Οι μορφές του χώρου
Μέρος 2ο

Πηγή: Scientific American, Απρίλιος 2005

1o, 2ο, 3ο

Αποδεικνύοντας εικασίες

Πέρασε μισός αιώνας αφότου ο Poincaré πρότεινε την εικασία του, μέχρι να γίνει κάποια ουσιαστική πρόοδος για την απόδειξή της. Στη δεκαετία του 1960, οι μαθηματικοί απέδειξαν το ανάλογο της εικασίας για σφαίρες 5 διαστάσεων και άνω. Σε κάθε περίπτωση, η n-σφαίρα είναι η μοναδική πιο απλή πολλαπλότητα στη συγκεκριμένη διάσταση. Παραδόξως, το αποτέλεσμα αυτό ήταν ευκολώτερο να αποδειχθεί στις περισσότερες διαστάσεις παρά στις 4 και στις 3 διαστάσεις. Η απόδειξη για την πιο δύσκολη περίπτωση των 4 διαστάσεων ήρθε μόλις το 1982. Έτσι απέμεινε ανοιχτό μόνο το ζήτημα που συσχετιζόταν με την 3-σφαίρα. 

Ένα σημαντικό βήμα για τη λύση του 3-διάστατου προβλήματος έγινε το 1982, όταν ο Perelman , ένας μαθηματικός στο ινστιτούτο Streklov για τα μαθηματικά, στην Αγία πετρούπολη, έστειλε μια εργασία στον δικτυακό τόπο www.arxiv.org που χρησιμοποιείται από τους φυσικούς και τους μαθηματικούς, ως τόπος ανταλλαγής ιδεών στην καινούργια έρευνα. Η δημοσίευση δεν ανέφερε πουθενά την εικασία του Poincaré, αλλά οι ειδικοί στην τοπολογία αναγνώρισαν αμέσως το συσχετισμό του θέματος με την εικασία του Poincaré. Ο Perelman συνέχισε με μια δεύτερη εργασία τον Μάρτιο του 2003 και μετά επισκέφτηκε τις ΗΠΑ όπυ έδωσε διαλέξεις στο ΜΙΤ και το πανεπιστήμιο του Stony Brook. Την ίδια εποχή, ομάδες μαθηματικών στα μεγαλύτερα ινστιτούτα άρχισαν να μελετούν εξονυχιστικά τις εργασίες του Perelman ψάχνοντας για πιθανά λάθη. Στο Stony Brook ο Perelman έδινε διαλέξεις μιλώντας από 3 έως 6 ώρες κάθε μέρα. Απαντούσε σε κάθε ερώτηση που του έθεταν και ήταν πολύ ξεκάθαρος. Κανείς πια σήμερα δεν έχει σοβαρές αμφιβολίες, λέει ο μαθηματικός Michael Anderson του Stony Brook. Η εικασία του Poincaré συνοδεύεται από βραβείο 1 εκατ. δολαρίων και αποτελεί ένα από τα επτά προβλήματα της χιλιετίας που ξεχώρισε το 2000 το ινστιτούτο μαθηματικών Clay του Cambridge της Mασσαχουσέτης. Η απόδειξη του Perelman πρέπει να δημοσιευτεί και ν' αντέξει στην κριτική για δύο χρόνια πριν πάρει το βραβείο. Αν η απόδειξη του Perelman είναι σωστή όπως όλοι πιστεύουν, τότε συμπληρώνει μια πολύ μεγαλύτερη δουλειά από την εικασία του Poincaré. Η εικασία της γεωμετροποίησης του Thurston, είναι μια δουλειά που ξεκίνησε ο William Thurston - τώρα στο Cornell - και περιλαμβάνει την ταξινόμηση όλων των 3-πολλαπλοτήτων. Η 3-σφαίρα η οποία είναι μοναδική στην απλότητά της αποτελεί το θεμέλιο αυτής της θαυμαστής ταξινόμησης. Αν η εικασία του Poincaré δεν ήταν σωστή, δηλαδή αν υπήρχαν πολλοί χώροι τόσο απλοί όσο η σφαίρα, η ταξινόμηση των  3-πολλαπλοτήτων θα ήταν άπειρα πιο πολύπλοκη από αυτήν που πρότεινε ο Thurston. Με την απόδειξη όμως του Perelman και τα αποτελέσματα του Thurston, έχουμε τώρα ένα πλήρη κατάλογο όλων των δυνατών μορφών που μπορεί να έχει ο 3-διάστατος χώρος. Όλες τις μορφές που τα μαθηματικά επιτρέπουν για το Σύμπαν. Θεωρούμε βέβαια μόνο τον χώρο και όχι τον χρόνο. 

