Μια παράξενη θεωρία που λέγεται ολογραφική αρχή, λέει ότι το Σύμπαν είναι σαν ένα ολόγραμμα. Όπως το φως μας επιτρέπει να απεικονίσουμε ένα τρισδιάστατο είδωλο πάνω σε ένα επίπεδο φιλμ, έτσι και το φαινομενικά τρισδιάστατο Σύμπαν μπορεί να είναι τελείως ισοδύναμο με κάποια κβαντικά πεδία και φυσικούς νόμους, "σχεδιασμένους" σε μια τεράστια μακρινή επιφάνεια. Η φυσική των μαύρων τρυπών μας δίνει κάποια ένδειξη ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να είναι αληθές. Η μέγιστη εντροπία ή πληροφορία αυτών των περίεργων αντικειμένων, είναι ανάλογη με την επιφάνειά τους, και όχι με τον όγκο τους. Ίσως λοιπόν και ολόκληρο το Σύμπαν να είναι σαν ένα γιγάντιο ολόγραμμα.
Όταν ρωτήσουμε κάποιον, από τι είναι κατασκευασμένος ο κόσμος; η πιο συνηθισμένη απάντηση που θα πάρουμε είναι: από ύλη και ενέργεια.
Για όποιον όμως έχει μια σχετική παιδεία στη μηχανική, τη βιολογία και τη φυσική, η πληροφορία είναι επίσης ένα πολύ σημαντικό συστατικό του κόσμου. Το ρομπότ στο εργοστάσιο αυτοκινήτων είναι κατασκευασμένο από μέταλλο και πλαστικό αλλά δεν μπορεί να κάνει τίποτα απολύτως χωρίς τις λεπτομερείς οδηγίες που θα του λένε ποιο μέρος πρέπει να κολλήσει και σε ποιο σημείο ακριβώς. Το ριβόσωμα μέσα σ΄ ένα κύτταρο του σώματός μας, είναι εφοδιασμένο με συνδυασμούς αμινοξέων και τροφοδοτείται με ενέργεια που ελευθερώνεται κατά τη μετατροπή του ΑΤΡ σε ADP, αλλά δεν μπορεί να συνθέσει πρωτεΐνες χωρίς την πληροφορία που μεταφέρει το DNA. Ομοίως, ένας αιώνας φυσικής μας δίδαξε ότι η πληροφορία είναι ένα βασικό συστατικό των φυσικών συστημάτων και διαδικασιών. Πράγματι, η τρέχουσα τάση που εγκαινιάστηκε από τον John A. Wheeler του πανεπιστημίου Princeton, είναι να θεωρούμε τον κόσμο ως αποτελούμενο από πληροφορία, με την ενέργεια και την ύλη ως πρόσθετα συστατικά του.
Η νεωτεριστική αυτή άποψη για τον κόσμο γεννά και νέα ερωτήματα. Η χωρητικότητα σε πληροφορία των μηχανικών μέσων αποθήκευσης, όπως είναι οι σκληροί δίσκοι, έχει αυξηθεί αλματωδώς. Πού θα σταματήσει αυτή η πρόοδος; Ποια είναι η τελική χωρητικότητα σε πληροφορία μιας συσκευής που ζυγίζει ας πούμε λιγότερο από ένα γραμμάριο, και καταλαμβάνει όγκο λιγότερο από ένα κυβικό εκατοστόμετρο; Πόση πληροφορία χρειάζεται για να περιγράψουμε ένα ολόκληρο Σύμπαν; Θα χωρούσε αυτή η περιγραφή στη μνήμη ενός υπολογιστή; Θα μπορέσουμε ποτέ,- όπως έθεσε το θέμα ο William Blake,- να δούμε όλον τον κόσμο σ’ ένα κόκκο άμμου, ή κάτι τέτοιο αποτελεί μόνο μια ποιητική μεταφορά;
Κάποιες πρόσφατες εξελίξεις στη θεωρητική φυσική, απαντούν σε μερικά από αυτά τα ερωτήματα. Οι απαντήσεις που μας προσφέρουν, μπορεί να είναι σημαντικές ενδείξεις για την τελική θεωρία της πραγματικότητας. Μελετώντας τις μυστηριώδεις ιδιότητες των μαύρων τρυπών, οι φυσικοί έχουν συμπεράνει απόλυτα όρια για το μέγεθος της πληροφορίας που μπορεί να συγκρατήσει μια περιοχή του χώρου η μια ποσότητα ύλης και ενέργειας. Τα σχετικά αποτελέσματα υπαινίσσονται ότι το Σύμπαν μας το οποίο το αντιλαμβανόμαστε να έχει τρεις χωρικές διαστάσεις, μπορεί να έχει "περιγραφεί" σε μια δισδιάστατη επιφάνεια, σαν ένα ολόγραμμα. Η καθημερινή μας τότε αντίληψη για τον κόσμο ως τρισδιάστατο, μπορεί να είναι είτε μια βαθιά πλάνη, είτε απλά ο ένας από τους δύο εναλλακτικούς τρόπους να αντιλαμβανόμαστε την πραγματικότητα. Ένας κόκκος άμμου μπορεί να μην περιέχει όλο τον κόσμο αλλά μια τεράστια επίπεδη οθόνη ίσως να μπορεί.
Εικόνα 1. Η ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΜΙΑΣ ΜΑΥΡΗΣ ΤΡΥΠΑΣ είναι ανάλογη με το εμβαδόν του ορίζοντα των γεγονότων της, δηλαδή την επιφάνεια εκτός της οποίας ούτε το φως δεν θα μπορούσε να διαφύγει υπό την επίδραση της βαρυτικής της έλξης. Πιο συγκεκριμένα, μια τρύπα με έναν ορίζοντα που έχει επιφάνεια A φορές την επιφάνεια Planck, έχει Α/4 μονάδες εντροπίας. (Το εμβαδόν της επιφάνειας Planck, είναι περίπου 10-66 τετραγωνικά εκατοστόμετρα, και είναι η θεμελιώδης επιφάνεια που ορίζεται από την ένταση της βαρύτητας, την ταχύτητα του φωτός, και τη σταθερά του Planck.) Θεωρούμενη ως πληροφορία, είναι σα να είχε γραφτεί η εντροπία πάνω στον ορίζοντα γεγονότων, με κάθε bit (δηλαδή τα ψηφία 0 και 1) ν’ αντιστοιχεί σε 4 εμβαδά του Planck.
