Λύθηκε ένα αίνιγμα 248 διαστάσεων (οι αναπαραστάσεις της ομάδας Ε₈)
Η θεωρία του παντός σε 248 απλά βήματα

Πηγή:Atlas Lie Groups and Representations, 20 Μαρτίου 2007

Μια διεθνής ομάδα μαθηματικών κατάφερε να δώσει τη λεπτομερή δομή μια τεράστιας και πολύπλοκης μαθηματικής δομής που επινοήθηκε πριν από έναν αιώνα. Η απεικόνιση της δομής αυτής που έχει 248 διαστάσεις και αποκαλείται Ε8, χρειάστηκε 4 χρόνια δουλειάς και παράχθηκαν κατά τη διάρκειά της περισσότερα δεδομένα απ' όσα παράχθηκαν κατά την προσπάθεια απεικόνισης του ανθρώπινου γονιδιώματος.

Μια μεγάλη ομάδα μαθηματικών έχει απεικονίσει την εσωτερική δομή μιας από τις πιο περίπλοκες δομές που έχουν μελετηθεί ποτέ. Ενός αντικειμένου που είναι γνωστό ως η διακεκριμένη ομάδα Lie E8. Η επιτυχία τους είναι σημαντική τόσο για τη βασική έρευνα όσο και για τις πολλές διασυνδέσεις της Ε8 με άλλους τομείς, όπως η θεωρία χορδών, η θεωρία αριθμών και η γεωμετρία. Ο όγκος των υπολογισμών τους είναι εντυπωσιακός. Αν γραφόταν με μικρά στοιχεία θα καταλάμβανε μια περιοχή σαν το Μανχάταν. Οι μαθηματικοί γίνονται συνήθως γνωστοί με την προσωπική εργασία τους. Αυτή τη φορά όμως η επιτυχία είναι συλλογικό έργο 18 μαθηματικών από τις ΗΠΑ και την Ευρώπη που συνεργάστηκαν για 4 χρόνια. Στο έργο αυτό θα στηριχτούν μαθηματικοί και άλλοι επιστήμονες από τις ερχόμενες γενιές.

Ο πυρήνας της ομάδας ήταν οι Jeffrey Adams (Πανεπιστήμιο Maryland), Dan Barbasch (Cornell), John Stembridge (Πανεπιστήμιο Michigan), Peter Trapa (Πανεπιστήμιο Utah) , Marc van Leeuwen (Poitiers), David Vogan (MIT), και (μέχρι το θανατό του το 2006) Fokko du Cloux (Lyon).

Μεγαλύτερο από το ανθρώπινο γονιδίωμα

Το μέγεθος των υπολογισμών που απαιτεί η E₈ είναι συγκρίσιμο με το αντίστοιχο του ανθρώπινου γονιδιώματος. Το ανθρώπινο γονιδίωμα που περιέχει όλη την γενετική πληροφορία ενός κυττάρου έχει μέγεθος μικρότερο του ενός gigabyte. Το αποτέλεσμα του υπολογισμού του E_8, που περιέχει όλη την πληροφορία αυτής της ομάδας και των αναπαραστάσεών της, έχει μέγεθος περίπου 60 gigabytes. Μέγεθος ικανό να χωρέσει 45 ημέρες συνεχούς μουσικής σε μορφή  MP3. Ενώ υπάρχουν πολλά επιστημονικά προγράμματα που επεξεργάζονται μεγάλους όγκους δεδομένων, η δυσκολία υπολογισμού του E₈ είναι πολύ διαφορετική. Ο όγκος των αρχικών δεδομένων είναι συγκριτικά μικρός. Αλλά η απάντηση που παίρνουμε είναι τεράστια και πολύ πυκνή.
Τα αποτελέσματα του υπολογισμού είναι μόνο η αρχή της μελλοντικής χρήσης τους. Όπως λέει και ο συντονιστής του προγράμματος Jeffrey Adams, "Αυτή η βασική έρευνα θα έχει πολλές επιπτώσεις στο μέλλον, τις οποίες σήμερα δεν αντιλαμβανόμαστε. Ακριβώς όπως το ανθρώπινο γονιδίωμα δεν μας έδωσε άμεσα ένα καινούργιο θαυματουργό φάρμακο, έτσι και τα αποτελέσματά μας είναι ένα βασικό εργαλείο για την πρόοδο της έρευνας σε άλλους τομείς. Θα έχει απρόβλεπτες σήμερα επιπτώσεις στα μαθηματικά και τη φυσική."

