|
Ανάμεσα στις άλλες ιδέες που συνεισέφερε ο Roger Penrose για
την κατανόηση του χώρου και του χρόνου, η σημαντικότερη ήταν ίσως τα
δικτυώματα των σπιν. Το 1971 προτάθηκε αρχικά ως ένα μοντέλο της
διακριτής, μη συνεχούς γεωμετρίας, αλλά από τότε έχει εξελιχθεί σε κάτι
πολύ παραπάνω από την αρχική ιδέα.
Τα δικτυώματα των σπιν βρέθηκε ότι μας δίνουν την κινηματική
δομή της κβαντισμένης γενικής σχετικότητας. Παίζουν επίσης ρόλο κλειδί
στην θεωρία πεδίων βαθμίδας που αναφέρονται σε πλεγματικές δομές. Σήμερα
τα δίκτυα των σπιν αποτελούν μια από τις προσπάθειες που γίνονται για να
καταδειχτεί ότι ο χώρος, ο χρόνος και το κβάντο είναι ένα πράγμα.
Αρχικά, η κβάντωση της γεωμετρίας απαιτεί δύο βασικά πράγματα:
• Διακριτότητα και συνεπώς μαθηματική θεμελίωση στηριγμένη αποκλειστικά σε
συνδυαστικές δομές
• Να είναι αποκλειστικά σχεσιακή, έτσι ώστε να μην αναφέρεται σε υπόβαθρο
χωροχρόνου που να
προϋπάρχει πριν και έξω από αυτήν.
Θα πρέπει ν' αναφέρουμε ότι η σχεσιακή αυτή δομή που πρότεινε ο Penrose,
έχει τις ρίζες της στη φιλοσοφικές αντιλήψεις του Leibniz για τη δομή του
χώρου και του χρόνου.
Ο σκοπός της δομής που πρότεινε ο Penrose, ήταν να πετύχει ένα απλό
μοντέλο τέτοιου συστήματος. Πρότεινε λοιπόν ένα σύστημα που αποτελείται
από έναν αριθμό "θεμελιωδών μονάδων" κάθε μια από τις οποίες έχει μια
συνολική στροφορμή. Οι μονάδες αυτές αλληλεπιδρούν με τρόπους ώστε να
διατηρείται η συνολική στροφορμή. Εφόσον δεν υπάρχει ως υπόβαθρο άλλη
γεωμετρία πίσω από τη δομή, ένα σωματίδιο μπορεί να έχει μόνο στροφορμή
καθώς δεν υπάρχει τίποτα άλλο ως προς το οποίο να μπορούμε να καθορίσουμε
μια κατεύθυνση στο χώρο.
Το σύστημά μας περιγράφεται στη συνέχεια ως ένα αυθαίρετο δικτύωμα Γ,
δηλαδή ένα κατευθυνόμενο δικτύωμα από κόμβους και γραμμές που συνδέουν
τους κόμβους. Οι γραμμές μεταξύ των κόμβων (πλευρές του δικτυώματος),
χαρακτηρίζονται από ακεραίους, με τιμές διπλάσιες της συνολικής στροφορμής
των θεμελιωδών μονάδων που απεικονίζουν. Οι κόμβοι περιγράφουν τις
αλληλεπιδράσεις στα σημεία όπου συναντιούνται οι θεμελιώδεις μονάδες του
συστήματος.
Η μόνη συνθήκη που επιβάλλεται είναι ότι πρέπει να ικανοποιείται η
διατήρηση της στροφορμής στους κόμβους όπου γίνεται η αλληλεπίδραση των
θεμελιωδών μονάδων του συστήματος. Καθώς δεν έχουμε εισάγει ακόμη καμιά
έννοια του χώρου και του χρόνου, δεν καθορίζεται αν το γράφημα αυτό
εκφράζει την παρούσα κατάσταση ή την ιστορία του συστήματος. Τα δικτυώματα
αυτά Γ, που περιγράφουν είτε τις καταστάσεις είτε την ιστορία ενός
συστήματος, έχουν ανοικτά άκρα. Για να συμβολίσουμε τις καταστάσεις που
παριστάνουν χρησιμοποιούμε το σύμβολο |Γ> δανεισμένο από τις
κβαντομηχανικές καταστάσεις.
Το μέτρο μιας τέτοιας κατάστασης προκύπτει αν πάρουμε και την κατοπτρική
της εικόνα, ενώσουμε τα αντίστοιχα ζεύγη των ανοικτών άκρων των δύο
κατοπτρικών δικτυωμάτων ώστε να σχηματιστεί ένα κλειστό δικτύωμα των σπιν.