Η ιστορία των δύο εντροπιών
Ο φορμαλισμός της θεωρίας της πληροφορίας, εισήχθη το 1948 από τον Claude E. Shannon, ο οποίος εισήγαγε ως μέτρο του περιεχομένου της πληροφορίας, την εντροπία. Η εντροπία ήταν ήδη μια κεντρική έννοια στη θερμοδυναμική. Η θερμοδυναμική εντροπία περιγράφει την αταξία ενός συστήματος. Το 1877 ο Αυστριακός φυσικός Ludwig Boltzmann την προσδιόρισε με τον αριθμό των διακριτών μικροσκοπικών καταστάσεων που μπορούν να σχηματίσουν τα σωματίδια που αποτελούν ένα τμήμα της ύλης ενώ το τμήμα αυτό διατηρεί τη μακροσκοπική του μορφή. Για παράδειγμα, προκειμένου για τον αέρα του δωματίου στο οποίο βρισκόμαστε, θα μετρούσαμε όλους τους τρόπους με τους οποίους θα μπορούσαν να κατανεμηθούν τα μόρια του αέρα και όλους ντους τρόπους με τους οποίους θα μπορούσαν να κινηθούν.
Όταν ο Shannon υπέδειξε ένα τρόπο να ποσοτικοποιήσουμε την πληροφορία που περιέχεται π.χ. σ’ ένα μήνυμα, οδηγήθηκε με τη λογική σ’ ένα τύπο παρόμοιο με τον τύπο του Boltzmann. Η εντροπία του Shannon για ένα μήνυμα, είναι ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων η bits που χρειάζονται για να το κωδικοποιήσουμε. Η εντροπία του Shannon δεν μας φωτίζει για την τιμή της ίδιας της πληροφορίας, η οποία εξαρτάται πάρα πολύ από το περιεχόμενο. Ως ένα αντικειμενικό μέτρο της ποσότητας της πληροφορίας, έχει βρει πολύ μεγάλη χρησιμότητα στην επιστήμη και την τεχνολογία. Για παράδειγμα, η σχεδίαση κάθε σύγχρονης συσκευής επικοινωνίας, από τα κινητά τηλέφωνα ως τα σύγχρονα CD players, στηρίζεται στην εντροπία του Shannon.
Η θερμοδυναμική εντροπία και η εντροπία του Shannon, είναι ισοδύναμες έννοιες. Ο αριθμός των διατάξεων που καταμετρούνται από την εντροπία του Boltzmann, αντανακλά το ποσόν της πληροφορίας του Shannon που θα χρειαζόμασταν για να πραγματοποιήσουμε ένα συγκεκριμένο συνδυασμό. Οι δύο εντροπίες όμως έχουν και κάποιες διαφορές. Πρώτον η θερμοδυναμική εντροπία όπως χρησιμοποιείται από ένα χημικό ή μηχανικό ψύξης, μετρείται σε μονάδες ενέργειας διαιρεμένης δια θερμοκρασία, ενώ η εντροπία του Shannon όπως χρησιμοποιείται από τους μηχανικούς επικοινωνιών, μετρείται σε bits, δηλαδή ουσιαστικά δεν έχει μονάδες. Η διαφορά αυτή είναι μάλλον ένα θέμα σύμβασης.
Ακόμη όμως και στην περίπτωση που οι δύο εντροπίες θα αναχθούν στις ίδιες μονάδες, οι τυπικές τιμές των δύο εντροπιών διαφέρουν πάρα πολύ ως προς το μέγεθός τους. Ένα μικροτσίπ πυριτίου που φέρει ένα gigabyte δεδομένων για παράδειγμα, έχει εντροπία κατά Shannon περίπου 1010 bits (1 byte είναι οκτώ bits.) Η ποσότητα αυτή είναι τρομακτικά μικρότερη από την θερμοδυναμική εντροπία του τσιπ, η οποία είναι της τάξης των 1023 bits σε θερμοκρασία δωματίου. Η διαφορά αυτή εμφανίζεται επειδή οι εντροπίες υπολογίζονται για διαφορετικούς βαθμούς ελευθερίας. Ένας βαθμός ελευθερίας είναι μια μεταβαλλόμενη ποσότητα, όπως λόγου χάριν μια συντεταγμένη που καθορίζει τη θέση ενός σωματιδίου, ή μια συνιστώσα της ταχύτητάς του. Η εντροπία του τσιπ κατά Shannon ενδιαφέρεται μόνο για τη συνολική κατάσταση κάθε μικροσκοπικού τρανζίστορ που είναι χαραγμένο στην επιφάνεια του πυριτίου – το τρανζίστορ είναι ένας διακόπτης δύο καταστάσεων on και off που αντιστοιχούν σε 0 και 1. Αποδίδει δηλαδή σε κάθε τρανζίστορ ένα μόνο δυαδικό βαθμό ελευθερίας. Η θερμοδυναμική εντροπία σε αντίθεση, εξαρτάται από τις καταστάσεις όλων των τρισεκατομμυρίων ατόμων και των ηλεκτρονίων τους, που αποτελούν το τρανζίστορ. Καθώς η συνεχής προσπάθεια σμίκρυνσης δεν θ’ αργήσει να φέρει τη μέρα που κάθε άτομο θ’ αποθηκεύει ένα bit πληροφορίας για μας, η χρήσιμη έννοια της εντροπίας του μικροτσίπ κατά Shannon θα πλησιάσει την τιμή της θερμοδυναμικής εντροπίας. Όταν οι δύο εντροπίες υπολογίζονται για τους ίδιους βαθμούς ελευθερίας είναι ίσες μεταξύ τους.
Ποιος είναι όμως ο τελικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας; Τα άτομα σε τελευταία ανάλυση φτιάχνονται από ηλεκτρόνια και πυρήνες, οι πυρήνες φτιάχνονται από νετρόνια και πρωτόνια και αυτά με τη σειρά τους αποτελούνται από κουάρκς. Πολλοί φυσικοί σήμερα θεωρούν ότι τα ηλεκτρόνια και τα κουάρκς είναι διεγέρσεις υπερχορδών, οι οποίες υποτίθεται ότι είναι οι τελικές θεμελιώδεις οντότητες. Αλλά τα διδάγματα ενός αιώνα αποκαλύψεων στη φυσική, μας δίδαξαν να μην είμαστε δογματικοί. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερα δομικά επίπεδα του Σύμπαντος από αυτά που πιστεύουμε σήμερα.