Ελαστικοί λουκουμάδες

Για να καταλάβουμε καλύτερα την εικασία του Poincaré και την απόδειξη του Perelman, χρειάζεται να ξέρουμε κάποια πράγματα γύρω από την τοπολογία. Σ' αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, το ακριβές σχήμα των αντικειμένων δεν έχει μεγάλη σημασία. Φανταζόμαστε τα αντικείμενα σα να αποτελούνται από εύπλαστη ζύμη ή πλαστελίνη, η οποία μπορεί να εκταθεί, να συμπιεστεί και να λυγίσει σε όποιο βαθμό θέλουμε. Γιατί όμως πρέπει να θεωρούμε αντικείμενα ή χώρους φτιαγμένους από φανταστική εύπλαστη ζύμη;  Ο λόγος έχει να κάνει με το γεγονός ότι το ακριβές σχήμα ενός αντικειμένου - η απόσταση μεταξύ δύο σημείων - είναι ένα ουσιαστικό ζήτημα της γεωμετρίας του αντικειμένου. Θεωρώντας αντικείμενα από πλαστελίνη, οι τοπολόγοι ανακαλύπτουν ποιες ιδιότητες του αντικειμένου είναι τόσο θεμελιώδεις ώστε να υπάρχουν ανεξάρτητα της γεωμετρικής δομής του. Μελετώντας τοπολογία είναι σα να ανακαλύπτουμε ποιες ανθρώπινες ιδιότητες είναι τόσο γενικές, με τη χρησιμοποίηση ανθρώπινων μορφών από πλαστελίνη οι οποίες μπορούν να πάρουν τη μορφή κάθε ανθρώπου. Οι τοπολόγοι λένε χαρακτηριστικά ότι γι αυτούς ένας λουκουμάς με σχήμα δαχτυλιδιού και ένα φλιτζάνι δεν ξεχωρίζουν. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μορφοποιήσουμε ένα φλιτζάνι από πλαστελίνη σε σχήμα λουκουμά, πιέζοντας την πλαστελίνη γύρω-γύρω, χωρίς ν' ανοίξουμε τρύπες ή να κολλήσουμε ανεξάρτητες περιοχές του.(Βλέπε παρακάτω σχήμα).

Μια μπάλα από την άλλη μεριά, μπορεί να μετατραπεί σε λουκουμά, μόνο αν ανοίξουμε μια τρύπα στο μέσον της ή αν την τεντώσουμε στο ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου και κολλήσουμε μαζί τα άκρα του αναπτύγματος αυτού.Επειδή όμως χρειάζονται τέτοια κοψίματα και κολλήματα, μια μπάλα δεν είναι ίδια τοπολογικά με ένα λουκουμά. 
Αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο τους τοπολόγους είναι η επιφάνεια της μπάλας και του λουκουμά. Έτσι αντί να φανταζόμαστε ένα στερεό σώμα, θα φανταζόμαστε και στις δύο περιπτώσεις την ελαστική επιφάνεια ενός μπαλονιού στο σχήμα που μας ενδιαφέρει. Οι τοπολογίες εξακολουθούν να διαφέρουν: ένα σφαιρικό μπαλόνι δεν μπορεί να μορφοποιηθεί σε ένα δακτυλιοειδές μπαλόνι, το οποίο λέγεται τόρος. Τοπολογικά, μια σφαίρα και ένας τόρος είναι διαφορετικά πράγματα. Οι πρώτοι τοπολόγοι καταπιάστηκαν με το ζήτημα, πόσα διαφορετικά τοπολογικά αντικείμενα υπάρχουν και πως θα μπορούσαν αυτά να χαρακτηριστούν. Για τα 2-διάστατα αντικείμενα, τα οποία λέγονται επίσης και επιφάνειες, η απάντηση είναι καθαρή: Ο αριθμός τους εξαρτάται από το πόσα "χερούλια" δηλαδή λαβές έχουν.    

Πρώτη σειρά: Στην τοπολογία, το ακριβές σχήμα δηλαδή η γεωμετρία δεν είναι κάτι σημαντικό. Είναι σαν να είναι όλα κατασκευασμένα από πλαστελίνη ή λάστιχο και να μπορούμε να τα διαμορφώνουμε με έκταση, συμπίεση ή συστροφή. Απαγορεύεται ωστόσο να τα κόψουμε ή να τα κολλήσουμε. Έτσι στην τοπολογία, κάθε αντικείμενο με μια μόνο τρύπα, όπως στο φλιτζάνι του καφέ (άνω εικόνα, αριστερά), είναι ισοδύναμο με τον λουκουμά, στα δεξιά. 

Δεύτερη σειρά: Κάθε πιθανή 2-διάστατη πολλαπλότητα, ή επιφάνεια, - αν περιοριστούμε στις συμπαγείς και προσανατολισμένες - μπορεί να κατασκευαστεί αν πάρουμε μια σφαίρα (ένα μπαλόνι), και του προσθέσουμε λαβές. Η πρόσθεση μιας λαβής μας δίνει μια επιφάνεια τύπου-1, δηλαδή ένα τόρο, που είναι η επιφάνεια του λουκουμά (επάνω δεξιά). Προσθέτοντας δύο λαβές παίρνουμε την επιφάνεια τύπου-2 [b] κοκ.
Τρίτη σειρά: Η 2-σφαίρα είναι μοναδική μεταξύ των επιφανειών, κατά το ότι οποιοσδήποτε κλειστός βρόχος, εμφυτευμένος πάνω σε μια 2-σφαίρα μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο [α].Αντίθετα, ένας βρόχος πάνω σε ένα τόρο, μπορεί να παγιδευτεί γύρω από την τρύπα στο μέσον [b]. κάθε επιφάνεια εκτός από την 2-σφαίρα, έχει λαβές πάνω στις οποίες μπορεί να παγιδευτεί ο βρόχος. Η εικασία του Poincaré προτείνει ότι η 3-σφαίρα είναι μοναδική μεταξύ των 3-διάστατων πολλαπλοτήτων. Κάθε βρόχος πάνω σ' αυτήν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο, αλλά ο βρόχος πάνω σε οποιαδήποτε άλλη πολλαπλότητα μπορεί να παγιδευτεί. 

