Η εξίσωση του Ντιράκ

Άρθρο, Μάιος 2002

Ο Feynmann είχε πει για τον Dirac, πως ο Dirac έπαιρνε τις απαντήσεις του... μαντεύοντας μια εξίσωση. Την εξίσωση που φέρει σήμερα το όνομά του, που φαντάζει απλή αλλά όμως κρύβει πολλές εκπλήξεις.

Είναι η εξίσωση που προκύπτει από τις συνδυασμένες απαιτήσεις της Κβαντομηχανικής και της ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας.

Προτάθηκε από τον Ντιράκ, το 1928. για να αντικαταστήσει την εξίσωση του Schrοdinger η οποία ισχύει μόνο για τα σωματίδια που κινούνται με μη σχετικιστικές ταχύτητες.

(1)

όπου είναι η κυματοσυνάρτηση, είναι η μάζα του σωματιδίου, είναι οι πίνακες του Dirac, είναι οι πίνακες του Pauli για το spin, και το

Δύο θεμελιώδεις θεωρητικές επιτυχίες της εξίσωσης Dirac - οι οποίες οδήγησαν στη γρήγορη καθιέρωσή της - είναι η εξήγηση των ιδιοτήτων του σπιν (spin) και η πρόβλεψη της ύπαρξης αντισωματιδίων.

Μέσα στο πλαίσιο της μη Σχετικιστικής Κβαντομηχανικής - όπως αυτή περιγράφεται από την εξίσωση Schrοdinger -το σπιν είναι μια ιδιότητα των σωματιδίων για την οποία δεν υπάρχει θεωρητικός λόγος ύπαρξης.

Η ύπαρξη και οι ιδιότητες του σπιν προκύπτουν πειραματικά και η θεωρία περιορίζεται στο να τις περιγράψει εκ των υστέρων.

Αντίθετα, στο πλαίσιο της εξίσωσης Dirac, η ύπαρξη του σπιν είναι αναγκαστική, ενώ, ταυτόχρονα, προβλέπεται σωστά η περίφημη "μαγνητική ανωμαλία του σπιν", όπως είχε αποκληθεί το ανεξήγητο, μέχρι τότε, γεγονός ότι η μαγνητική ροπή που δημιουργείται από το σπιν του ηλεκτρονίου είναι διπλάσια από εκείνη που οφείλεται στην τροχιακή του κίνηση.

Ενώ, όμως, στην περίπτωση του σπιν το πείραμα είχε προηγηθεί της θεωρίας, στο θέμα των αντισωματιδίων οι ρόλοι αντιστράφηκαν.

Μια θεμελιώδης αδυναμία της εξίσωσης Dirac - η ύπαρξη λύσεων αρνητικής ενέργειας- έδωσε το έναυσμα για μια από τις σημαντικότερες θεωρητικές ανακαλύψεις όλων των εποχών. Δεδομένου ότι η εξίσωση Dirac προκύπτει από την απαίτηση να ικανοποιείται η σχετικιστική σχέση ενέργειας - ορμής

E²=c²p² + m²c⁴

δεν είναι περίεργο ότι διαθέτει λύσεις όχι μόνο με θετική ενέργεια Ε=+ (C²p² + m²c⁴)^1/2 και με αρνητική Ε=- (C²p² + m²c⁴)^1/2, γεγονός που είναι, βεβαίως, απαράδεκτο για ένα ελεύθερο σωμάτιο του οποίου η ενέργεια είναι καθαρά κινητική. Ο Ντιράκ αντιμετώπισε σοβαρά αυτήν την ιδιαίτερα ενοχλητική αρνητική τιμή της ενέργειας και την μετέτρεψε σε θρίαμβο δικό του αλλά και της θεωρητικής φυσικής.

Η θεμελιώδης κατάσταση της θεωρίας Ντιράκ. 'Ολες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι συμπληρωμένες.

Αντί να απορρίψει την εξίσωσή του - όπως θα ήταν λογικό - ο Ντιράκ προτίμησε να δώσει στο πρόβλημα των αρνητικών ενεργειών μια ιδιοφυή - αν και καθαρά υποθετική λύση. Σύμφωνα με τον Ντιράκ, οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας υπάρχουν αλλά είναι μονίμως κατειλημμένες από σωματίδια. Κανένα λοιπόν ηλεκτρόνιο με θετική ενέργεια δεν μπορεί να βρεθεί εκεί, σύμφωνα με την απαγορευτική αρχή του Pauli. (Σχήμα1)

Υπό συνήθεις συνθήκες οι καταστάσεις αυτές δεν γίνονται αντιληπτές από τα "κανονικά" σωματίδια με θετική ενέργεια, διότι είναι πλήρως κατειλημμένες και κανένα άλλο σωματίδιο δεν μπορεί να "φιλοξενηθεί" σ' αυτές.  Είναι η κατάσταση του "κενού του Dirac", όπως λέγεται.