Δεν μπορεί κάποιος να υπολογίσει την τελική χωρητικότητα πληροφορίας μιας ποσότητας ύλης, η ισοδύναμα την πραγματική θερμοδυναμική της εντροπία, χωρίς να γνωρίζει τη φύση των τελικών συστατικών της ύλης η το βαθύτερο επίπεδο της δομής της ύλης, το οποίο ας αποκαλέσουμε επίπεδο Χ. (Η αδυναμία αυτή δεν δημιουργεί πρόβλημα στην ανάλυση πρακτικών θερμοδυναμικών προβλημάτων, όπως για παράδειγμα στις μηχανές των αυτοκινήτων, διότι τα κουάρκς π.χ. δεν αλλάζουν κατάσταση κατά τις μεταβολές που συμβαίνουν στη μηχανή και συνεπώς μπορούμε να τα αγνοούμε.) Δεδομένης βέβαια της τάσης για σμίκρυνση, κανείς μπορεί ν’ αναρωτηθεί αν θα έρθει ποτέ κάποια μέρα που θ’ αποθηκεύουμε πληροφορίες στα κουάρκς, ίσως ένα bit στο καθένα τους. Πόση πληροφορία θα χωρούσε τότε σε ένα κυβικό εκατοστό ύλης; Και πόση αν καταφέρναμε να τιθασεύσουμε τις υπερχορδές η ακόμα βαθύτερα επίπεδα δομής που δεν έχουμε ακόμα φανταστεί; Με έκπληξη διαπιστώνει κανείς ότι η θεωρία βαρύτητας των προηγουμένων δεκαετιών μας δίνει μερικές ξεκάθαρες απαντήσεις σ’ αυτές τις φαινομενικά απατηλές ερωτήσεις.
Μια βασική παράμετρος σ’ αυτές τις εξελίξεις είναι η μαύρη τρύπα. Οι μαύρες τρύπες είναι συνέπεια της γενικής σχετικότητας. Δηλαδή της γεωμετρικής θεωρίας του Albert Einstein, που ανέπτυξε κατά το 1915, για την βαρύτητα. Στη θεωρία αυτή, η βαρύτητα προκύπτει από την καμπυλότητα του χωροχρόνου, η οποία αναγκάζει τα σώματα να κινούνται σα να τα επηρεάζει κάποια δύναμη. Αντίστροφα η καμπυλότητα προκαλείται από την παρουσία ύλης και ενέργειας. Σύμφωνα με τις εξισώσεις του Einstein, μια αρκετά πυκνή συγκέντρωση ύλης η ενέργειας θα καμπυλώσει το χωροχρόνο σε τόσο μεγάλο βαθμό και τείνει να σχηματίσει μια μαύρη τρύπα. Οι νόμοι της σχετικότητας απαγορεύουν σε οτιδήποτε εισέλθει στη μαύρη τρύπα να μπορέσει να ξαναβγεί. Αυτό ισχύει τουλάχιστον στην περιοχή της κλασσικής (μη κβαντικής) περιγραφής της φυσικής. Το σημείο απ’ όπου δεν υπάρχει επιστροφή λέγεται ορίζοντας γεγονότων της μαύρης τρύπας και έχει κρίσιμη σπουδαιότητα. Στην απλούστερη περίπτωση, ο ορίζοντας είναι μια σφαίρα της οποίας το εμβαδόν της επιφάνειας είναι τόσο μεγαλύτερο όσο μεγαλύτερη μάζα έχουν οι μαύρες τρύπες.
Είναι αδύνατο να καθορίσουμε τι υπάρχει μέσα σε μια μαύρη τρύπα. Καμιά λεπτομερής πληροφορία δεν μπορεί να αναδυθεί από τον ορίζοντα γεγονότων και να διαφύγει στον εξωτερικό χώρο. Κατά την εξαφάνισή του όμως εντός μιας μαύρης τρύπας, ένα κομμάτι ύλης αφήνει κάποια ίχνη. Η ενέργειά του (μετράμε κάθε μάζα ως ενέργεια βάσει της αρχής της ισοδυναμίας του Einstein μεταξύ μάζας και ενέργειας E = mc2) αντιστοιχεί σε μια αύξηση της μάζας της μαύρης τρύπας. Αν η μάζα συλληφθεί καθώς κινείται κυκλικά πέριξ της μαύρης τρύπας, η στροφορμή που έχει προστίθεται στη στροφορμή της μαύρης τρύπας. Τόσο η μάζα όσο και η στροφορμή μιας μαύρης τρύπας είναι μετρήσιμες από τα αποτελέσματά τους στο χωροχρόνο γύρω από τη μαύρη τρύπα. Με τον τρόπο αυτό οι νόμοι της διατήρησης της ενέργειας και της στροφορμής ισχύουν για τις μαύρες τρύπες. Ένας άλλος θεμελιώδης νόμος, ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής, φαίνεται όμως να παραβιάζεται.
Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής συνοψίζει τη γνωστή μας παρατήρηση ότι οι περισσότερες διαδικασίες της φύσης είναι μη αναστρέψιμες: Ένα φλιτζάνι τσαγιού πέφτει από το τραπέζι και σπάει, αλλά κανείς δεν έχει δει ποτέ τα συντρίμμια του να ανυψώνονται από μόνα τους και να ξανασχηματίζουν το φλιτζάνι πάνω στο τραπέζι. Ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος απαγορεύει τέτοιες αντίστροφες διαδικασίες. Δηλώνει δε ότι η εντροπία ενός μονωμένου συστήματος δεν μπορεί ποτέ να ελαττωθεί, το πολύ μπορεί να παραμείνει σταθερή ενώ συνήθως αυξάνεται. Ο νόμος αυτός είναι κεντρικής σημασίας στη φυσικοχημεία και τη μηχανική και εύλογα του αποδίδεται ο χαρακτηρισμός ότι είναι ο νόμος με τις περισσότερες συνέπειες εκτός φυσικής.
