100 χρόνια από τη γέννηση του John von Neumann
Μια μεγαλοφυΐα στα μαθηματικά, στη φυσική, στους υπολογιστές

Άρθρο, Ιανουάριος 2004

Ο John von Neumann, είναι ένας από τους πιο διαπρεπείς επιστήμονες του 20ου αιώνα, που εκτός από μεγάλος μαθηματικός και φυσικός, ήταν πρωτοπόρος σε πεδία όπως η θεωρία των παιγνίων, η πυρηνική αποτροπή του πολέμου, και η σύγχρονη επιστήμη των υπολογιστών. Η δε θεωρία των παιγνίων που επινόησε είχε ιδιαίτερη σημασία για την οικονομική επιστήμη.

Ο νους του ήταν σαν μια λογική υπολογιστική μηχανή από μικρή ηλικία, όταν τότε μπόρεσε να υπολογίσει το γινόμενο δύο οκταψήφιων αριθμών με το μυαλό του. Όπως επίσης και μία καταπληκτική μνήμη. Η ισχυρή προσωπικότητά του φαινόταν από τους πολλούς φίλους και θαυμαστές που είχε. Συχνά ο κόσμος τον σχολίαζε με θαυμασμό και σαν άτομο και σαν επιστήμονα.

Γεννήθηκε στις 28 Δεκεμβρίου του 1903 στη Βουδαπέστη της Ουγγαρίας και πέθανε στις 8 Φεβρουαρίου 1957, στην πρωτεύουσα των ΗΠΑ, Ουάσιγκτον. Λαμπρός μαθηματικός, συνθέτης, και διάσημος για την αρχιτεκτονική von Neumann.

Αφού τελείωσε τα Πανεπιστήμια της Βουδαπέστης το 1921 και του Βερολίνου το 23, σπούδασε Εφηρμοσμένη Χημεία στο Ελβετικό Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο της Τεχνολογίας (1923-25). Πήρε το διδακτορικό του στα μαθηματικά το 1926 από το Πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης, που το θέμα του αφορούσε τη θεωρία συνόλων. Η αξιωματικοποίηση της θεωρίας αυτής που επινόησε έχει αφήσει εποχή στο θέμα αυτό, αλλά και ο ορισμός των τακτικών αριθμών, που δημοσίευσε όταν ήταν 20 ετών, έχει γίνει γενικά αποδεκτός.

Έγινε καθηγητής στα Πανεπιστήμια του Βερολίνου. Την εποχή αυτή εργάστηκε κυρίως στην κβαντική φυσική και την θεωρία τελεστών. Προϊόν κυρίως της δουλειάς του ήταν το ότι η κβαντική φυσική και η θεωρία τελεστών μπορούν να θεωρηθούν ως δύο όψεις του ίδιου πράγματος. Ως προς αυτό υπήρξε βασική η διαίσθηση του σε ό,τι αφορά στα διανύσματα: Η γεωμετρία των διανυσμάτων σε έναν απειροδιάστατο Ευκλείδειο χώρο έχει τα ίδια μαθηματικά χαρακτηριστικά με την δομή των καταστάσεων σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα.

Το 1930, όταν στην Ευρώπη ξεκινούσε μια σκοτεινή εποχή λόγω του Χίτλερ, προσκλήθηκε για να δημιουργήσει και να διδάξει στο Ίδρυμα Προχωρημένων Σπουδών (IAS ) του Princeton από το 1933. Διατήρησε εκεί την έδρα των Μαθηματικών μέχρι το θάνατό του.

Χάρις στην εγγύηση του φίλου του οικονομολόγου Oskar Morganstern, οι von Neumann και Kurt Gödel έγιναν Αμερικανοί πολίτες και πρόσφεραν τα μέγιστα στην υπόθεση του πολέμου με τους Ναζί.

Υπάρχει κι ένα σχετικό ανέκδοτο για τη μέρα που ο Morganstern τους οδήγησε στο γραφείο μετανάστευσης,  για να δουν οι Αμερικανοί εξεταστές τους αν ήξεραν το Αμερικανικό σύνταγμα και την ιστορία των ΗΠΑ, έτσι ώστε να τους δώσουν την Αμερικανική υπηκοότητα.

Ο Morganstern ρώτησε τους δύο επιστήμονες εάν είχαν καμιά ερώτηση που θα μπορούσε να τους απαντήσει. Ο Gödel του απάντησε ότι δεν είχε καμία ερώτηση αλλά είχε βρει μερικές λογικές ασυνέπειες στο Αμερικανικό σύνταγμα για το οποίο ήθελε να ρωτήσει τους υπαλλήλους του γραφείου μετανάστευσης. Ο  Morganstern του σύστησε να μη κάνει ερωτήσεις, μόνο να απαντά στις ερωτήσεις που θα του κάνουν.

