Τι ενέργεια έχουν τα ελεύθερα ηλεκτρόνια μέσα σ' ένα μέταλλο σε θερμοκρασία απολύτου μηδενός;

Συχνές ερωτήσεις, Ιούνιος 2003

Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια μέσα σ' ένα μέταλλο στη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός, δεν μπορεί να έχουν όλα μηδενική ορμή και συνεπώς κινητική ενέργεια ίση με μηδέν, διότι κάτι τέτοιο θα παραβίαζε την απαγορευτική αρχή του Pauli. Η ενέργεια που έχει ένα τέτοιο σύστημα προκύπτει από τον συνδυασμό της ελαχιστοποίησης της ενέργειας και την εφαρμογή της αρχής της απροσδιοριστίας.

Ας θεωρήσουμε το αέριο των ελευθέρων ηλεκτρονίων τα οποία έχουν εγκαταλείψει τα άτομα του μετάλλου και περιφέρονται ελεύθερα μέσα στο μέταλλο. Οι πυρήνες των ιόντων δεν ασκούν ουσιαστική δύναμη στα ελεύθερα ηλεκτρόνια διότι το καθένα εξ αυτών περνάει κυρίως τον χρόνο του μακριά από τους πυρήνες, ενώ η δράση Coulomb των πυρήνων θωρακίζεται από τα άλλα ελεύθερα ηλεκτρόνια που μεσολαβούν και μετριάζεται μέχρι σημείου που μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Μεταξύ των ηλεκτρονίων επίσης δεν ασκούνται σημαντικές δυνάμεις διότι λόγω της απαγορευτικής αρχής του Pauli, τα ηλεκτρόνια δεν μπορούν να πλησιάσουν πολύ κοντά το ένα με το άλλο.

Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα ηλεκτρόνια βρίσκονται μέσα μέσα σ' ένα κυβικό κουτί ακμής L.
Η εξίσωση Schrodinger έχει τότε τη μορφή:

Σχέση 1: όπου το V θεωρείται μηδέν. Η λύση αυτής έχει τη μορφή επιπέδων κυμάτων:

Σχέση 2. και η συνθήκη που επιβάλλεται από τον περιοδικότητα της κυματοσυνάρτησης στα άκρα του κουτιού είναι η εξής:

Σχέση 3. Η απαίτηση αυτή οδηγεί στην κβάντωση του κυματανύσματος k:

όπου n = 0, ±1, ±2, κλπ. Σχέση 4.

 και αντίστοιχα για τους άλλους δύο άξονες:

Σχέση 5.

Στον τρισδιάστατο χώρο λοιπόν των κυματανυσμάτων k οι διακριτές τιμές των k_x, k_y, k_z, σχηματίζουν ένα πλέγμα από στοιχειώδεις κύβους που ο καθένας τους έχει όγκο (2π / L)³.

Σε κάθε έναν από αυτούς τους στοιχειώδεις κύβους χωράνε 2 ηλεκτρόνια λόγω των διαφορετικών τιμών σπιν +1/2 ή -1/2 που μπορεί να έχουν.

Αν θεωρήσουμε λοιπόν στον χώρο αυτόν των k μια σφαίρα ακτίνας k, εντός αυτής θα περιέχεται αριθμός ηλεκτρονίων ίσος με :

Σχέση 6

Η σφαίρα αυτή ακτίνας k που παριστάνεται στο παρακάτω σχήμα λέγεται σφαίρα Fermi.

Ένα σωμάτιο με κυματάνυσμα k, έχει ορμή

και ενέργεια:

Αν λοιπόν υποτεθεί ότι υπάρχουν συνολικά Ν ηλεκτρόνια, τότε από τη (σχέση 6) προκύπτει ότι η μέγιστη τιμή για το μέτρο του διανύσματος k, δηλαδή η ακτίνα Fermi είναι:

και αντίστοιχα η μέγιστη ενέργεια που μπορούν να έχουν τα ηλεκτρόνια είναι:

Όλες οι καταστάσεις εντός της σφαίρας Fermi είναι συμπληρωμένες με ηλεκτρόνια, ενώ δεν υπάρχουν καθόλου ηλεκτρόνια σε Τ=0, με κυματάνυσμα k>k_F και ενέργεια E>E_F . Για τυπικές τιμές μεγεθών Ν/V, η ενέργεια Fermi προκύπτει της τάξης μεγέθους: E_F ~ 5 eV.