Όπως τόνισε για πρώτη φορά ο Wheeler, όταν η ύλη εξαφανίζεται μέσα σε μια μαύρη τρύπα η εντροπία της εξαφανίζεται μαζί της και ο δεύτερος νόμος μοιάζει να παραβιάζεται. Ένας τρόπος για να λυθεί το παζλ ήρθε το 1970 όταν ο Δημήτρης Χριστοδούλου, φοιτητής τότε του Wheeler στο Princeton και ο Stephen W. Hawking του πανεπιστημίου του Cambridge, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, απέδειξαν ότι σε πολλές διαδικασίες όπως η συγχώνευση των μαύρων οπών, το ολικό εμβαδόν του ορίζοντα γεγονότων δεν μειώνεται ποτέ. Η αναλογία αυτή με την τάση της εντροπίας να αυξάνει οδήγησε το 1972 στην πρόταση ότι η μαύρη τρύπα έχει εντροπία ανάλογη με το εμβαδόν του ορίζοντα γεγονότων της. Βλέπε την εικόνα1. παραπάνω. Διατυπώθηκε τότε η υπόθεση ότι όταν η ύλη πέφτει μέσα σε μια μαύρη τρύπα, η αύξηση στην εντροπία της μαύρης τρύπας πάντα αντισταθμίζει ή και υπερ-αντισταθμίζει τη χαμένη εντροπία της ύλης. Πιο γενικά, το άθροισμα των εντροπιών της μαύρης τρύπας και της συνηθισμένης εντροπίας έξω από τη μαύρη τρύπα, δεν μπορεί ποτέ να μειώνεται. Αυτός είναι ο γενικευμένος δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος, που θα τον αποκαλούμε για συντομία GSL.
O GSL έχει περάσει τα πιο αυστηρά, θεωρητικά βέβαια, κριτήρια. Όταν ένα άστρο καταρρέει για να σχηματίσει μια μαύρη τρύπα, η εντροπία της μαύρης τρύπας υπερβαίνει κατά πολύ την εντροπία του άστρου. Το 1974 ο Ηawking έδειξε ότι μια μαύρη τρύπα εκπέμπει αυθόρμητα θερμική ακτινοβολία, που σήμερα είναι γνωστή ως ακτινοβολία Hawking, με μια κβαντική διαδικασία. Το θεώρημα των Χριστοδούλου-Hawking δεν ισχύει στο φαινόμενο αυτό διότι η μάζα της μαύρης τρύπας και ως εκ τούτου ο ορίζοντας γεγονότων της μειώνεται), αλλά ωστόσο ο GSL δουλεύει σωστά, αφού η εντροπία της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας υπερ-αντισταθμίζει την ελάττωση της εντροπίας της μαύρης τρύπας. Το 1986 ο Rafael D. Sorkin του πανεπιστημίου Syracuse εκμεταλλεύτηκε τον ρόλο του ορίζοντα για να απογυμνώσει πληροφορίες εντός της μαύρης τρύπας από επηρεασμούς γεγονότων εκτός αυτής, για να δείξει ότι ο GSL (ή κάτι που του μοιάζει πολύ), πρέπει να ισχύει για κάθε διαδικασία που μπορεί να συμβεί σε μια μαύρη τρύπα. Το βαθύ επιχείρημά του ξεκαθαρίζει ότι η εντροπία που υπεισέρχεται στον GSL είναι αυτή που υπολογίζεται μέχρι το οποιοδήποτε επίπεδο Χ.
Η διαδικασία της ακτινοβολίας Hawking του επέτρεψε να καθορίσει την σταθερά αναλογίας μεταξύ της εντροπίας της μαύρης τρύπας και του εμβαδού του ορίζοντα. Η εντροπία της μαύρης τρύπας είναι ακριβώς το 1/4 του εμβαδού του ορίζοντα γεγονότων μετρημένου σε εμβαδά Planck. (Το μήκος Planck είναι περίπου 10-33 cm, και είναι η θεμελιώδης κλίμακα μήκους που σχετίζεται με την κβαντομηχανική και την βαρύτητα. Το εμβαδόν Planck είναι το τετράγωνό του.) Ακόμη και σε θερμοδυναμικούς όρους αυτή είναι μια τεράστια ποσότητα εντροπίας. Η εντροπία μιας μαύρης τρύπας διαμέτρου ενός εκατοστού θα είναι περίπου 1066 bits, περίπου ίση με την θερμοδυναμική εντροπία ενός κύβου νερού με πλευρά 10 δισεκατομμυρίων χιλιομέτρων.
Η θερμοδυναμική των μαύρων τρυπών
Εικόνα 2. ΤΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ μιας ποσότητας από μικροτσίπς ενός κομπιούτερ αυξάνει ανάλογα με τον αριθμό των τσιπς, η ισοδύναμα με τον όγκο που καταλαμβάνουν. Ο απλός αυτός κανόνας παύει να ισχύει για αρκετά μεγάλο πλήθος τσιπς γιατί προοδευτικά η πληροφορία θα ξεπεράσει το ολογραφικό όριο, το οποίο εξαρτάται από το εμβαδόν της επιφανείας και όχι από τον όγκο. Η "κατάρρευση" αυτή συμβαίνει όταν η θεωρητικά τεράστια στίβα από τσιπς συρρικνώνεται, σχηματίζοντας μια μαύρη τρύπα.
Συμπληρωματικό κείμενο 1: Όρια στην πυκνότητα πληροφορίας. 
Εικόνα 3.
Η θερμοδυναμική των μαύρων οπών μας επιτρέπει να συμπεράνουμε τα όρια της πυκνότητας της εντροπίας ή της πληροφορίας σε ορισμένες περιπτώσεις.
