Πως αποδεικνύεται ότι το μοντελο Bohr είναι ανακριβές;

Συχνές ερωτήσεις, Νοέμβριος 2001

Βασικά σημεία της θεωρία της απροσδιοριστίας
Πως αποδεικνύεται ότι το μοντελο Bohr είναι ανακριβές;

Βασικά σημεία της θεωρία της απροσδιοριστίας

Το 1927, Werner Heisenberg εισήγαγε την αρχή της απροσδιοριστίας ή όπως είναι πιό γνωστή ως αρχή της αβεβαιότητας, παρακινούμενος από μια συζήτηση που είχε με τον Bohr για τη συμπληρωματικότητα.

Ανέλαβε να εξετάσει την πειραματική βάση της γνώσης μας για τα υποατομικά σωματίδια και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο νόμος της αιτιότητας για τα σωματίδια αυτά είχε ανατραπεί.

Η απόδειξη εμφανίστηκε σε ένα έγγραφο που επιδείκνυε πώς ερμηνεύει τη μηχανική των μητρών με όρους πιό γνωστών εννοιών της κλασσικής φυσικής.

Το επαναστατικό άρθρο του περιέχει ένα νοητικό πείραμα σχεδιασμένο για να δείξει ότι είναι αδύνατο να έχουμε πλήρεις πληροφορίες για ένα υποατομικό σύστημα. Ως γνωστόν ο Heisenberg απέδειξε ότι εάν x είναι η συντεταγμένη της θέσης ενός ηλεκτρονίου (σε μια συγκεκριμένη κατάσταση), και p είναι η ορμή του ηλεκτρονίου, και ότι κάθε μια έχει μετρηθεί για ένα πλήθος ηλεκτρονίων, (που βρίσκονται στη συγκεκριμένη κατάσταση), ανεξάρτητα για το καθένα από αυτά τότε: , όπου Δx είναι η ακρίβεια μέτρησης της θέσης, και Δp είναι η ακρίβεια μέτρησης της ορμής, και h είναι η σταθερά του Plank.

Με πιό απλούς όρους, αυτό σημαίνει ότι είναι φυσικώς αδύνατο να μετρηθεί και η ακριβής θέση και η ακριβής ορμή ενός σωματιδίου συγχρόνως. Όσο πιό ακριβέστερα μετριέται μια από τις ποσότητες, τόσο λιγότερο ακριβής είναι η άλλη γνωστή.

. Η τιμή αυτή του h/2π ή hbar όπως καλείται είναι πάρα πολύ μικρή.

Λόγω της μικρής τιμής του h σε σχέση με τα καθημερινά χρησιμοποιούμενα μεγέθη, αυτή η αρχή είναι σημαντική μόνο στην ατομική κλίμακα. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι αβεβαιότητες Δx και Δp προκύπτουν από την κβαντική δομή της ύλης και δεν οφείλονται στις ατέλειες των οργάνων μέτρησης.

Το πείραμα που εισήχθηκε από τον Heisenberg και το οποίο βοηθάει να ξεκαθαριστεί αυτή η ιδέα, δίνεται από την παρακάτω απεικόνιση. Για να δει κάποιος ένα ηλεκτρόνιο, και να καθορίσει έτσι τη θέση του, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα ισχυρό μικροσκόπιο φωτός. Για να είναι το ηλεκτρόνιο ορατό, πρέπει τουλάχιστον ένα φωτόνιο του φωτός να συγκρουστεί με αυτό, και να περάσει έπειτα μέσω του μικροσκοπίου στο μάτι σας.

Ένα πρόβλημα όμως εμφανίζεται εδώ, καθώς το φωτόνιο μεταφέρει κάποιο άγνωστο ποσό ορμής του στο ηλεκτρόνιο. Κατά συνέπεια, στο στάδιο της εύρεσης μια ακριβούς θέσης του ηλεκτρονίου (κάνοντας το Δx πραγματικά μικρό), το ίδιο φως που επιτρέπει σε εσάς να το δείτε αυτό, αλλάζει την ορμή του ηλεκτρονίου σε μια απροσδιόριστη έκταση, κάνοντας το Δp πολύ μεγάλο.

Αν χρησιμοποιήσουμε φωτόνιο χαμηλής συχνότητας, το μήκος κύματος του θα περιορίσει την ακρίβεια με την οποία θα εντοπίσουμε το ηλεκτρόνιο. Από την άλλη μεριά ένα φωτόνιο μικρού μήκους κύματος δίνει καθαρότερη εικόνα αλλά θα προκαλέσει μια διατάραξη στην ορμή του ηλεκτρονίου, αφού έχει μεγάλη συχνότητα άρα και μεγάλη ορμή.

Τα δύο είδη λοιπόν φωτονίων δίνουν αμοιβαίως αποκλειόμενα αποτελέσματα. Υπάρχει λοιπόν καθορισμένο όριο στην ακρίβεια της γνώσης μας για τις υποατομικές καταστάσεις.

Πως αποδεικνύεται ότι το μοντελο Bohr είναι ανακριβές;

Με βάση την αρχή της αβεβαιότητας, ο Heisenberg απέδειξε ότι το μοντέλο Bohr του ατόμου είναι ανακριβές.

Το μοντέλο του Bohr του ατόμου υδρογόνου υποθέτει ότι το ηλεκτρόνιο στην βασική του κατάσταση, κινείται σε μια κυκλική τροχιά ακτίνας R=0.529*10^-10 m, και η ταχύτητα του ηλεκτρονίου σε αυτή τη κατάσταση είναι 2.2*10⁶ m/s.

Λαμβάνοντας υπόψη την ακριβή ακτίνα, η αβεβαιότητα Δr σε αυτό το μοντέλο είναι μηδέν. Σύμφωνα με την αρχή της αβεβαιότητας, το γινόμενο Δp.Δr > = h/2, όπου Δp είναι η αβεβαιότητα στην ορμή του ηλεκτρονίου στην διεύθυνση της ακτίνας.

Επειδή η ορμή του ηλεκτρονίου είναι m v, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η αβεβαιότητα στην ορμή της είναι λιγότερη από αυτή τη τιμή. Δηλαδή η Δp είναι μικρότερη από m v = 9,11*10^-31 x 2,2*10⁶ m/s) = 2,0 * 10 ^-24 kg*m/s.

Από την αρχή αβεβαιότητας, η κατ' εκτίμηση ελάχιστη αβεβαιότητα στην ακτινωτή θέση θα ήταν: = x/(2Δp) = 0.26*10 ¹⁰ m.

Δηλαδή η αβεβαιότητα στη θέση αυτή είναι κοντά στο μέγεθος της ακτίνας Bohr, και κατά συνέπεια αποδεικνύεται πως το μοντέλο Bohr είναι ανακριβές, εφόσον η αβεβαιότητα για την ακτίνα φθάνει στο ίδιο μέγεθος που μας δίνει το μοντέλο του Bohr.