Η ενεργειακή πυκνότητα του κενού

Άρθρο, Μάρτιος 2008

Οι φυσικοί όταν μιλάνε για την ενέργεια του κενού ή για την ενέργεια μηδενικού σημείου εννοούν την ενεργειακή πυκνότητα του κενού διαστήματος. Στην κοσμολογία, την ονομάζουν και "κοσμολογική σταθερά", ή "σκοτεινή ενέργεια". Μερικές φορές οι φαντασιόπληκτοι διεγείρονται στην ιδέα ότι εάν μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την ενέργεια με κάποιο τρόπο, όλα τα προβλήματά μας θα λύνονταν. Αλλά ας ξεκινήσουμε με το αν αυτή η ενέργεια υπάρχει πραγματικά. Και σε αυτή την περίπτωση, πόση είναι;

Για την ενέργεια του μηδενικού σημείου έχουν ακουστεί πολλοί αριθμοί, από το σχεδόν μηδέν έως και αστρονομικά νούμερα. Και φυσικά υπάρχει η απορία τι ισχύει στην πραγματικότητα.

Αρχικά να εξηγήσουμε τι έχουμε καταφέρει.

Έχουμε δύο θεμελιώδεις θεωρίες της φυσικής: την κβαντική θεωρία πεδίου και τη γενική σχετικότητα. Η κβαντική θεωρία πεδίου λαμβάνει υπόψη της και την κβαντομηχανική και την ειδική σχετικότητα, και είναι η θεωρία όλων των δυνάμεων και των σωματιδίων εκτός από τη βαρύτητα, που την αγνοεί. Η γενική σχετικότητα είναι μια μεγάλη θεωρία της βαρύτητας, αλλά αγνοεί την κβαντομηχανική. Κανένας δεν ξέρει πώς να συμφιλιώσει αυτές τις δύο θεωρίες ακόμα. Κι αυτό προσπαθούν οι άνθρωποι που δουλεύουν πάνω  στη "κβαντική βαρύτητα".

Οι δύο θεωρίες, κβαντική θεωρία πεδίου και γενική σχετικότητα έχουν διαφορετική στάση απέναντι στην ενεργειακή πυκνότητα του κενού. Η αιτία είναι ότι η κβαντική θεωρία πεδίου δίνει προσοχή μόνο στις διαφορές ενέργειας. Αν μπορούμε να μετρήσουμε μόνο τις διαφορές ενέργειας, φυσικά και δεν μπορούμε να καθορίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα του κενού - είναι θέμα σύμβασης. Η ενεργειακή πυκνότητα του κενού καθορίζεται μόνο από πειράματα που περιλαμβάνουν τη γενική σχετικότητα - συγκεκριμένα, με τη μέτρηση της κυρτότητας του χωροχρόνου.

Γι αυτό όταν υπολογίζετε την ενεργειακή πυκνότητα του κενού παίρνετε διαφορετικές απαντήσεις, ανάλογα με το εάν βασίζεστε στη γενική σχετικότητα ή την κβαντική θεωρία πεδίου.

Ας δούμε τις 5 πιο κοινές απαντήσεις που οι φυσικοί φθάνουν σε αυτές τις διαφορετικές απαντήσεις:

1. Μπορούμε να μετρήσουμε την ενεργειακή πυκνότητα του κενού μέσω των αστρονομικών παρατηρήσεων που καθορίζουν την κυρτότητα του χωροχρόνου. Όλες οι μετρήσεις που έχουν γίνει συμφωνούν ότι η ενεργειακή πυκνότητα είναι πολύ κοντά στο ΜΗΔΕΝ. Με όρους πυκνότητας της μάζας, η απόλυτη τιμή της είναι μικρότερη από 10^-26 kg ανά κυβικό μέτρο. Από την άποψη της ενεργειακής πυκνότητας, είναι περίπου 10^-9 joules ανά κυβικό μέτρο.

Αλλά δεν γνωρίζουμε εάν αυτό που είναι κοντά στο μηδέν είναι θετικό ή αρνητικό. Για πολύ καιρό έλεγαν ότι το πρόσημο της ήταν σαν της κοσμολογικής σταθεράς. Αλλά, πρόσφατες μετρήσεις από τον δορυφόρο Ανισοτροπίας Μικροκυμάτων Wilkinson (WMAP) και πολλά άλλα πειράματα έδειξαν μια θετική κοσμολογική σταθερά, ίση περίπου με 6 Χ 10^-27 kg ανά κυβικό μέτρο. Αυτό αντιστοιχεί σε μια θετική ενεργειακή πυκνότητα περίπου 9 Χ 10^-10 joules ανά κυβικό μέτρο.