Το έργο του

Το 1932 έδωσε μία ακριβή διατύπωση και απόδειξη του Εργοδικού Θεωρήματος της μαθηματικής στατιστικής. Το βιβλίο του Μαθηματική θεμελίωση της Κβαντομηχανικής, που δημοσιεύθηκε το 1932, παραμένει ένα κλασικό έργο πάνω σε αυτό το θέμα.

Εν τω μεταξύ ενδιαφέρθηκε για τα 23 προβλήματα που είχε προτείνει το 1900 ο Γερμανός μαθηματικός Hilbert ως πρόκληση για την μαθηματική έρευνα του 20ού αιώνα. Ο von Neumann έλυσε μία ειδική περίπτωση του πέμπτου προβλήματος του Hilbert, την περίπτώση των συμπαγών ομάδων.

Στο δεύτερο ήμισυ της δεκαετίας του 1930 το κύριο μέρος των δημοσιεύσεων του, που είχαν εν μέρει γραφεί σε συνεργασία με τον Μαρεϋ, αφορούσαν σε δακτυλίους τελεστών. Σήμερα ονομάζονται Άλγεβρες Neumann.

Αυτές οι έννοιες θα αναφέρονται πιθανότατα επί μακρόν, περισσότερο από ό,τι το υπόλοιπο έργο του. Σήμερα αποτελούν ένα από τα ισχυρότερα εργαλεία για την μελέτη της κβαντικής φυσικής.

Περίπου 20 από τις 150 δημοσιεύσεις του αναφέρονται σε θέματα της φυσικής, ενώ οι υπόλοιπες μοιράζονται σχεδόν στα καθαρά μαθηματικά (κυρίως θεωρία συνόλων, μαθηματική λογική, τοπολογικές ομάδες, θεωρία μέτρου, εργοδική θεωρία, θεωρία τελεστών και συνεχή γεωμετρία) και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά (στατιστική, αριθμητική ανάλυση, σεισμικά κύματα, προβλήματα ροής, υδροδυναμική, αεροδυναμική, βαλλιστική, προβλήματα εκρήξεων, μετεωρολογία και σε δύο μη κλασικές περιοχές των εφαρμοσμένων μαθηματικών: την θεωρία παιγνίων και τους υπολογιστές). Οι δημοσιεύσεις του παρουσιάζουν μία στροφή από την καθαρή στην εφαρμοσμένη έρευνα περί το 1940.

Κατά την διάρκεια του Β' Παγκόσμιου πολέμου ήταν περιζήτητος σύμβουλος στις ένοπλες δυνάμεις αλλά και σε πολιτικές επιτροπές. Οι δύο κυριότερες συμβολές του αφορούσαν στην έκρηξη πυρηνικών καυσίμων και την ανάπτυξη της βόμβας υδρογόνου. Οι πολιτικές και διοικητικές του αποφάσεις δεν βασίζονταν ωστόσο σε φιλελεύθερες αρχές. Συνέχισε να υποστηρίζει τις δοκιμές ατομικών βομβών και μετά το τέλος του πολέμου.

Το μαθηματικό θεμέλιο της θεωρίας παιγνίων του von Neumann είναι το "θεώρημα minimax", το οποίο διατύπωσε το 1928. Η σύνθεση του και οι εφαρμογές του περιγράφονται στο βιβλίο που έγραψε το 1944 μαζί με τον Morganstern: Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά.

Χάρις το βιβλίο αυτό διαδόθηκε ταχύτατα σε όλο τον κόσμο η μαθηματική θεωρία των παιγνίων και οι εφαρμογές της στην οικονομία, στην πολιτική, στη στρατιωτική επιστήμη, στην επιχειρησιακή έρευνα, στις επιχειρήσεις, στη νομοθεσία, στα αθλήματα, στη βιολογία, καθώς και σε διάφορα άλλα επιστημονικά πεδία. Σημαντική υπήρξε επίσης η επίδραση της στη στρατιωτική σκέψη.

Το θεώρημα minimax και η θεωρία των παιγνίων

Το θεώρημα minimax αναφέρει ότι για μία μεγάλη κλάση παιγνίων δύο ατόμων δεν υπάρχει λόγος να γίνεται το παίγνιο. Ο καθένας από τους δύο παίκτες μπορεί να θεωρήσει, για κάθε δυνατή στρατηγική του παιχνιδιού, την μεγίστη ζημιά που μπορεί να υποστεί ακολουθώντας αυτή την στρατηγική και ακολούθως να εκλέξει ως βέλτιστη στρατηγική εκείνη που του ελαχιστοποιεί την μέγιστη ζημία.