Κατά το τέλος του 19ου αιώνα, οι μαθηματικοί κατάλαβαν πως να ταξινομήσουν τις επιφάνειες. Από όλες τις επιφάνειες, η γνωστή μας σφαίρα είχε μια μοναδική απλότητα. Φυσικά στη συνέχεια στράφηκαν στις 3-διάστατες πολλαπλότητες.Το πρώτο ερώτημα που έθεσαν ήταν αν η 3-σφαίρα ήταν μοναδική σε απλότητα, ανάλογη με την 2-σφαίρα. Η πορεία ενός αιώνα που ακολούθησε, ήταν γεμάτη λανθασμένα βήματα και λανθασμένες αποδείξεις.

Ο Henri  Poincaré αντιμετώπισε άμεσα αυτό το πρόβλημα. Ήταν ένας εκ των δύο επιφανέστερων μαθηματικών στο κατώφλι του 20ου αιώνα. Ο άλλος ήταν ο David Hilbert. Ο Poincaré ήταν ίσως ο τελευταίος "ολιστής" μαθηματικός. Καταπιανόταν με όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Τόσο με τα καθαρά μαθηματικά όσο και με τα εφαρμοσμένα. Είχε συνεισφορά επίσης στις θεωρίες της ουράνιας μηχανικής, στον ηλεκτρομαγνητισμό και στη φιλοσοφία της επιστήμης όπου έγραψε μερικά αρκετά δημοφιλή εκλαϊκευμένα βιβλία. 

Ο Poincaré δημιούργησε τον κλάδο των μαθηματικών που ονομάστηκε αλγεβρική τοπολογία. Γύρω στα 1900, χρησιμοποιώντας τεχνικές από το πεδίο αυτό, δημιούργησε ένα μέτρο της τοπολογίας των αντικειμένων που αποκλήθηκε ομοτοπία. Για να καθορίσουμε την ομοτοπία μιας πολλαπλότητας, ας φανταστούμε ότι εμφυτεύουμε ένα κλειστό βρόχο μέσα στην πολλαπλότητα (βλέπε τελευταία σειρά της επάνω εικόνας). Ο βρόχος μπορεί να τυλιχτεί γύρω από την πολλαπλότητα με κάθε δυνατό τρόπο. Θέτουμε λοιπόν την ερώτηση: μπορεί ο βρόχος να συρρικνωθεί σε ένα σημείο πάντοτε, μετακινώντας τον απλώς πάνω στην πολλαπλότητα, χωρίς να έχουμε το δικαίωμα να σηκώσουμε κάποιο τμήμα του από την πολλαπλότητα; Σε ένα τόρο η απάντηση είναι όχι. Αν ο βρόχος διατρέχει την περιφέρεια του τόρου, δεν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο και παγιδεύεται στον εσωτερικό δακτύλιο του λουκουμά. Η ομοτοπία λοιπόν είναι ένα μέτρο, όλων των διαφορετικών τρόπων που μπορεί να παγιδευτεί ο βρόχος. 
Σε μια n-σφαίρα, αδιάφορο πόσο μπλεγμένος μπορεί να είναι αρχικά ο βρόχος, πάντα μπορεί να ξεμπερδευτεί και να συρρικνωθεί σ' ένα σημείο. Σημειωτέον ότι επιτρέπεται να περάσει ο βρόχος μέσα από τον εαυτό του, κατά τη διάρκεια αυτών των χειρισμών. Ο Poincaré έκανε την εικασία ότι η μόνη 3-πολλαπλότητα επί της οποίας κάθε δυνατός βρόχος μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο, ήταν η 3-σφαίρα, δεν μπόρεσε όμως να το αποδείξει.

Κατά τις δεκαετίες που ακολούθησαν, πολλοί άνθρωποι ανήγγειλαν ότι απέδειξαν την εικασία, αλλά στην πορεία αποδείχτηκε ότι είχαν κάνει λάθη. 

Σε όλο αυτό το άρθρο, αγνοούμε  επιφάνειες μη προσανατολισμένες και επιφάνειες με άκρα. Για παράδειγμα. η ταινία του Möbius, μια ταινία που συστρέφεται και ενώνονται τα άκρα της, δεν είναι προσανατολισμένη. Μια σφαίρα από την οποία έχουμε κόψει και αφαιρέσει ένα δίσκο, έχει άκρα. Η ταινία του Möbius, έχει επίσης άκρα.