Το ολογραφικό όριο καθορίζει πόση ποσότητα πληροφορίας μπορεί να περιέχεται σε μια καθορισμένη περιοχή του χώρου. Μπορεί να υπολογιστεί αν θεωρήσουμε ότι μια περίπου σφαιρική κατανομή της ύλης, περιέχεται εντός μιας επιφανείας εμβαδού Α. Η ύλη θεωρούμε ότι καταρρέει για να σχηματίσει μια μαύρη τρύπα (α). Το εμβαδόν της μαύρης τρύπας πρέπει να είναι μικρότερο του Α, κι έτσι η εντροπία της πρέπει να είναι μικρότερη από Α/4. (Βλέπε εικόνα.) Επειδή η εντροπία δεν μπορεί να μειώνεται, πρέπει να συμπεράνουμε ότι η αρχική κατανομή της ύλης, είναι επίσης μικρότερη από Α/4 μονάδες εντροπίας ή πληροφορίας. Το αποτέλεσμα αυτό, ότι δηλαδή το μέγιστο περιεχόμενο πληροφορίας μιας περιοχής του χώρου καθορίζεται από το εμβαδόν του, καταρρίπτει την κοινή πεποίθηση ότι η χωρητικότητα μιας περιοχής σε πληροφορία εξαρτάται από τον όγκο της περιοχής.
Το παγκόσμιο όριο εντροπίας, ορίζει πόση πληροφορία μπορεί να περιέχεται σε μια μάζα διαμέτρου d. Υπολογίζεται αν φανταστούμε ότι μια κάψουλα ύλης καταπίνεται από μια μαύρη τρύπα, όχι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν.(b). Η αύξηση στο μέγεθος της μαύρης τρύπας θέτει ένα όριο στο ποσόν της εντροπίας που μπορεί να περιείχε η κάψουλα. Το όριο αυτό είναι πιο στενά καθορισμένο από το ολογραφικό όριο, εκτός από την περίπτωση που η κάψουλα είναι ήδη τόσο πυκνή, όσο και η μαύρη τρύπα. Στην περίπτωση αυτή τα δύο όρια είναι ισοδύναμα.
Το ολογραφικό και το παγκόσμιο όριο πληροφορίας είναι πολύ μακριά από τις χωρητικότητες αποθήκευσης πληροφοριών με τις υπάρχουσες τεχνολογίες, ενώ υπερβαίνουν κατά πολύ την πυκνότητα της πληροφορίας των χρωμοσωμάτων και της θερμοδυναμικής εντροπίας του νερού. ( c).
Ο Κόσμος σαν ένα ολόγραμμα
Ο GSL μας επιτρέπει να θέσουμε όρια στην περιεκτικότητα σε πληροφορία ενός οποιουδήποτε φυσικού συστήματος, όρια που αναφέρονται στην πληροφορία σε όλα τα επίπεδα της δομής, μέχρι το οποιοδήποτε επίπεδο Χ. Το 1980 ξεκίνησε η μελέτη ενός τέτοιου ορίου, που αποκλήθηκε το γενικό όριο της εντροπίας, και θέτει το όριο της πληροφορίας που μπορεί να μεταφέρει μια συγκεκριμένη μάζα ενός συγκεκριμένου μεγέθους. Βλέπε το συμπληρωματικό κείμενο 1. Μια άλλη σχετική ιδέα, το ολογραφικό όριο, επινοήθηκε το 1995 από τον Leonard Susskind του πανεπιστημίου Stanford. Μ’ αυτήν μπαίνει όριο στην ποσότητα της πληροφορίας μπορεί να περιέχεται στην ύλη και την ενέργεια που καταλαμβάνουν ένα συγκεκριμένο όγκο στο χώρο.
Εικόνα 4. Η ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΑΣ ΑΝΤΙΛΗΨΗ ότι ο κόσμος είναι τρισδιάστατος μπορεί να είναι μια παράξενη αυταπάτη.
Στην εργασία του για το ολογραφικό όριο, ο Susskind θεώρησε μια τυχαία απομονωμένη σφαιρική μάζα που δεν είναι η ίδια μια μαύρη τρύπα, και περιέχεται μέσα σε μια κλειστή επιφάνεια εμβαδού Α. Αν η μάζα μπορεί να καταρρεύσει σε μια μαύρη τρύπα, η τρύπα αυτή θα καταλήξει με έναν ορίζοντα εμβαδού μικρότερου από Α. Η εντροπία συνεπώς της μαύρης τρύπας είναι μικρότερη από Α/4. Σύμφωνα με τον GSL, η εντροπία του συστήματος δεν μπορεί να μειώνεται, κι έτσι η αρχική εντροπία της μάζας δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από Α/4. Καταλήγει λοιπόν στο ότι η εντροπία ενός απομονωμένου φυσικού συστήματος με εμβαδόν οριακής επιφάνειας ίσο με Α, είναι αναγκαστικά μικρότερο από Α/4. Τι συμβαίνει όμως αν η μάζα δεν καταρρέει αυθόρμητα; Το 2000 αποδείχτηκε ότι μια μικροσκοπική μαύρη τρύπα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψει το σύστημα σε μαύρη τρύπα, όχι πολύ διαφορετική από αυτήν που θεώρησε ο Susskind. Το όριο λοιπόν που βρήκε είναι ανεξάρτητο από τη σύσταση του συστήματος ή από τη φύση του επιπέδου Χ. Στηρίζεται μόνο στον GSL.
Τώρα μπορούμε να απαντήσουμε σε μερικές από τις ερωτήσεις για το τελικό όριο της δυνατότητας αποθήκευσης πληροφοριών. Μια συσκευή με μέγεθος ενός εκατοστόμετρου μπορεί κατ’ αρχήν να αποθηκεύσει μέχρι 1066 bits–ένα νούμερο που δεν το συλλαμβάνει εύκολα το μυαλό μας. Το ορατό σύμπαν περιέχει τουλάχιστον 10100 bits εντροπίας, τα οποία θα μπορούσαν κατ’ αρχήν να χωρέσουν μέσα σε μια σφαίρα διαμέτρου ενός δεκάτου του ενός έτους φωτός. Η εκτίμηση της εντροπίας του σύμπαντος είναι παρόλα αυτά ένα δύσκολο πρόβλημα, και οι αρκετά μεγάλοι αριθμοί, φαίνεται λογικό να απαιτούν μια σφαίρα τόσο μεγάλη όσο το ίδιο το σύμπαν.