Σύμφωνα με τον Hermann Nicolai, έναν από τους διευθυντές του Ινστιτούτου Max Planck της Γερμανίας, ο οποίος δεν συμμετείχε στο πρόγραμμα, "Πρόκειται για ένα εντυπωσιακό επίτευγμα. Ενώ οι μαθηματικοί γνώριζαν εδώ και πολλά χρόνια για την ομορφιά και την μοναδικότητα του E₈, εμείς οι φυσικοί μόνο τελευταία εκτιμήσαμε τον ιδιαίτερο ρόλο του. Κατά την προσπάθειά μας να ενοποιήσουμε την βαρύτητα με τις άλλες θεμελιώδεις δυνάμεις, συναντάμε την ομάδα Ε₈  σχεδόν σε κάθε γωνιά".

Ο Υπολογισμός της E₈

Η ομάδα που έκανε τον υπολογισμό της E₈ άρχισε την εργασία πριν από 4 χρόνια. Είχαν συναντήσεις στο Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών κάθε καλοκαίρι, ενώ συναντιόνταν σε μικρότερες ομάδες και κατά τη διάρκεια του έτους. Η δουλειά τους απαιτούσε ένα μίγμα θεωρητικών μαθηματικών και πολύπλοκου προγραμματισμού στον υπολογιστή. Σύμφωνα με το μέλος της ομάδας David Vogan από το MIT, "Η αρχική κατανόηση του θέματος ήταν αρκετά δύσκολη. Ακόμα και όταν κατανοήσαμε τις μαθηματικές αρχές που βρίσκονταν στη βάση του προβλήματος, μας πήρε πάνω από δύο χρόνια για να συνθέσουμε το πρόγραμμα στον υπολογιστή.
Στη συνέχεια πρόκυψε το πρόβλημα της εύρεσης ενός υπολογιστή αρκετά μεγάλου για να υποστηρίξει τον υπολογισμό"
Για άλλον ένα χρόνο λοιπόν η ομάδα δούλεψε για να συμτύξει το πρόγραμμα ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισμός στους υπάρχοντες σούπερ-κομπιούτερς. Φαινόταν όμως ότι το υπάρχον hardware δεν ήταν ιδιαίτερα κατάλληλο, και η ομάδα σκεφτόταν να περιμένει την δημιουργία της επόμενης γενιάς υπολογιστών. Τότε ακριβώς ο Noam Elkies από το Harvard υπέδειξε έναν έξυπνο τρόπο να εκτελεστούν πολλές μικρές εκδοχές του υπολογισμού, η καθεμιά από τις οποίες παρήγαγε μια μη πλήρη εκδοχή της συνολικής απάντησης. Όλες αυτές οι ελλιπείς απαντήσεις θα συναρμολογούνταν μετά για να δώσουν την πλήρη λύση. Τελικά, ο υπολογισμός πήρε περίπου 77 ώρες στον υπερ-υπολογιστή Sage.

Η θαυμάσια συμμετρία

Ουσιαστικά ο υπολογισμός του E₈ είναι μια έρευνα της συμμετρίας. Οι μαθηματικοί ανακάλυψαν τις ομάδες  για να συλλάβουν την ουσία της συμμετρίας. Το σύνολο όλων των συμμετριών ενός αντικειμένου αποτελούν μια ομάδα, και κάθε ομάδα είναι το σύνολο των συμμετριών ενός αντικειμένου.
Η θεωρία των ομάδων έχει βρει πολλές εφαρμογές. Χρησιμοποιήθηκε για να περιγραφεί η δομή των κρυστάλλων αλλά έχει επίσης και βαθιές συνέπειες στη θεωρία των μοριακών ταλαντώσεων. Οι νόμοι διατήρησης της φυσικής, όπως είναι ονόμος διατήρησης της ενέργειας και του ηλεκτρικού φορτίου, όλοι τους πηγάζουν από συμμετρίες των εξισώσεων της φυσικής. Μια από τις απλούστερες ομάδες γνωστή ως πολλαπλασιαστική ομάδα με modulo N, χρησιμοποιείται κάθε φορά που στέλνετε ασφαλείς πληροφορίες στο διαδίκτυο.