Εάν ένας παίκτης ακολουθήσει την διαδικασία αυτή, μπορεί να είναι στατιστικά βέβαιος ότι δεν θα χάσει περισσότερα από αυτή την τιμή που λέγεται τιμή minimax. Εφόσον (αναφέρει το θεώρημα minimax) η τιμή minimax ισούται με το αρνητικό της παρόμοια οριζόμενης τιμής, που ο αντίπαλος του μπορεί να εγγυηθεί για τον εαυτό του, το τελικό αποτέλεσμα προσδιορίζεται πλήρως από τους κανόνες του παιγνίου.

Η θεωρία των παιγνίων τώρα είναι ένας κλάδος των μαθηματικών, ο οποίος χρησιμοποιείται για την ανάλυση ανταγωνιστικών καταστάσεων που η έκβαση τους εξαρτάται όχι μόνο από τις επιλογές ενός ατόμου —ή και από την τύχη— αλλά και από τις επιλογές των άλλων ατόμων, ή παικτών.

Εφόσον η έκβαση ενός παιχνιδιού εξαρτάται από τις ενέργειες και τις αποφάσεις όλων των παικτών, καθένας από αυτούς προσπαθεί να προβλέψει τις επιλογές των υπολοίπων, με σκοπό να καθορίσει την δική του βέλτιστη επιλογή.

Το κυρίως αντικείμενο της θεωρίας παιγνίων είναι το πώς θα γίνουν αυτοί οι αλληλεξαρτώμενοι στρατηγικοί υπολογισμοί.

Η θεωρία παιγνίων υποδιαιρείται σε πολλούς μεγάλους τομείς. Οι σημαντικότεροι είναι:

• Δύο πρόσωπα εναντίον π προσώπων. Η θεωρία των δύο προσώπων ασχολείται με την βέλτιστη στρατηγική επιλογή δύο ατόμων, ενώ η θεωρία των π προσώπων (π>2) ενδιαφέρεται για τις συμμαχίες (ή συνασπισμούς) που θα μπορούσαν να κάνουν κάποιοι από αυτούς έτσι, ώστε τα μέλη της συμμαχίας να αποκομίσουν τα μέγιστα δυνατά κέρδη.

• Μηδενικό άθροισμα εναντίον μη μηδενικού αθροίσματος. Τα κέρδη κάθε παίκτη προστίθενται στο μηδέν (ή σε κάποιον άλλο σταθερό αριθμό) για κάθε έκβαση (γύρο) του παιχνιδιού. Αυτό συμβαίνει στα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος. Στα παιχνίδια μη μηδενικού αθροίσματος τα ποσά αθροίζονται σε κάθε έκβαση και, κατά συνέπεια, η αφετηρία δεν είναι κοινή για όλους τους παίκτες. Στα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος ό,τι ποσό κερδίζεται συνολικά τόσο ποσό χάνεται. Κατά συνέπεια το αλγεβρικό άθροισμα των ποσών είναι μηδέν. Αντίθετα, στα παιχνίδια μη μηδενικού αθροίσματος είναι δυνατόν σε κάποιο γύρο να χάσουν ή να κερδίσουν όλοι οι παίκτες (από το απόθεμα του παιχνιδιού).

• Συνεργασία εναντίον μη συνεργασίας. Ως παιχνίδια συνεργασίας χαρακτηρίζονται εκείνα, στα οποία οι παίκτες συνάπτουν συμβάσεις και θεσπίζουν κανονισμούς. Αντίθετα, στα παιχνίδια μη συνεργασίας, μπορεί να επιτρέπεται ή όχι η επικοινωνία μεταξύ των παικτών. Πάντως και στα παιχνίδια μη συνεργασίας αν αποφασιστεί κάποια συμφωνία, αυτή δεν πρέπει να παραβιαστεί με το αιτιολογικό ότι πρόκειται για παιχνίδι μη συνεργασίας. Κοινό γνώρισμα όλων των κλάδων της θεωρίας παιγνίων είναι η υπόθεση ότι οι παίκτες, μεταξύ πολλών κακών εκβάσεων, θα επιλέξουν την λιγότερο κακή.

Υπολογιστές

Στη θεωρία υπολογιστών, ο von Neumann έκανε πρωτοποριακή δουλειά στον λογικό σχεδιασμό, στο πρόβλημα του να παίρνουμε αξιόπιστες απαντήσεις από μία μηχανή με μη αξιόπιστα συστατικά στοιχεία, στη λειτουργία της μνήμης, και στο πρόβλημα κατασκευής αυτομάτων που μπορούν να αναπαράγουν το είδος τους.