Υπάρχει όμως μια άλλη πλευρά του ολογραφικού ορίου που μας προκαλεί έκπληξη. Συγκεκριμένα ότι η μέγιστη δυνατή εντροπία εξαρτάται από το εμβαδόν του ορίου και όχι από τον όγκο του. Ας φανταστούμε ότι συσσωρεύουμε τσιπς μνήμης ενός υπολογιστή σ’ ένα μεγάλο σωρό. Ο αριθμός των τρανζίστορς- η ολική αποθηκευτική ικανότητα δεδομένων- αυξάνει με τον όγκο του σωρού. Το ίδιο συμβαίνει επίσης και με την θερμοδυναμική εντροπία όλων των τσιπς. Παρατηρούμε όμως ότι θεωρητικά η τελική ολική χωρητικότητα του χώρου που καταλαμβάνεται από τον σωρό αυξάνεται μόνο με την επιφάνειά του. Επειδή ο όγκος αυξάνει ταχύτερα από την επιφάνεια, σε κάποιο σημείο η εντροπία όλων των τσιπς θα υπερβεί το ολογραφικό όριο. Θα φαινόταν σαν να μην ισχύει είτε ο GSL είτε οι συνηθισμένες ιδέες μας για την εντροπία και την χωρητικότητα πληροφορίας. Στην πραγματικότητα, αυτό που δεν ισχύει είναι η ίδια η συσσώρευση. Ο σωρός θα καταρρεύσει κάτω από τη δική του βαρυτική δύναμη, σχηματίζοντας μια μαύρη τρύπα, πριν φτάσουμε στο παραπάνω όριο. Από εκεί και πέρα η προσθήκη καθενός τσιπ θα αυξάνει τη μάζα και το εμβαδόν της επιφάνειας της μαύρης τρύπας, κατά τρόπο που θα εξακολουθεί να ισχύει ο GSL.
Το εκπληκτικό αποτέλεσμα- ότι η χωρητικότητα σε πληροφορία εξαρτάται από το εμβαδόν επιφανείας- έχει μια φυσική εξήγηση αν ισχύει η ολογραφική αρχή, (που προτάθηκε το 1993 από τον Νομπελίστα Gerard ‘t Hooft του πανεπιστημίου της Ουτρέχτης στην Ολλανδία, και βελτιώθηκε από τον Susskind.) Στον καθημερινό κόσμο, ένα ολόγραμμα είναι ένα ιδιαίτερο είδος φωτογραφίας που αναγεννά μια πλήρη τρισδιάστατη εικόνα αν φωτιστεί με κατάλληλο τρόπο. Όλη η πληροφορία που περιγράφει την τρισδιάστατη εικόνα, είναι κωδικοποιημένη σ’ έναν σχηματισμό φωτεινών και σκοτεινών περιοχών πάνω σ’ ένα επίπεδο φιλμ, έτοιμο να αναπαραχθεί. Η ολογραφική αρχή ισχυρίζεται ότι ένα ανάλογο αυτού του κόλπου, ισχύει και για την πλήρη φυσική περιγραφή οποιουδήποτε συστήματος καταλαμβάνει μια περιοχή του τρισδιάστατου χώρου. Προτείνει λοιπόν ότι μια άλλη φυσική θεωρία που ορίζεται μόνο πάνω στο δισδιάστατο όριο της περιοχής περιγράφει πλήρως την τρισδιάστατη φυσική. Αν ένα τρισδιάστατο σύστημα μπορεί να περιγραφεί πλήρως από μια θεωρία που ισχύει μόνο στο δισδιάστατο όριό του, κανείς θα περίμενε το πληροφοριακό περιεχόμενο του συστήματος να μην ξεπερνάει εκείνο της περιγραφής επί του ορίου.
Ένα Σύμπαν ζωγραφισμένο στο όριό του.
Μπορούμε να εφαρμόσουμε την ολογραφική αρχή σε ολόκληρο το Σύμπαν; Το πραγματικό Σύμπαν είναι ένα τετραδιάστατο σύστημα. Έχει όγκο και εκτείνεται στο χρόνο. Αν η φυσική του Σύμπαντός μας είναι ολογραφική, θα υπάρχει ένα εναλλακτικό σύνολο φυσικών νόμων, που ισχύει πάνω σ’ ένα τρισδιάστατο όριο του χωροχρόνου και είναι ισοδύναμο με τους γνωστούς μας νόμους της τετραδιάστατης φυσικής. Δεν ξέρουμε ακόμη καμιά τέτοια τρισδιάστατη θεωρία που να δουλεύει με τέτοιο τρόπο. Αλήθεια, ποια επιφάνεια να πάρουμε ως όριο του Σύμπαντος; Ένα βήμα προς την κατεύθυνση αυτή θα ήταν να μελετήσουμε μοντέλα που είναι απλούστερα από το πραγματικό μας Σύμπαν.
Συμπληρωματικό κείμενο 2: Ένας ολογραφικός χωροχρόνος
Εικόνα 5. ΔΥΟ ΣΥΜΠΑΝΤΑ διαφορετικών διαστάσεων που υπακούουν σε διαφορετικούς φυσικούς νόμους είναι τελείως ισοδύναμα σύμφωνα με την ολογραφική αρχή. Οι θεωρητικοί έχουν δείξει την αρχή αυτή μαθηματικά για έναν ειδικό τύπο 5 διάστατου χωροχρόνου (τύπου "αντι–de Sitter") και το 4 διάστατο όριό του. Στην πραγματικότητα το 5 διάστατο Σύμπαν καταγράφεται σαν ένα ολόγραμμα πάνω στην 4 διάστατη επιφάνεια και την περιφέρειά της. Η θεωρία των υπερχορδών εφαρμόζεται στον 5 διάστατο χωροχρόνο, αλλά η αποκαλούμενη θεωρία σύμμορφου πεδίου των σημειακών σωματιδίων, εφαρμόζεται στο 4 διάστατο ολόγραμμα. Μια μαύρη τρύπα στον πενταδιάστατο χωροχρόνο, είναι ισοδύναμη με την θερμική ακτινοβολία επί του ολογράμματος. Για παράδε4ιγμα, η τρύπα και η ακτινοβολία έχουν την ίδια εντροπία, ακόμα και αν η φυσική προέλευση της εντροπίας είναι τελείως διαφορετική σε κάθε περίπτωση. Αν και αυτές οι δύο περιγραφές του Σύμπαντος μοιάζουν τελείως ανόμοιες, κανένα πείραμα δεν θα μπορούσε να τις διακρίνει μεταξύ τους, τουλάχιστον κατ’ αρχήν.
Χωροχρόνος de Sitter
Μια κατηγορία συγκεκριμένων παραδειγμάτων της ολογραφικής αρχής στην πράξη περιλαμβάνει τους λεγόμενους χωροχρόνους αντι-de Sitter. Ο αυθεντικός χωροχρόνος de Sitter είναι ένα μοντέλο του Σύμπαντος, που πρότεινε αρχικά ο Ολλανδός αστρονόμος Willem de Sitter το 1917 ως λύση των εξισώσεων του Einstein, ώστε να περιλαμβάνει και την απωστική δύναμη, γνωστή ως κοσμολογική σταθερά. Ο χωροχρόνος de Sitter είναι κενός, διαστέλλεται με επιταχυνόμενο ρυθμό και παρουσιάζει πολύ υψηλή συμμετρία. Το 1997 οι αστρονόμοι καθώς μελετούσαν τις εκρήξεις απομακρυσμένων σούπερνόβα, συμπέραναν ότι το Σύμπαν μας στην παρούσα φάση διαστέλλεται με επιταχυνόμενο ρυθμό, και πιθανόν στο μέλλον θα γίνει προοδευτικά σαν χωροχρόνος de Sitter. Αν τώρα η άπωση στις εξισώσεις του Einstein μεταβληθεί σε έλξη, η λύση του de Sitter μετατρέπεται σε χωροχρόνο αντι-de Sitter, ο οποίος έχει εξίσου υψηλή συμμετρία. Πιο σημαντικό για την ολογραφική αρχή, ο χωροχρόνος αυτός έχει ένα όριο, το οποίο βρίσκεται στο "άπειρο" και μοιάζει πάρα πολύ με τον γνωστό μας χωροχρόνο.
Χρησιμοποιώντας τον χωροχρόνο αντι-de Sitter, οι θεωρητικοί έχουν κατασκευάσει ένα συγκεκριμένο παράδειγμα της ολογραφικής αρχής στην πράξη: ένα Σύμπαν που περιγράφεται από τη θεωρία των υπερχορδών και λειτουργεί μέσα σ’ ένα χωροχρόνο αντι-de Sitter είναι πλήρως ισοδύναμο με μια θεωρία κβαντικού πεδίου, που λειτουργεί στο όριο αυτού του χωροχρόνου. Ο Juan Maldacena, που βρισκόταν τότε στο Harvard, έκανε πρώτος μια τέτοια εικασία, το 1997 για την περίπτωση 5-διάστατου αντι-de Sitter, και αργότερα επιβεβαιώθηκε και για άλλες περιπτώσεις από τον Edward Witten, του Ινστιτούτου Προχωρημένων Σπουδών του Princeton, και τους Steven S. Gubser, Igor R. Klebanov and Alexander M. Polyakov του Princeton. Παραδείγματα αυτής της ολογραφικής αντιστοιχίας είναι σήμερα γνωστά για χωροχρόνους με διάφορες διαστάσεις.
Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι δύο φαινομενικά πολύ διαφορετικές θεωρίες, που δεν αναφέρονται καν σε χώρους με ίδιες διαστάσεις, είναι ισοδύναμες. Τα πλάσματα που ζουν σε ένα από αυτά τα Σύμπαντα, δεν θα μπορούσαν να διακρίνουν αν κατοικούν σ’ ένα 5-διάστατο Σύμπαν που περιγράφεται από τη θεωρία χορδών ή σ’ ένα 4-διάστατο που περιγράφεται από μια κβαντική θεωρία πεδίου σημειακών σωματιδίων. (Φυσικά οι δομές των εγκεφάλων τους μπορεί να είναι τέτοιες που να τους δίνουν μια κυρίαρχη λογική υπέρ μιας εκ των δύο περιγραφών, όπως ακριβώς και ο δικός μας εγκέφαλος κατασκευάζει μια ΄παραδοχή ότι το Σύμπαν μας έχει 3 χωρικές διαστάσεις. Βλέπε και τη σχετική εικόνα 5).
Η ολογραφική ισοδυναμία μπορεί να μας επιτρέψει, ένα δύσκολο υπολογισμό στο 4-διάστατο όριο του χωροχρόνου, όπως π.χ τη συμπεριφορά των κουάρκς και των γκλουονίων, να την μεταχειριστούμε μ’ έναν άλλο ευκολότερο υπολογισμό στον 5-διάστατο αντι-de Sitter χωροχρόνο που έχει υψηλή συμμετρία. Η αντιστοίχηση δουλεύει και κατά τον αντίθετο τρόπο επίσης. Ο Witten έχει δείξει ότι μια μαύρη τρύπα σ’ έναν αντι-de Sitter χωροχρόνο αντιστοιχεί στη θερμή ακτινοβολία στην εναλλακτική φυσική που ισχύει στο όριο του χωροχρόνου. Η εντροπία της τρύπας- μια μυστηριώδης έννοια- ισούται με την εντροπία της ακτινοβολίας που είναι τελείως κατανοητή.
Το διαστελλόμενο Σύμπαν
Με υψηλή συμμετρία και άδειο, το 5-διάστατο αντι-de Sitter Σύμπαν, δύσκολα μοιάζει με το δικό μας 4-διάστατο, που είναι γεμάτο με ύλη και ακτινοβολία και όπου συμβαίνουν βίαια γεγονότα. Ακόμα και αν προσεγγίσουμε το πραγματικό μας Σύμπαν με ένα που έχει την ύλη και την ακτινοβολία ομοιόμορφα διεσπαρμένη, δεν παίρνουμε ένα Σύμπαν αντι-de Sitter, αλλά μάλλον ένα Σύμπαν "Friedmann-Robertson-Walker". Οι περισσότεροι κοσμολόγοι σήμερα συμμερίζονται την άποψη ότι το Σύμπαν μας μοιάζει με ένα Σύμπαν FRW, ένα Σύμπαν που είναι άπειρο, δεν έχει όριο και θα διαστέλλεται για πάντα.