Τί είναι οι ομάδες Lie;

Οι ομάδες Lie τώρα είναι ομάδες συμμετρίας που έχουν επιπρόσθετα και μια απλή σχετικά γεωμετρική δομή. Οι ομάδες Lie ανήκουν στην τομή δύο θεμελιωδών πεδίων των μαθηματικών, της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Μια ομάδα  Lie είναι πρώτα απ' όλα μια ομάδα. Ύστερα είναι επίσης και μια λεία πολλαπλότητα πράγμα που σημαίνει ένα συγκεκριμένο είδος γεωμετρικού αντικειμένου. Ο κύκλος και η σφαίρα είναι παραδείγματα λείων πολλαπλοτήτων. Τελικά, η αλγεβρική δομή και η γεωμετρική δομή για μια ομάδα Lie πρέπει να είναι συμβατές κατά έναν ακριβή τρόπο.

Κάπως απλουστευμένα, μια ομάδα Lie είναι μια ομάδα συμμετριών όπου οι συμμετρίες είναι συνεχείς. Ένας κύκλος έχει μια συνεχή ομάδα συμμετριών. Μπορείτε να στρέψετε τον κύκλο κατά αυθαίρετη στοιχειώδη γωνία και μένει πάντα αναλλοίωτος. Ένα εξάγωνο αντίθετα, αν στραφεί κατά αυθαίρετη μικρή γωνία θα δώσει ένα διαφορετικό εξάγωνο. Μόνο περιστροφές του εξαγώνου κατά το 1/6 μιας πλήρους περιστροφής και ακέραιων πολλαπλασίων αυτής της γωνίας, αφήνουν το εξάγωνο αναλλοίωτο.

Οι ομάδες Lie μελετήθηκαν από τον Νορβηγό μαθηματικό Sophus Lie κατά τα τέλη του 19^ου αιώνα. Ο Lie ενδιαφερόταν για τη λύση εξισώσεων. Εκείνο τον καιρό οι τεχνικές για να λύνουν εξισώσεις ήταν ουσιαστικά ένα σύνολο από τρικς. Ένα τυπικό εργαλείο των μαθηματικών, ήταν να κάνουν μια έξυπνη αλλαγή μεταβλητών, η οποία θα εξάλειφε μια μεταβλητή από τις εξισώσεις. Η βασική ιδέα του Lie ήταν ότι κάθε φορά που συνέβαινε κάτι τέτοιο, οφειλόταν σε μια συμμετρία που είχαν οι εξισώσεις και αυτή την υποκείμενη συμμετρία την ονομάζουμε σήμερα ομάδα Lie.

Οι ομάδες Lie groups είναι πολύτιμες στα μαθηματικά και άλλους τομείς της επιστήμης. Με κάθε σύστημα που έχει συνεχή ομάδα συμμετριών σχετίζεται και μια ομάδα Lie. Κάτω από κάθε αντικείμενο με συνεχή συμμετρία, όπως είναι π.χ. η σφαίρα, βρίσκεται μια ομάδα  συμμετρίας

Τα βασικά δομικά στοιχεία των ομάδων Lie είναι οι απλές ομάδες Lie. Η ταξινόμηση αυτών των ομάδων αρχίζει με την ταξινόμηση των μιγαδικών αλγεβρών Lie. Αυτές ταξινομήθηκαν από τους Wilhelm Killing και Elie Cartan στα 1890.

