μποζόνια διατηρώντας την συμμετρία βαθμίδας. Την λύση στο πρόβλημα ήρθε να δώσει ο  Peter Higgs το 1964 προτείνοντας μία νέα θεωρία.

Αυτό το χωρίς μάζα πεδίο Higgs, που ήρθε να σχηματίσει το θεώρημα Goldstone, σχετίζεται με ένα διαφορετικό πρόβλημα στη θεωρία πεδίου σχετικό με τα μποζόνια βαθμίδας, δηλαδή τα σωματίδια της δύναμης. Αποδεικνύεται ότι αν γράψετε μια θεωρία με σωματίδια δύναμης με μάζα (όπως είναι τα W και Z μποζόνια), αυτό συνήθως οδηγεί σε προφανείς θεωρητικές ανακολουθίες, π.χ. πιθανότητες που είναι μεγαλύτερες από 100%. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι, αν τα σωματίδια της δύναμης πάρουν τις μάζες τους με ένα πολύ συγκεκριμένο τρόπο, δηλαδή μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται αυθόρμητη διάσπαση της συμμετρίας, τότε όλα είναι εντάξει. Με την αυθόρμητη διάσπαση της συμμετρίας δημιουργούνται άμαζα μποζόνια Goldstone (με spin 1).  Ακόμα, αποδεικνύεται ότι υπάρχει και μια συμμετρία οπότε η θεωρία είναι σωστή.

Αυτό που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι τα μποζόνια W και Z παίρνουν τις μάζες τους, ‘τρώγοντας’  τα άμαζα σωματίδια Higgs. Αυτό σημαίνει ότι τα φυσικά μποζόνια W και Z περιέχουν πράγματι μέρος του πεδίου Higgs! Ή αλλιώς τα πεδία W και Z αναμιγνύονται κβαντομηχανικά με τα άμαζα σωματίδια Higgs.