Ο λόγος που παίρνουμε μια θετική ενεργειακή πυκνότητα είναι πολύ ενδιαφέρων. Χάρις στην μετατόπιση προς το ερυθρό  (redshifts) των απόμακρων γαλαξιών και κβάζαρ, ξέρουμε ότι ο Κόσμος διαστέλλεται. Τα νέα δεδομένα παρουσιάζουν κάτι που εκπλήσσει: αυτή η διαστολή επιταχύνεται. Η συνηθισμένη ύλη μπορεί να επιβραδύνει την διαστολή, δεδομένου ότι η βαρύτητα είναι ελκτική - τουλάχιστον πάνω στη συνηθισμένη ύλη.

Τι μπορεί ενδεχομένως να φταίει που η διαστολή επιταχύνεται; Η γενική σχετικότητα λέει ότι εάν το κενό έχει μια ενεργειακή πυκνότητα, πρέπει επίσης να έχει και αρνητική πίεση. Στην πραγματικότητα, πρέπει το κενό να έχει μια πίεση αντίθετη ακριβώς με  την ενεργειακή πυκνότητά του, (σε μονάδες όπου η ταχύτητα του φωτός και η σταθερά της βαρύτητας του Νεύτωνα είναι ίσες με 1). Ωστόσο η θετική ενεργειακή πυκνότητα του κενού (που δρα σαν μάζα) κάνει τη διαστολή του σύμπαντος να τείνει προς την επιβράδυνση, αλλά συγχρόνως η αρνητική πίεση του κενού αναγκάζει τη διαστολή να τείνει στην επιτάχυνση.

Στη Γενική Σχετικότητα, ο ρυθμός μεταβολής της κοσμικής διαστολής του σύμπαντος είναι ανάλογος με την ποσότητα
 -(ρ_total + 3p_total),

όπου ρ_total είναι η πυκνότητα όλης της ύλης και της ενέργειας του σύμπαντος και p_total είναι η αντίστοιχη πίεση. Ο συντελεστής 3 οφείλεται αρκετά παράδοξα στις 3 διαστάσεις.

Αλλά όπως είπαμε, για το κενό η πίεση είναι αντίθετη της ενεργειακής πυκνότητας: p_total = -ρ_total. Έτσι, ο ρυθμός με τον οποίο το κενό προκαλεί την επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος είναι ανάλογος προς  2 ρ_total

Από αυτό, συνεπάγεται ότι εάν το κενό έχει θετική ενεργειακή πυκνότητα, τότε η διαστολή του σύμπαντος θα τείνει να επιταχυνθεί. Κι αυτό τελικά βλέπουμε να συμβαίνει. Και γι αυτό η ενέργεια του κενού με τιμή πολύ κοντά στο μηδέν είναι αυτήν την περίοδο η πιο εύλογη εξήγηση για ό,τι βλέπουμε στο σύμπαν.

Οι υπολογισμοί που εξηγούν γιατί το κενό, που έχει θετική ενεργειακή πυκνότητα, έχει αρκετή αρνητική πίεση ώστε να προκαλέσει την διαστολή του σύμπαντος,  βασίζονται στις εξισώσεις του Αίνστάιν.

Και για να θεωρήσουμε σωστό το αποτέλεσμα πρέπει να έχουμε εμπιστοσύνη στη γενική σχετικότητα όπως, επίσης, και σε άλλες υποθέσεις για την κοσμολογία. Εντούτοις, το βασικό γεγονός ότι η ενεργειακή πυκνότητα του χωροχρόνου είναι πολύ κοντά στο μηδέν σχεδόν δεν το συζητάμε: αν ήταν λάθος τότε η γενική σχετικότητα θα έπρεπε να ήταν κι αυτή λάθος.

2. Μπορούμε να υπολογίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα του κενού χρησιμοποιώντας την κβαντική θεωρία πεδίου. Εάν υπολογίσουμε τη χαμηλότερη δυνατή ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή, παίρνουμε καλύτερη απάντηση όταν χρησιμοποιούμε την κβαντομηχανική από όταν χρησιμοποιούμε την κλασσική μηχανική.  Η διαφορά ονομάζεται "ενέργεια στο σημείο μηδέν".