Αυτό όμως που μπορεί να συμβεί είναι η "ανέλκυση» ενός σωματιδίου από το «πηγάδι» των αρνητικών ενεργειών και η τοποθέτησή του σε μια στάθμη θετικής ενέργειας. (βλ. σχήμα 2)

Για το σκοπό αυτό απαιτείται, βεβαίως, προσφορά εξωτερικής ενέργειας τουλάχιστον ίσης με το ενεργειακό χάσμα 2mc² το οποίο χωρίζει την περιοχή των θετικών ενεργειών από την περιοχή των αρνητικών ενεργειών .

Ένα φωτόνιο ακτίνων γ αποτελεί τον κατάλληλο τρόπο να προσφερθεί η ενέργεια αυτή. Το αποτέλεσμα της διαδικασίας αυτής είναι να δημιουργηθεί ένα σύνηθες σωμάτιο θετικής ενέργειας και να μείνει ταυτόχρονα μία κενή θέση, μία οπή, όπως λέγεται - στο χώρο των αρνητικών ενεργειών .

Δεδομένου μάλιστα ότι η οπή αυτή συνιστά ένα έλλειμμα φορτίου και ενέργειας στο χώρο των αρνητικών ενεργειών , δεν είναι παράλογο να ερμηνευθεί ως ένα σωματίδιο θετικής ενέργειας αλλά με αντίθετο φορτίο από το αρχικό.

Συνεπώς το φωτόνιο-γ έχει δημιουργήσει ένα ηλεκτρόνιο θετικής ενέργειας και μία θετική οπή θετικής ενέργειας. Δηλαδή ένα ζεύγος σωματιδίου-αντισωματιδίου. Αυτή η διαδικασία αντιστοιχεί στην αντίστροφη διαδικασία της εξαύλωσης.

Πάντως, αυτή ήταν η ερμηνεία που πρότεινε ο Ντιράκ για να δικαιωθεί λίγα χρόνια αργότερα - το 1932 - με την ανακάλυψη του ποζιτρονίου από τον C. Anderson. Για τη σημερινή Φυσική, η ύπαρξη αντιύλης αποτελεί πλέον ένα κοινό πειραματικό γεγονός.

Για ένα ελεύθερο σωμάτιο στις τρεις διαστάσεις, στην εξίσωση του Ντιράκ, η κυματοσυνάρτηση Ψ (που είναι ίδια με αυτήν του Schrodinger), έχει τέσσερις συνιστώσες.

Από φυσική άποψη η εμφάνιση μιας κυματοσυνάρτησης με τέσσερις συνιστώσες αντανακλά αφενός την ύπαρξη των δύο βαθμών ελευθερίας του σπιν (σπιν «πάνω» και σπιν «κάτω») και αφετέρου το γεγονός ότι η ίδια κυματοσυνάρτηση καλείται να περιγράψει τόσο το σωματίδιο όσο και το αντισωματίδιό του. Ας σημειωθεί, τέλος, ότι η πρόταση του Ντιράκ για το πρόβλημα των αρνητικών ενεργειών, αν και ιδιοφυής από φυσική άποψη, δεν συνιστά, εντούτοις, έναν μαθηματικά συνεπή τρόπο για την επίλυσή του.

Μια συνεπής αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού απαιτεί μια διαδικασία που είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση και η οποία οδηγεί φυσιολογικά τόσο στην ύπαρξη αντισωματιδίων όσο και στην αναγκαιότητα της απαγορευτικής αρχής του Pauli για σωματίδια με σπιν 1/2. 'Ετσι, μέσα στο πλαίσιο του σύγχρονου μαθηματικού φορμαλισμού της, η εξίσωση Dirac εμπεριέχει και την αρχή του Pauli ως αναγκαστική της συνέπεια.

Πράγμα όχι τελείως απροσδόκητο αν σκεφθεί κανείς ότι η λύση του Ντιράκ για το πρόβλημα των αρνητικών ενεργειών έχει ως αναγκαία προϋπόθεσή της τη δυνατότητα εξαντλητικής συμπλήρωσης των καταστάσεων αρνητικής ενέργειας, η οποία προϋποθέτει, με τη σειρά της, ότι τα αντίστοιχα σωμάτια υπακούουν στην αρχή του Pauli.

Η σύνδεση του σπιν με την απαγορευτική αρχή προστίθεται έτσι στα θεμελιώδη θεωρητικά επιτεύγματα της εξίσωσης Dirac, τα οποία αποδεικνύουν ότι η σύνθεση Κβαντομηχανικής και Σχετικότητας είναι όχι μόνο δυνατή αλλά και απόλυτα αναγκαία για μια πλήρη περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας.