Το μέλαν σώμα και η ακτινοβολία του
Η γένεση μιας επαναστατικής θεωρίας

Άρθρο, Απρίλιος 2002

Γνωρίζουμε ότι η θερμότητα μπορεί να διαδοθεί όχι μόνο με αγωγή και με μεταφορά αλλά και με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, μια μορφή ενέργειας, η οποία φυσικά διαδίδεται με την ταχύτητα του φωτός.

Το αίτιο αυτής της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας ή απλά θερμικής ακτινοβολίας είναι η θερμοκρασία ενός σώματος κι όχι η γνωστή παλμική κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων σε μια κεραία.

Η ενέργεια δε που ακτινοβολεί κάθε θερμό σώμα, αυξάνεται δραστικά με την αύξηση της θερμοκρασίας του. Το φάσμα αυτής της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας είναι συνεχές, αν πρόκειται για στερεό ή υγρό σώμα (συμπυκνωμένη ύλη), ενώ στην περίπτωση που είναι αέριο, το φάσμα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας είναι γραμμικό.

Στην φυσική όμως το σώμα που έχουν την ιδιότητα να απορροφούν πλήρως κάθε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, με οποιοδήποτε μήκος κύματος, λέγεται μέλαν σώμα. Η ονομασία αυτή έχει δοθεί διότι στη συνηθισμένη θερμοκρασία είναι μαύρα (ή μελανά), επειδή ακριβώς απορροφούν όλα τα μήκη κύματος ακόμη και στην ορατή περιοχή.

Η έννοια "μέλαν σώμα" διατυπώθηκε από τον Gustav Kirchhoff το 1896 και το άνοιγμα μιας κοιλότητας πχ η πόρτα ενός κλιβάνου συμπεριφέρεται σαν ένα μέλαν σώμα, όπως φαίνεται και στην παραπάνω εικόνα.

Αυτό οφείλεται στο ότι η κάθε ακτίνα που εισέρχεται από την οπή, μετά από διαδοχικές ανακλάσεις στα τοιχώματα της κοιλότητας, θα απορροφηθεί απ' αυτά χωρίς να έχει τη δυνατότητα να εξέλθει από την οπή.

Ένα μέλαν σώμα εκπέμπει ακτινοβολία, που είναι τόσο μεγαλύτερη, όσο μεγαλύτερη είναι η θερμοκρασία του, και φυσικά ένα μέρος της μπορεί να βρίσκεται και στην ορατή περιοχή του φάσματος, όταν η θερμοκρασία του είναι αρκετά υψηλή. Η θερμική ακτινοβολία του μέλανος σώματος ακολουθεί μερικούς νόμους τους οποίους θα δούμε παρακάτω.

Νόμοι του μέλανος σώματος

Στα τέλη του 19ου αιώνα η ακτινοβολία του μέλανος σώματος είχε μελετηθεί διεξοδικά και είχαν διατυπωθεί δύο νόμοι: Ο νόμος των Stefan - Boltzmann και ο νόμος μετατόπισης του Wien.

Οι Stefan - Boltzmann, διαπίστωσαν ότι η αφετική ικανότητα Α, που είναι το πηλίκο της συνολικής ακτινοβολούμενης ισχύος ενός μέλανος σώματος προς το εμβαδόν της επιφάνειάς του S, είναι ανάλογη προς την τέταρτη δύναμη της απόλυτης θερμοκρασίας του σώματος: Α = σ Τ⁴ , όπου σ είναι μία θεμελιώδης φυσική σταθερά, γνωστή ως σταθερά των Stefan - Boltzmann.

Ο νόμος αυτός προέκυψε από πειράματα τόσο του Stefan όσο και του Boltzmann, που δούλευαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο.

Στην πράξη ο νόμος αυτός των Stefan - Boltzmann μας λέει ότι σε οποιαδήποτε θερμοκρασία Τ και αν βρίσκεται ένα σώμα θα εκπέμπει ακτινοβολία, σε κάποια περιοχή του φάσματος. Ακόμη και στην θερμοκρασία Τ=273 Κ, εκπέμπει κάποια ακτινοβολία. Βέβαια κάθε σώμα όχι μόνο εκπέμπει αλλά και απορροφά ακτινοβολία.

Έτσι αν η θερμοκρασία του Τ είναι μεγαλύτερη από την θερμοκρασία του περιβάλλοντός του τότε το σώμα τελικώς εκπέμπει ακτινοβολία.

Αν συμβαίνει το αντίθετο, τότε απορροφά. Και εδώ πάλι το πηλίκο της απορροφούμενης ακτινοβολίας προς το εμβαδόν της επιφανείας είναι ανάλογο της τετάρτης δύναμης της θερμοκρασίας του σώματος σε Kelvin.

Αν όμως η θερμοκρασία Τ του σώματος είναι ίση με την θερμοκρασία του περιβάλλοντος τότε όση ακτινοβολία απορροφά το σώμα τόση και εκπέμπει. Άρα σε αυτή τη περίπτωση δεν μπορεί να ψυχθεί.

Ο νόμος μετατόπισης του Wien (δείτε το παρακάτω σχήμα), συνδέει την θερμοκρασία του σώματος (σε Kelvin) με το μήκος κύματος λmax, στο οποίο το μέλαν σώμα εκπέμπει το περισσότερο ποσοστό της ακτινοβολουμένης ισχύος. Μάλιστα τα δύο αυτά μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα ή ότι το γινόμενο τους είναι μια σταθερά ίση με 2,90.10^-3   m K.

Ο νόμος του Wien λοιπόν γίνεται λmax· T = 2,90.10^-3.

Με βάση αυτό το νόμο, όταν το μέλαν σώμα βρίσκεται σε χαμηλές θερμοκρασίες, το λmax είναι μεγάλο. Άρα θα βρίσκεται στην υπέρυθρη (μη ορατή) περιοχή του φάσματος.

Όταν η θερμοκρασία αυξηθεί, τότε το λmax θα μετατοπισθεί προς χαμηλότερες τιμές π.χ. του ερυθρού χρώματος. Κι αν αυξηθεί ακόμη περισσότερο η θερμοκρασία, τότε το λmax θα μετατοπισθεί στην περιοχή του ιώδους.

Με την βοήθεια αυτού του νόμου βρήκαμε την θερμοκρασία της επιφανείας του ήλιου, περίπου 6.000 Κ.

H ανωτέρω καμπύλη που είναι η φασματική κατανομή της αφετικής ικανότητας Ι(λ) για μέλαν σώμα σε διάφορες θερμοκρασίες, έχει γίνει με την βοήθεια πειραμάτων και δείχνει ότι η ακτινοβολουμένη ισχύς για ένα μέλαν σώμα δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλα τα μήκη κύματος. Για να πάρουμε την αφετική ικανότητα Α πρέπει να ολοκληρώσουμε την συνάρτηση Ι(λ) από το μήκος κύματος 0 έως το άπειρο.

Οι μετρήσεις της φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας, για διάφορες θερμοκρασίες έδωσαν τις ανωτέρω καμπύλες. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνει η θερμοκρασία η συνάρτηση Ι(λ) αυξάνει δραστικά για όλα τα μήκη κύματος. Ταυτόχρονα έχουμε μετατόπιση του λmax προς μικρότερα μήκη κύματος, όπως αυτή δίνεται από το νόμο του Wien. 

Η αποτυχία της Κλασικής Φυσικής

Αν πάρουμε το φάσμα ενός μέλανος σώματος θα διαπιστώσουμε ότι αυτό είναι συνεχές, αποτελείται δηλαδή από άπειρα μήκη κύματος. Το φάσμα αυτό επεκτείνεται και εκατέρωθεν της ορατής περιοχής. Η παραπάνω καμπύλη μας δείχνει τον τρόπο που κατανέμεται στα διάφορα μήκη κύματος η ισχύς, που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα. Το μέγεθος Ι(λ) καλείται συνάρτηση φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας. Παρατηρούμε μάλιστα ότι η εκπεμπόμενη ισχύς δεν κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλη την έκταση του φάσματος αλλά παρουσιάζει ένα μέγιστο, σε ένα ορισμένο μήκος κύματος.

Μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα έγιναν πολλές προσπάθειες να ερμηνευθούν θεωρητικά οι πειραματικές καμπύλες αυτής της φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας του μέλανος σώματος.

Οι Rayleigh και Jeans έκαναν υπολογισμούς της συνάρτησης Ι(λ), στηριζόμενοι στην αντίληψη της Κλασικής Φυσικής, που θεωρεί τα άτομα του μελανού σώματος ταλαντωτές, οι οποίοι ακτινοβολούν ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος. Κατέληξαν δε στη σχέση: 
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης (διακεκομμένη γραμμή) καθώς και η πειραματική δίδεται στην παρακάτω καμπύλη. 

Παρατηρούμε ότι για μεγάλα μήκη κύματος υπάρχει σχεδόν ταύτιση των δύο καμπυλών (θεωρητικής και πειραματικής).

Όσο όμως το μήκος κύματος μικραίνει τόσο η απόκλιση μεταξύ τους μεγαλώνει. Ενώ, για πολύ μικρά μήκη κύματος, η πειραματική τιμή της Ι(λ) μηδενίζεται, ενώ η θεωρητική παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, αφού η τιμή της Ι(λ) είναι αντιστρόφως ανάλογη του λ⁴.

Οι αποκλίσεις μεταξύ θεωρίας και πειράματος είναι αγεφύρωτες. Η θεωρητική και η πειραματική καμπύλη της συνάρτησης κατανομής της αφετικής ικανότητας μέλανος σώματος ήταν τελείως διαφορετικές.

Η ασυμφωνία αυτή μεταξύ της σχέσης των Rayleight-Jeans και της πειραματικής καμπύλης οδηγεί στην λεγόμενη "υπεριώδη καταστροφή". Αυτό σημαίνει ότι αν εισέλθει έστω μια ερυθρή ακτίνα μέσα στον λεγόμενο κύβο του Jeans, που είναι ένας άδειος κύβος με κατοπτρικά τοιχώματα, από μια οπή του, τότε αυτή η υπέρυθρη ακτινοβολία σιγά-σιγά μετατρέπεται σε μπλε, ιώδης, υπεριώδης, ακτίνες-Χ, ακτινοβολία γ και ακόμη παραπέρα χωρίς όριο. Θα ήταν λοιπόν παράτολμο να κάθεσαι μπροστά στο τζάκι γιατί σε λίγο το κόκκινο φως των κάρβουνων θα μετατρεπόταν σε επικίνδυνη πυρηνική ακτινοβολία.

Η θεωρητική προσέγγιση των Rayleight-Jeans λοπόν οδηγεί σε εκπομπή άπειρης ολικής ενέργειας, αφού είναι επιτρεπτά όλα τα μήκη κύματος. Αν μάλιστα το μήκος κύματος λ τείνει στο μηδέν τότε το Ι(λ) τείνει στο άπειρο.Η εξίσωση των διαγραμμάτων του μέλανος σώματος, που αποδίδουν γραφικά το νόμο του Planck, περιγράφονται μαθηματικά από την σχέση: , όπου C1 και C2 δύο σταθερές και Τ η εκάστοτε θερμοκρασία του εκπέμποντος μέλανος σώματος.

Οι εξηγήσεις για την μορφή της καμπύλης βασίζονται στην Κλασσική Φυσική στην οποία γνωρίζομε ότι η ολική ενέργεια ενός ταλαντωτή είναι Εολ=1/2DX², όπου x το πλάτος ταλάντωσης και D μια σταθερά, επειδή όμως το x μπορεί να πάρει μια οποιαδήποτε τιμή, έπεται ότι και η ενέργεια μπορεί να πάρει μια οποιαδήποτε τιμή. Αν θεωρήσουμε το σύνολο των ατόμων σαν ταλαντωτές, που ο καθένας τους εκπέμπει και ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, η ακτινοβολία του μέλανος σώματος θα αποτελείται από το σύνολο αυτών των κυμάτων. Αλλά οι εξηγήσεις αυτές κατέληγαν σε αποτυχία.

Είναι φανερό ότι η Κλασική Φυσική είναι αδύνατον να ερμηνεύσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος. Κάποιο λάθος έκανε η Φυσική του 19ου αιώνα. Κάτι άλλο θα συνέβαινε για να μην έχουμε την Υπεριώδη Καταστροφή, που αναμενόταν θεωρητικά αλλά στην πράξη δεν την είχαμε δει ποτέ.

Η Κβαντική Θεωρία του Max Planck

Η παταγώδης αποτυχία της Κλασικής Φυσικής να ερμηνεύσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος οδήγησε τον Max Planck σε ένα, σύμφωνα με τον ίδιο, "απονενοημένο διάβημα":

Πρώτον να παραδεχθεί ότι ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος δεν έχει καθολική ισχύ, αλλά όπως είχε δεχθεί ο Boltzmann έχει στατιστική ισχύ (με μεγάλη πιθανότητα να συμβαίνει) και δεύτερον να παραδεχθεί ότι η ενέργεια ταλάντωσης των ατόμων παίρνει όχι συνεχείς τιμές αλλά διακριτές.

Από την ημέρα, 14 Δεκεμβρίου 1900, που ο Planck παρουσίασε τις ιδέες του στο συνέδριο της Γερμανικής Εταιρείας, ξεκίνησε αυτό που λέμε σήμερα σύγχρονη φυσική. Οι ιδέες αυτές εκείνη την εποχή ήταν τόσο ασυνήθιστες, που πέρασαν πολλά χρόνια μέχρι να τις ασπαστούν οι φυσικοί. Ακόμη και ο ίδιος ο Planck δυσκολευόταν να τις πιστέψει.