Μία από τις πιο αξιοπρόσεκτες ιδέες, για την μελέτη της οποίας πρότεινε να εφαρμοστούν μέθοδοι της πληροφορικής, ήταν να χρωματιστεί το στρώμα πάγου των πολικών περιοχών της Γης, έτσι ώστε να ελαττωθεί το ποσό ενέργειας που αυτές ανακλούν- ως αποτέλεσμα η Γη θα θερμαινόταν τόσο ώστε το κλίμα της Ισλανδίας θα πλησίαζε το κλίμα της Χαβάης.

Η αξιωματική μέθοδος αναφέρεται μερικές φορές ως το μυστικό της επιτυχίας του von Neumann. Την χειρίστηκε όχι με σχολαστικότητα αλλά με διορατικότητα. Έφθανε στη ρίζα του θέματος επικεντρώνοντας την προσπάθεια του στις βασικές ιδιότητες, τα αξιώματα, από τα οποία απορρέουν όλες οι άλλες ιδιότητες.

Από το 1936 έως το 1938 ο Alan Turing ήταν μεταπτυχιακός σπουδαστής στο τμήμα μαθηματικών στο Princeton και έκανε τη διατριβή του κάτω από τον Alonzo Church. Ο Von Neumann προσκάλεσε τον Turing να γίνει βοηθός του αλλά αυτός προτίμησε να επιστρέψει στο Κέιμπριτζ.

Ένα έτος αργότερα ο Turing έγινε μέλος της ομάδας για τον πόλεμο στο Bletchley Park, χάρις στην δημοσίευση μιας εργασίας του το 1934 που περιλάμβανε τις έννοιες του λογικού σχεδιασμού και της καθολικής μηχανής. Δεν ξέρουμε αν ο Neumann ήξερε για τις ιδέες του Turing, αν και τις εφάρμοσε στο σχέδιο της Υπολογιστικής Μηχανής του Ιδρύματος Προχωρημένων Σπουδών (IAS ) του Princeton δέκα χρόνια αργότερα.

Το ενδιαφέρον του Von Neumann για τους υπολογιστές εστιάστηκε στην εφαρμογή των υπολογιστών στα εφαρμοσμένα μαθηματικά για συγκεκριμένα προβλήματα, κι όχι μόνο για την ανάπτυξη των πινάκων.

Κατά τη διάρκεια του πολέμου, χάρις την πείρα του στην υδροδυναμική, την επιστήμη των βλημάτων, τη μετεωρολογία, τη θεωρία παιχνιδιών, και τη στατιστική, τέθηκε επικεφαλής διαφόρων προγραμμάτων.

Αυτή η εργασία του τον οδήγησε να σκεφτεί τη χρήση μηχανικών συσκευών για τον υπολογισμό. Η ιστορία μπορεί να αναφέρει ότι ο Neumann δούλεψε για πρώτη φορά στον υπολογιστή ENIAC, στην πραγματικότητα όμως ήταν με τον υπολογιστή Harvard Mark I, του Howard Aiken (ASCC).

Η αλληλογραφία του το 1944 δείχνει το ενδιαφέρον του για την εργασία όχι μόνο του Aiken αλλά και των ηλεκτρομηχανικών (με τη χρήση ρελέ) υπολογιστών του George Stibitz, και την εργασία του Jan Schilt στο Επιστημονικό Εργαστήριο Υπολογιστών Watson στο Πανεπιστήμιο της Κολούμπια.

Χάρις τις εργασίες του φτιάχτηκε ο υπολογιστής ENIAC, και η υπολογιστική μηχανή του IAS. Επίσης, χτίστηκαν αρκετοί "υπερυπολογιστές" από Εθνικά Εργαστήρια ως αντίγραφα της μηχανής του.

Μέχρι τα τελευταία χρόνια του πόλεμος ο Neumann ήταν ο σύνδεσμος μεταξύ των επιστημονικών ομάδων που εργάζονταν μυστικά στο Εθνικού Εργαστηρίου Los Alamos (και του προγράμματος Μανχάτταν). Με τη βοήθεια του υπολογιστή του επιταχύνθηκε η κατασκευή της βόμβας υδρογόνου, την 1η Νοεμβρίου 1952.

Στη δεκαετία του '50 ο von Neumann απασχολήθηκε ως σύμβουλος στην ΙΒΜ για να συντάξει προηγμένα προγράμματα τεχνολογίας.

Αναφορά: Britanica, Πολυτεχνικό Ινστιτούτο Virginia.