Η ενέργεια στο σημείο μηδέν ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι το γινόμενο 1/2 επί τη σταθερά του Planck επί τη συχνότητά του. Αφελώς μπορούμε να προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα του κενού αθροίζοντας τις ενέργειες στο σημείο μηδέν όλων των τρόπων ταλάντωσης των κβαντικών πεδίων που εξετάζουμε (π.χ. το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και διάφορα άλλα πεδία για άλλες δυνάμεις και σωματίδια).  Οι τρόποι ταλάντωσης με τα πιο μικρά μήκη κύματος έχουν υψηλότερες συχνότητες και συμβάλλουν περισσότερη στην ενεργειακή πυκνότητα του κενού.  Εάν υποθέσουμε ότι ο χωροχρόνος είναι συνεχής, έχουμε καταστάσεις με αυθαίρετα μικρά μήκη κύματος (υψηλές συχνότητες και υψηλή ενέργεια), κι έτσι παίρνουμε το άπειρο ως την ενεργειακή πυκνότητα του κενού. Και βεβαίως υπάρχουν προβλήματα με αυτό το άπειρο.

3. Ένας ελαφρώς λιγότερο αφελής τρόπος για να υπολογιστεί η ενέργεια του κενού στην κβαντική θεωρία πεδίου είναι να αναγνωρίσουμε ότι δεν ξέρουμε ότι ο χωροχρόνος είναι συνεχής, και να αθροίσουμε μόνο τις ενέργειες στο σημείο μηδέν για τους τρόπους ταλάντωσης που έχουν μήκη κύματος μεγαλύτερα από, για παράδειγμα, το μήκος Planck (περίπου 10^-35 μέτρα). Αυτό δίνει μια τεράστια αλλά πεπερασμένη ενεργειακή πυκνότητα του κενού. Χρησιμοποιώντας τη σχέση E = mc² παίρνουμε μια πυκνότητα μάζας περίπου 10⁹⁶ kg ανά κυβικό μέτρο. Δυστυχώς υπάρχουν πολλά προβλήματα και με αυτόν τον υπολογισμό.

Πρώτον, προηγουμένως θεωρήσαμε ότι οι τρόποι ταλάντωσης των πεδίων είναι σαν τους αρμονικούς ταλαντωτές κι αυτό ισχύει μόνο για τις "θεωρίες χωρίς πεδίο" - εκείνες στις οποίες δεν υπάρχει καμία αλληλεπίδραση μεταξύ των πεδίων. Αυτό φυσικά δεν είναι ρεαλιστικό.

Δεύτερον, η γελοία αναλογία μεταξύ αυτής της πυκνότητας και αυτής που παρατηρούμε στην πράξη ονομάζεται συχνά πρόβλημα κοσμολογικής σταθεράς. Αν κάνουμε τη μετατροπή σε μονάδες της μάζας Planck ανά μήκος Planck στον κύβο, τότε η κοσμολογική σταθερά είναι περίπου 10^-123. Είναι πολύ δύσκολο να φτιάξουμε μια θεωρία που να εξηγεί έναν τέτοιο μικροσκοπικό αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

Αλλά υπάρχει ένα ακόμα μεγαλύτερο πρόβλημα.

4. Η κβαντική θεωρία πεδίων όπως γίνεται συνήθως αγνοεί τη βαρύτητα. Αλλά εφ' όσον αγνοεί κάποιος τη βαρύτητα, μπορεί να προσθέσει οποιαδήποτε σταθερά στον καθορισμό της ενεργειακής πυκνότητα δίχως να αλλάξει τις προβλέψεις για κάτι που μπορείτε πειραματικά να μετρήσετε. Η αιτία είναι ότι δίχως τη μέτρηση της κυρτότητας του χωροχρόνου, μπορείτε να μετρήσετε μόνο τις ενεργειακές διαφορές. Το μεγάλο πρόβλημα με τον 2ο και 3ο υπολογισμό είναι ότι αγνοούν αυτό το γεγονός. Εάν εκμεταλλευόμαστε αυτό το γεγονός είμαστε ελεύθεροι να επαναπροσδιορίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα αφαιρώντας την ενέργεια στο σημείο μηδέν, αφήνοντας τότε μια ενεργειακή πυκνότητα μηδέν. Στην πραγματικότητα αυτό γίνεται συνήθως στην κβαντική θεωρία πεδίου.

5. Τέλος ένας πιο αφελής τρόπος να υπολογίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα του κενού στην κβαντική θεωρία πεδίων είναι ο ακόλουθος. Στην κβαντική θεωρία πεδίου παραμελούμε τη βαρύτητα. Αυτό σημαίνει ότι είμαστε ελεύθεροι να προσθέσουμε οποιαδήποτε σταθερά στον καθορισμό της ενεργειακής πυκνότητας. Εφ' όσον είμαστε ελεύθεροι να το κάνουμε, δεν μπορούμε να πούμε πραγματικά τι πραγματικά είναι η ενεργειακή πυκνότητα του κενού. Με άλλα λόγια, εάν εξετάζουμε μόνο την κβαντική θεωρία πεδίου και όχι τη γενική σχετικότητα, η ενεργειακή πυκνότητα του κενού δεν είναι καθορισμένη.

Έτσι, υπάρχουν 5 απαντήσεις για την ενεργειακή πυκνότητα του κενού αλλά η πιο πιθανή είναι η πρώτη: πολύ κοντά στο μηδέν ή 9 Χ 10^-10 joules ανά κυβικό μέτρο. Κι αυτό επειδή είναι βασισμένη στο πείραμα και σε αρκετά συντηρητικές υποθέσεις για τη γενική σχετικότητα.

Οι άλλες απαντήσεις είτε είναι αφελείς (2η και 4η) είτε δεν προσδιορίζεται (5η απάντηση). Η συμφιλίωση της 1ης και 5ης απάντησης είναι ένας από τους μεγάλους στόχους οποιασδήποτε καλής θεωρίας της κβαντικής βαρύτητας.

Αναφορές

• Ned Wright, Vacuum Energy Density, or: How Can Nothing Weigh Something?

• Sean Carroll, The Cosmological Constant.

• Wikipedia

• Παλιότερα άρθρα από physics4u.gr

Αρνητική πίεση

Το μεγαλύτερο μυστήριο της κοσμικής επιτάχυνσης δεν είναι ότι τα δύο τρίτα του σύμπαντος είναι φτιαγμένα από ύλη που δεν μπορούμε να δούμε, αλλά ότι υπαινίσσεται την ύπαρξη μιας ουσίας που προκαλεί βαρυτική άπωση. Για να εξετάσουμε αυτήν την παράξενη ιδιότητα της σκοτεινής ενέργειας βοηθάει η εισαγωγή της ποσότητας w = p_dark/ρ_dark, όπου p_dark είναι η μέση πίεση και ρ_dark είναι η πυκνότητα της σκοτεινής ενέργειας στο σύμπαν. Η νέα αυτή ποσότητα είναι παρόμοια με την εξίσωση κατάστασης ενός αερίου. 

Στη Γενική Σχετικότητα, ο ρυθμός μεταβολής της κοσμικής διαστολής είναι ανάλογος με 
 -(ρ_total + 3p_total), όπου ρ_total είναι η πυκνότητα όλης της ύλης και της ενέργειας του σύμπαντος και p_total είναι η αντίστοιχη πίεση. Για να έχουμε όμως επιταχυνόμενη διαστολή πρέπει η ποσότητα αυτή να είναι θετική. Αφού η ρ_total είναι θετική ποσότητα, και η μέση πίεση που οφείλεται στη συνηθισμένη ύλη και τη σκοτεινή ύλη από κοινού, είναι αμελητέα γιατί είναι ψυχρή και συνεπώς μη σχετικιστική, φτάνουμε στην απαίτηση ότι  3w x ρ_dark + ρ_total < 0 για μια επιταχυνόμενη διαστολή. Επειδή ρ_dark ~ ^2/3ρ_total, βρίσκουμε ότι  w < -1/2, κι έτσι η πίεση της σκοτεινής ενέργειας δεν είναι μια μικρή αρνητική ποσότητα, αλλά μεγάλη και αρνητική! 

Γιατί όμως η αρνητική πίεση επηρεάζει τη διαστολή του σύμπαντος; Ο Einstein έδειξε ότι η ύλη και η ενέργεια καμπυλώνουν τον χωροχρόνο. Έτσι λοιπόν για ένα θερμό αέριο, οι άτακτες κινήσεις των ατόμων συμβάλλουν στη βαρυτική έλξη τους, όπως αυτή προσδιορίζεται από την επιτάχυνση μακρινών σωματιδίων υποθεμάτων. Όμως οι δυνάμεις που απαιτούνται για να περιορίσουμε ή να απομονώσουμε το θερμό αέριο είναι αντίθετες προς αυτή την πίεση του αερίου. Το σύμπαν, από την άλλη πλευρά, δεν είναι ούτε περιορισμένο ούτε απομονωμένο. Η διαστολή του σύμπαντος που είναι γεμάτο με θερμά αέρια, επιβραδύνεται από την ελκτική δύναμη της δικής του βαρύτητας, πιο πολύ από ένα σύμπαν που είναι γεμάτο με την ισοδύναμη ενέργεια ενός ψυχρού αερίου χωρίς πίεση. Και με την ίδια λογική, ένα μέσον που επιτρέπει αρνητική πίεση έτσι ώστε ρ_total + 3p_total < 0, θα διαστέλλεται πιο γρήγορα, με τις δικές του απωστικές δυνάμεις αντιβαρύτητας. 