Ο Πλανκ ισχυρίστηκε στην ομιλία του ότι, σύμφωνα με τους αρκετά πολύπλοκους υπολογισμούς του, το παράδοξο συμπέρασμα των Rayleight-Jeans θα μπορούσε να τακτοποιηθεί και ο κίνδυνος της Υπεριώδους Καταστροφής θα μπορούσε να μην υπήρχε, αρκεί να παραδεχόταν κάποιος ότι η ενέργεια των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων μπορεί να υπάρχει μόνο με τη μορφή χωριστών ποσοτήτων ή κβάντων, με την ενέργεια τους να είναι ανάλογη της συχνότητά τους.

Μαθηματική διατύπωση του νόμου του Planck

Όταν ο Planck άρχισε να μελετάει το μέλαν σώμα, δέχθηκε ότι τα τοιχώματα του ήταν ηλεκτρομαγνητικοί (ερτζιανοί) ταλαντωτές, η συμπεριφορά των οποίων μπορούσε να υπολογιστεί.   Αφού λοιπόν υπήρχε αναντιστοιχία αναγκάσθηκε να αρνηθεί την κλασσική τιμή της ενέργειας των ταλαντωτών και να υποστηρίξει ότι η ενέργεια ενός ταλαντωτή μπορεί να πάρει τιμές μόνο ακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας hf.
Δηλαδή η ενέργεια Ε = nhf, όπου n = 1,2,3,........ και f η συχνότητα του ταλαντωτή και h μια σταθερά, η οποία φέρει το όνομά του.

Με αυτό τον τρόπο η ενέργεια ενός ταλαντωτή είναι κβαντισμένη επειδή δεν μπορεί να πάρει συνεχείς τιμές. Ως συνέπεια αυτού η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία την οποία μπορεί να απορροφήσει ή να εκπέμψει ένα ταλαντούμενο άτομο ή μόριο, μπορεί να έχει μόνο διάκριτες τιμές, τις οποίες ο Planck ονόμασε κβάντα (quantum = ποσότητα).

Τα κβάντα αυτά, επεκράτησε να ονομάζονται φωτόνια. Την ονομασία αυτή έδωσε ο Αϊνστάιν από την ελληνική λέξη φως.

Ο τύπος στον οποίο κατέληξε ο Planck ήταν ο εξής: , που αποτελεί και το νόμο του Planck.

Όπου k η σταθερά του Boltzmann και c η ταχύτητα του φωτός. Η συνάρτηση αυτή συμφωνεί πολύ καλά με τα πειραματικά δεδομένα.

Από αυτήν προκύπτει ότι: που αποτελεί τον νόμο μετατόπισης του Wien.

Αν υπολογίσουμε επίσης το ολοκλήρωμα: καταλήγουμε στην έκφραση: Α = σ Τ⁴ (όπου σ μια σταθερή τιμή), που αποτελεί τον νόμο των Stefan - Boltzmann.

Ο Planck δεν ήταν και τόσο ικανοποιημένος από τη θεωρία στην οποία αναγκάσθηκε να καταλήξει. Τη θεωρούσε περισσότερο ως υπολογιστικό τέχνασμα, παρά ως θεμελιώδη αρχή, η οποία έμελλε να προκαλέσει ανεπανόρθωτο ρήγμα στο οικοδόμημα της Κλασικής Φυσικής.

Χαρακτήρισε τη θεωρία του, σε μια ερώτηση που του έκανε ο Αμερικανός φυσικός Wood, "σαν μια πράξη απελπισίας που την πάλευα επί έξι ολόκληρα χρόνια" στην οποία κατέφυγε, επειδή "έπρεπε πάση θυσία να βρεθεί μία θεωρητική ερμηνεία, οποιοδήποτε και αν ήταν το κόστος, με εξαίρεση βέβαια την παραβίαση των δύο θερμοδυναμικών νόμων".

Τόσο η πειραματική τιμή της σταθεράς του νόμου του Wien, όσο και του νόμου των Stefan - Boltzmann βρίσκονται σε συμφωνία με τους θεωρητικούς υπολογισμούς του Planck.

Η μεγάλη αυτή επιτυχία του Planck αποτέλεσε την αρχή της αμφισβήτησης των θεμελίων της Κλασικής Φυσικής. Την περίοδο που ακολούθησε (μετά το 1900) ο George Gamov τη χαρακτήρισε, στο ομώνυμο έργο του, τα "Τριάντα χρόνια που συγκλόνισαν τη Φυσική".

Αναφορές
Τριάντα χρόνια που συγκλόνισαν τη Φυσική, του George Gamov
Θερμότητα, του Καίσαρα Αλεξόπουλου
Ιστορία της Φυσικής, Emilio Segre
Φυσική και φιλοσοφία, Ευτύχιος Μπιτσάκης
Σύγχρονη Φυσική ΙV τόμος, Serway