Ο Cartan κατασκεύασε όλες τις απλές άλγεβρες Lie που αντιστοιχούν σε απλά συστήματα ριζών. Τις A_n, B_n, C_n, and D_n (n=1,2,3....) καθώς και τις ξεχωριστές G₂, F₄, E₆, E₇, και E₈. Αυτές οι ξεχωριστές ομάδες έχουν διαστάσεις 14, 52, 78, 133 και 248, αντίστοιχα. Τις κλασσικές ομάδες A₁, A₂, A₃, ... B₁, B₂, B₃, ... C₁, C₂, C₃, ... και D₁, D₂, D₃, ... θα μπορούσε να τις παρομοιάσει κανείς με χαμηλές πλαγιές του μαθηματικού τοπίου. Πίσω από αυτό το τοπίο προβάλλουν οι υψηλές κορυφές των ομάδων G₂, F₄, E₆, E₇ και πάνω απ' όλες ξεπροβάλλει στο βάθος η κορυφή του E₈.  Η E₈ είναι μια εξαιρετικά πολύπλοκη ομάδα. Πρόκειται για τις συμμετρίες ενός αντικειμένου στις 57 διαστάσεις. Η ίδια η ομάδα  E₈ είναι 248-διάστατη!

Για μια ομάδα Lie, ο δείκτης n λέγεται τάξη της ομάδας και είναι ένα μέτρο για το πόσο μεγάλη είναι η ομάδα. Κατά μια έννοια, η ομάδα E₈ είναι η πιο πολύπλοκη ομάδα Lie. Αν και η A₁₀₀₀, για παράδειγμα είναι πιο μεγάλη από την E₈, οι μαθηματικοί γνωρίζουν πως να περιγράψουν τις αναπαραστάσεις της A_n για κάθε n. Έτσι δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για την A₁₀₀₀. όλες τις  A_n, B_n, C_n, και D_n τις γνωρίζουμε καλά, κι έτσι ο επόμενος στόχος είναι να καταπιαστούμε με τις ξεχωριστές ομάδες. Κάθε μια από τις 5 ξεχωριστές ομάδες χρειάζεται και ξεχωριστή μεταχείριση, ενώ η E₈ είναι η πιο περίπλοκη απ' όλες.

Τί είναι ακριβώς η ομάδα Ε₈;

Κατ' αρχήν η Ε₈ είναι ένα σύστημα ριζών. Δηλαδή ένα σύνολο διανυσμάτων με πραγματικές συντεταγμένες σε 8-διάστατο χώρο που ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες.
Το σύστημα ριζών της E₈ αποτελείται από όλα τα διανύσματα (που λέγονται ρίζες) και έχουν 8 συντεταγμένες  (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆,a₇,a₈) όπου όλα τα a_i είναι ακέραιοι ή όλα ακέραιοι συν 1/2, και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι δύο. Ένα παράδειγμα με ακέραιες συνιστώσες είναι το(1,1,0,0,0,0,0,0) (υπάρχουν 112 τέτοια διανύσματα) και ένα παράδειγμα με ημι-ακέραιους αριθμούς είναι το (1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2) (υπάρχουν 128 τέτοια διανύσματα). Η E₈ έχει συνολικά λοιπόν 240 ρίζες. Ο αριθμός 8 που την χαρακτηρίζει αναφέρεται στο ότι μιλάμε για 8 συντεταγμένες κάθε διανύσματος.
Η E₈ είναι επίσης μια ημιαπλή άλγεβρα Lie. Μια άλγεβρα Lie είναι ένας διανυσματικός χώρος, εφοδιασμένος με ένα τελεστή που λέγεται αντιμεταθέτης lie. Ο μεταθέτης Lie είναι ο [X,Y]=XY-YX. Ένα απλό παράδειγμα άλγεβρας Lie είναι το σύνολο όλων των πινάκων 2 επί 2. Αυτοί μας δίνουν έναν 4-διάστατο διανυσματικό χώρο.  Η Ε₈ είναι υπό αυτή την έννοια μια 248-διάστατη άλγεβρα Lie.