Υπάρχει τότε μια αριθμητική τιμή που μπορούμε να αποδώσουμε σε κάθε
κλειστό δικτύωμα των σπιν, η οποία λέγεται αριθμητική τιμή του
δικτυώματος, και συμβολίζεται με V.
Το μέτρο της κατάστασης |Γ>, ορίζεται τότε ως η τιμή V του κλειστού
δικτυώματος που έχει σχηματιστεί από το Γ και το κατοπτρικό του.
Ο Penrose προσδιόρισε την τιμή V με καθαρά συνδυαστικούς τύπους των
αριθμών οι οποίοι χαρακτηρίζουν τις γραμμές που συναντιούνται σε κάθε
κόμβο του δικτυώματος.
Κάθε πληροφορία που μπορεί να μας δώσει η κατάσταση Γ - όπως είναι οι
διάφορες κβαντομηχανικές πιθανότητες - προέρχεται επίσης από την τιμή V
του δικτυώματος, μόνο με τη χρήση συνδυαστικών τύπων.
Ένα βασικό συμπέρασμα της θεωρίας είναι ότι ο διανυσματικός χώρος των
διαφόρων κατευθύνσεων του χώρου όπως τον γνωρίζουμε, μπορεί να προκύψει
από κάποια πιθανότητα που παράγεται από την τιμή V, στο όριο των πολύ
μεγάλων δικτυωμάτων σπιν. Μπορεί κανείς στο όριο των πολύ μεγάλων
δικτυωμάτων, να ορίσει μια κατάσταση στην οποία η γωνία μεταξύ των πλευρών
που τελικά εξέρχονται από το δικτύωμα, είναι μετρήσιμη.
Τα δικτυώματα των σπιν γενικεύτηκαν και χρησιμοποιήθηκαν από τους Lee
Smolin και Carlo Rovelli, ως καταστάσεις της κβαντικής γεωμετρίας στα
πλαίσια της θεωρίας της κβαντικής βαρύτητας βρόχων.
Η φυσική ιδέα που υπάρχει πίσω από τη σύλληψη να συσχετιστεί η γεωμετρία
του χώρου με τα σπιν, είναι ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε την καμπυλότητα
που παρουσιάζει ο χώρος, αν περιγράψουμε τον τρόπο με τον οποίο
μετασχηματίζονται τα διανύσματα όταν μεταφέρονται παράλληλα, κατά μήκος
μιας δεδομένης καμπύλης του χώρου. Σε καμπύλους χώρους, η παράλληλη
μεταφορά των διανυσμάτων κατά μήκος ενός βρόχου θα καταλήξει γενικά σε
διάνυσμα που δεν συμπίπτει με το αρχικό, αλλά σχηματίζει κάποια γωνία με
αυτό. Μάλιστα τέτοιου είδους φαινόμενα είναι που μας εξηγούν γιατί σε
καμπύλους χώρους το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι διάφορο των
180°.
 Για να γίνει πιο κατανοητή η ιδέα αυτή, ας θεωρήσουμε ένα κβαντομηχανικό
σωματίδιο με σπιν j, το οποίο ξεκινάει με μια δεδομένη τιμή της συνιστώσας
του σπιν κατά τον άξονα z, και διαγράφει μια τροχιά στο χώρο, κατά μήκος
ενός βρόχου όπως στο σχήμα, εκτελώντας παράλληλη μετατόπιση προς τον εαυτό
του.
Έστω για παράδειγμα ένα ηλεκτρόνιο που ξεκινάει την παράλληλη μετατόπισή
του με το σπιν του προς τα άνω. Όταν επιστρέψει ξανά στο αρχικό σημείο, η
κατάστασή του θα είναι μια υπέρθεση των συνιστωσών με σπιν-άνω και σπιν-κάτω,
ή μπορεί ακόμα και να καταλήξει αποκλειστικά με σπιν-κάτω. Το τι ακριβώς
θα συμβεί εξαρτάται από την καμπυλότητα της καμπύλης που ακολούθησε.
ένας τρόπος λοιπόν να διερευνήσουμε την γεωμετρία του χώρου είναι να
μεταφέρουμε ένα ηλεκτρόνιο με παράλληλη μετατόπιση κατά μήκος ενός αρκετά
μεγάλου βρόχου και να δούμε πόσο μεταβλήθηκε η κατάσταση του σπιν του.
Αναφορά: Lee Smolin - The Future of spin networks
|