Συμμορφώνεται άραγε ένα τέτοιο Σύμπαν με την ολογραφική αρχή ή το ολογραφικό όριο; Το επιχείρημα του Susskind, βασισμένο στην κατάρρευση προς μια μαύρη τρύπα δεν βοηθάει εδώ. Πράγματι, το ολογραφικό όριο που συνάγεται από τις μαύρες τρύπες, δεν ισχύει σ’ ένα ομοιόμορφα διαστελλόμενο Σύμπαν. Η εντροπία μιας περιοχής ομοιόμορφα γεμάτης με ύλη και ακτινοβολία είναι πλήρως ανάλογη προς τον όγκο της. Μια αρκετά μεγάλη περιοχή, θα παραβιάζει ως εκ τούτου το ολογραφικό όριο.
Το 1999 ο Raphael Bousso, τότε στο Stanford, πρότεινε ένα τροποποιημένο ολογραφικό όριο, το οποίο έκτοτε βρέθηκε ότι δουλεύει ακόμα και σε καταστάσεις όπου τα όρια που συζητήσαμε παραπάνω δεν μπορούν να εφαρμοστούν. Ο φορμαλισμός του Bοusso αρχίζει με μια κατάλληλη 2-διάστατη επιφάνεια, η οποία μπορεί να είναι κλειστή σαν σφαίρα ή ανοιχτή σαν ένα φύλο χαρτιού. Φανταζόμαστε τότε μια σύντομη λάμψη φωτός που ξεκινάει συγχρόνως και κάθετα, από όλα τα σημεία μιας πλευράς της επιφάνειας. Η μόνη απαίτηση είναι οι φανταστικές αυτές ακτίνες φωτός να συγκλίνουν σ’ ένα σημείο. Το φως που εκπέμπεται από την εσωτερική επιφάνεια μιας σφαίρας για παράδειγμα, ικανοποιεί αυτή την απαίτηση. Θεωρούμε τότε την εντροπία της ύλης και της ακτινοβολίας που διασχίζουν αυτές οι φανταστικές ακτίνες, μέχρι τα σημεία όπου αυτές διασταυρώνονται. Ο Bousso έκανε την εικασία ότι αυτή η εντροπία δεν μπορεί να υπερβαίνει την εντροπία που αντιπροσωπεύει την αρχική επιφάνεια – το ένα τέταρτο αυτής της επιφάνειας, μετρημένο σε εμβαδά Planck. Αυτός είναι ένας διαφορετικός τρόπος υπολογισμού της εντροπίας σε σχέση με αυτόν που χρησιμοποιείται στο αρχικό ολογραφικό όριο. Το όριο του Bousso δεν αναφέρεται στην εντροπία μιας περιοχής κάποια χρονική στιγμή, αλλά μάλλον στο άθροισμα των κατά τόπους εντροπιών σε διάφορες χρονικές στιγμές. ( Εκείνων που φωτίζονται από το φως που ξεκίνησε από την επιφάνεια.)
Το όριο του Bousso συμπεριλαμβάνει άλλα όρια εντροπιών, ενώ αποφεύγει τους περιορισμούς των. Τόσο το παγκόσμιο όριο εντροπίας, όσο και ο τύπος του ολογραφικού ορίου των ‘t Hooft-Susskind, μπορεί να παραχθεί από το όριο του Bousso, για κάθε μεμονωμένο σύστημα που δεν εξελίσσεται γρήγορα και του οποίου το βαρυτικό πεδίο δεν είναι πολύ ισχυρό. Όταν δεν ισχύουν αυτές οι συνθήκες, όπως για παράδειγμα για μια σφαιρική μάζα που καταρρέει μέσα σε μια μαύρη τρύπα, καταρρέουν και το ολογραφικό όριο των ‘t Hooft-Susskind, ενώ το όριο του Bousso συνεχίζει να ισχύει. Ο Bousso έχει επίσης δείξει ότι η στρατηγική του μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εντοπιστεί σε ποια ολογράμματα του κόσμου εφαρμόζονται οι 2-διάστατες αυτές επιφάνειες.
Αυγή μιας επανάστασης
Οι ερευνητές έχουν προτείνει πολλά άλλα όρια εντροπίας. Η διάδοση των παραλλαγών της ολογραφικής αρχής κάνει σαφές ότι το αντικείμενο αυτό δεν έχει φτάσει ακόμα στη μορφή ενός φυσικού νόμου. Αλλά αν και ο ολογραφικός τρόπος σκέψης δεν είναι ακόμα πλήρως κατανοητός, μοιάζει μάλλον ότι θα αντέξει στο μέλλον. Μαζί του έρχεται η αναγνώριση ότι μια κοινή πίστη που επικράτησε για 50 χρόνια (ότι η θεωρία πεδίου είναι η τελική γλώσσα της φυσικής) πρέπει να εγκαταλειφθεί. Τα πεδία, όπως το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, μεταβάλλονται συνεχώς από σημείο σε σημείο, και περιγράφουν συνεπώς άπειρους βαθμούς ελευθερίας. Η θεωρία των υπερχορδών, επίσης εμπεριέχει άπειρους βαθμούς ελευθερίας. Η ολογραφία περιορίζει τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας που μπορούν να εμφανίζονται εντός μιας οριακής επιφάνειας, σε πεπερασμένο αριθμό. Η θεωρία πεδίου συνεπώς με τους απειρισμούς της δεν μπορεί να είναι η τελευταία λέξη. Επιπλέον, ακόμα και αν δαμάσουμε τους απειρισμούς, η μυστηριώδης εξάρτηση της πληροφορίας από το εμβαδόν της επιφάνειας πρέπει να βρει τη θέση της στα πλαίσια μιας θεωρίας.
Η ολογραφία μπορεί να είναι ο οδηγός μας προς μια καλύτερη θεωρία. Πως θα μοιάζει η θεμελιώδης θεωρία; Η αλυσίδα των επιχειρημάτων που περιλαμβάνει και την ολογραφία σημαίνει για μερικούς, όπως κύρια για τον Lee Smolin του Ινστιτούτου Perimeter για την θεωρητική φυσική στο Waterloo του Καναδά, ότι μια τέτοια τελική θεωρία δεν πρέπει να καταπιάνεται με πεδία, ούτε καν με χωροχρόνο, αλλά μάλλον με ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ φυσικών διαδικασιών. Αν είναι έτσι, το όραμα της πληροφορίας σαν το συστατικό του κόσμου, θα έχει βρει ένα αντάξιο περίβλημα.
Πηγή: SciAm.com
Leave a Comment