Μια εικόνα του συστήματος ριζών της Ε_8. Το σύστημα ριζών E₈ αποτελείται από 240 διανύσματα σε ένα 8-διάστατο χώρο. Τα διανύσματα αυτά είναι οι κορυφές ενός 8-διάστατου αντικειμένου. Στην εικόνα μας εμφανίζεται μια προβολή του αντικειμένου αυτού στο επίπεδο σχεδίασης που φυσικά έχει 2 διαστάσεις. Οι γραμμές στην εικόνα συνδέουν τις διαδοχικές κορυφές του αντικειμένου αυτού.

Τί είναι μια αναπαράσταση ομάδας;

Όπως είπαμε και παραπάνω, πίσω από κάθε αντικείμενο της φύσης που παρουσιάζει συνεχή συμμετρία κρύβεται και μια ομάδα Lie. Οι μαθηματικοί μελετούν τις ομάδες Lie, τόσο για την εσωτερική κομψότητα που εμφανίζουν, όσο και για τις εφαρμογές τους σε άλλους τομείς.
Κάθε ομάδα Lie μπορεί να εμφανίζεται με διάφορες μεταμφιέσεις. Αυτές λέγονται αναπαραστάσεις. Πιο συγκεκριμένα, μια αναπαράσταση μιας ομάδας είναι η απεικόνιση της ομάδας αυτής σε μια άλλη ομάδα από πίνακες (μήτρες). Για παράδειγμα η συμμετρία που παρουσιάζει ο κύκλος στις στροφές κατά μια γωνία χ, απεικονίζεται με πίνακες 2x2, της μορφής

Μ' αυτό εννοούμε ότι αν ο πίνακας αυτός δράσει σε οποιοδήποτε σημείο του κύκλου με συντεταγμένες (Χ,Υ) θα μας δώσει πάλι τις συντεταγμένες ενός άλλου σημείου του κύκλου. Αυτή λοιπόν είναι μια αναπαράσταση της κυκλικής συμμετρίας.

Οι μαθηματικοί θα ήθελαν να καταλάβουν όλες τις αναπαραστάσεις της E₈. Οι βασικές δομικές μονάδες όλων των αναπαραστάσεων λέγονται ανάγωγες αναπαραστάσεις. Για τις περισσότερες ανάγκες αρκεί να κατανοήσουμε αυτές τις αναπαραστάσεις. Για την E₈ είναι δυνατή μια βασική αναγωγή η οποία τις ελαττώνει σε ένα πεπερασμένο μεν αλλά τεράστιο αριθμό : 453,060.

Υπάρχουν βεβαίως τελείως καθορισμένες σχέσεις μεταξύ όλων αυτών των  453,060 αναπαραστάσεων. Οι πληροφορίες για τις σχέσεις αυτές κωδικοποιούνται σε ένα πίνακα διάστασης 453,060Χ453,060, που έχει 205,263,363,600 (205 δισεκατομμύρια) κελιά. Οι πληροφορίες αυτές των σχέσεων μεταξύ των αναπαραστάσεων είναι γνωστές στους μαθηματικούς με το όνομα πολυώνυμα Kazhdan-Lusztig-Vogan. Η δομή αυτού του τεράστιου πίνακα είναι που θυμίζει το ανθρώπινο γονιδίωμα. Περιέχει όλη την πληροφορία για την Ε₈, προσεκτικά κωδικοποιημένη και συμπυκνωμένη.

Για να βρουν όλη αυτή την πληροφορία οι μαθηματικοί πρέπει να λύσουν ένα τρομερά περιπεπλεγμένο σύστημα εξισώσεων. Ένα μέρος μάλιστα της δυσκολίας αυτού του εγχειρήματος δεν ήταν γνωστό πριν ξεκινήσει η εργασία. Πιο συγκεκριμένα, δεν γνώριζαν ποιες θέσεις του πίνακα δεν ήταν μηδενικές. 

Η ομάδα Lie  G₂ θεωρείται αρκετά απλή ώστε μερικές από τις
αναπαραστάσεις της να μπορούν να περιγραφούν και με τη
βοήθεια εικόνων. Εδώ ο Jeffrey Adams περιγράφει την σφαιρική
και πραγματική, μοναδιαία αναπαράσταση της ομάδας G₂.