Ας δούμε συνοπτικά πώς η ενεργειακή πυκνότητα του κενού σχετίζεται με μια αρνητική πίεση:

• Η ενεργειακή πυκνότητα του κενού πρέπει να είναι σταθερή επειδή δεν υπάρχει τίποτα από το οποίο να εξαρτάται

• Εάν ένα έμβολο στο κύλινδρο - που έχει μέσα του κενό - απομακρύνεται δημιουργώντας περισσότερο κενό, τότε το κενό μέσα στον κύλινδρο έχει περισσότερη ενέργεια, που πρέπει να του έχει παρασχεθεί από το έργο της δύναμης που τραβά το έμβολο προς τα έξω.

• Εάν το κενό προσπαθεί να τραβήξει το έμβολο πίσω προς τον κύλινδρο, πρέπει να έχει μια αρνητική πίεση, επειδή μια θετική πίεση θα έτεινε να ωθήσει το έμβολο προς τα έξω.

Η αρνητική πίεση δεν είναι ένα σπάνιο φαινόμενο. Η πίεση του νερού σε μερικά ψηλά δέντρα γίνεται αρνητική, καθώς οι θρεπτικές ουσίες ανεβαίνουν προς τα επάνω μέσω των σωληνίσκων του φυτού, και η πίεση εφαπτομενικά προς ένα ομογενές ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο είναι επίσης αρνητική. Στις περιπτώσεις αυτές, η πίεση μοιάζει κάπως σαν ένα τεντωμένο ελατήριο, το οποίο ασκεί μια δύναμη προς τα έσω. Σε μικροσκοπικό επίπεδο, μια θάλασσα από μποζόνια Higgs - τα υποθετικά σωματίδια που είναι υπεύθυνα για τη γέννηση της μάζας στο καθιερωμένο μοντέλο της σωματιδιακής φυσικής - ασκούν αρνητικές πιέσεις όταν οι θερμικές ή κινητικές διεγέρσεις της είναι μικρές. Πράγματι, το ίνφλατον μπορεί να θεωρηθεί ως μια βαρύτερη εκδοχή του Higgs, και μια από τις προταθείσες μορφές της σκοτεινής ενέργειας που λέγεται πεμπτουσία, μπορεί να είναι μια ακόμα ελαφρύτερη εκδοχή του Higgs.

Κατ' αρχήν, δεν υπάρχει κατώτατο όριο για την πίεση στο σύμπαν, αν και αρχίζουν να συμβαίνουν παράξενα πράγματα καθώς μειώνεται η τιμή του w κάτω από την τιμή -1 ( μια απομονωμένη συγκέντρωση από τέτοιο υλικό θα έμοιαζε να έχει αρνητική μάζα, πράγμα που είναι ότι ακριβώς θα χρειαζόταν κάποιος για να διανοίξει μια σκουληκότρυπα. Όμως, οι πιο πολλές προταθείσες μορφές σκοτεινής ενέργειας μπορούν να προκαλούν μόνο μια μικρή παραμόρφωση στο χώρο, και ακόμη και τότε μόνο σε αποστάσεις πολύ μεγαλύτερες από τις διαστάσεις των γαλαξιών, κι έτσι γίνεται πολύ δύσκολη η εκμετάλλευση των ιδιοτήτων τους. Ένα πράγμα όμως είναι βέβαιο: Τέτοιες ισχυρά αρνητικές πιέσεις δεν συμβαίνουν για τα συνηθισμένα σωματίδια και πεδία στη γενική σχετικότητα.

Οι λεπτομερείς παρατηρήσεις οδηγούν σε κάποιους περιορισμούς για τις παραμέτρους της σκοτεινής ενέργειας, μεγαλύτερους οπωσδήποτε από αυτούς που αναφέραμε πιο πάνω. Όταν οι προβλέψεις των διαφόρων θεωρητικών μοντέλων συνδυαστούν με τις καλύτερες μετρήσεις μας της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου, τις συγκεντρώσεις των γαλαξιών και τις αποστάσεις των σούπερ νόβα, βρίσκουμε ότι  0.62 < Ω_dark < 0.76, όπου Ω_dark = ρ_dark/ρ_critical, και -1.3 < w < -0.9 .