Η Ε₈ και η φυσική

Η κατανόηση της Ε8 δεν συνιστά μόνο μια τεράστια πρόοδο στα μαθηματικά, αλλά μπορεί επίσης να βοηθήσει τους φυσικούς στην προσπάθεια διατύπωσης της μεγάλης ενοποιημένης θεωρίας. Δηλαδή, θα αποκρυπτογραφήσει όλα τα μυστήρια του Σύμπαντος, από το επίπεδο του ηλεκτρονίου έως τους γαλαξιακούς σχηματισμούς. Αυτό δήλωσε ο διευθυντής του Ινστιτούτου Άλμπερτ Αϊνστάιν, στο Πότσνταμ της Γερμανίας, Χέρμαν Νικολάι, γιατί η Ε8 εμφανίζεται στην ετεροτική θεωρία χορδών. .

Πάνω από δύο δεκαετίες τώρα, η θεωρία χορδών έχει γίνει το κυρίαρχο εργαλείο για τη φυσική που ξεφεύγει από τα όρια του καθιερωμένου μοντέλου. Η βασική θέση της θεωρίας χορδών είναι ότι οι θεμελιώδεις λίθοι του σύμπαντος δεν είναι ούτε τα άτομα, αλλά ούτε καν τα ηλεκτρόνια , τα μιόνια και τα κουάρκς. Θεωρεί ως στοιχειώδη κάποια αντικείμενα που μοιάζουν με χορδές ή μεμβράνες και ζουν σε ένα χώρο 26 διαστάσεων. Η ελκυστικότητα της θεωρίας χορδών για τους φυσικούς είναι διπλή. Πρώτα απ' όλα φιλοδοξεί να ξεπεράσει δύο μεγάλα εμπόδια τα οποία στο παρελθόν εμπόδιζαν την ενοποίηση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας με την κβαντική θεωρία πεδίου. Τα εμπόδια αυτά ήταν η έλλειψη επανακανονικοποίησης της ΓΘΣ και οι κβαντικές ανωμαλίες που εμφανίζονταν. Ύστερα είναι η φαινομενική της μοναδικότητα. Όταν υιοθετήσουμε τις βασικές αρχές της θεωρίας χορδών, μπορούμε στη συνέχεια να επιχειρηματολογήσουμε γιατί ζούμε στο συγκεκριμένο σύμπαν που τυχαίνει να ζούμε. Απομένει να εξηγηθεί γιατί το σύμπαν αυτό θα είναι το μόνο δυνατό.

Στην πραγματικότητα η μοναδικότητα αυτή δεν είναι πλήρης. Υπάρχουν πολλά ανταγωνιστικά μοντέλα στη θεωρία χορδών. Το κυρίαρχο όμως μοντέλο είναι αυτό που αποκαλείται ετεροτική θεωρία χορδών, και εδώ ακριβώς είναι που η E₈ παίζει ουσιαστικό ρόλο.

Φυσικά, η πιο αυστηρή απαίτηση για να γίνει δεκτή μια θεωρία χορδών, είναι να μας εξηγεί τον 4-διάστατο χωροχρόνο στον οποίο βλέπουμε ότι ζούμε. Στη ετεροτική θεωρία χορδών το πέρασμα αυτό από τις 26 στις 4 διαστάσεις γίνεται σε δύο βήματα. Πρώτα απ' όλα 16 από τις 26 αρχικές διαστάσεις είναι συμπαγοποιημένες, δηλαδή περιτυλιγμένες πολύ σφιχτά. Η συμπαγοποίηση αυτή εξηγείται με ένα αυτοσυνεπή και κομψό τρόπο στα πλαίσια της θεωρίας. Στη συνέχεια, απομένει να εξηγηθεί η συμπαγοποίηση 6 από τις υπόλοιπες 10 διαστάσεις μέχρι να φτάσουμε στις τελικά παρατηρούμενες 4 διαστάσεις. Η ομάδα E₈ εμφανίζεται στην ετεροτική θεωρία χορδών κατά το στάδιο όπου γίνεται η αναγωγή από τις 26 στις 10 διαστάσεις.