Άλυτα μαθηματικά προβλήματα

Άρθρο, Απρίλιος 2007

Τον τελευταίο καιρό είδαμε να λύνονται δύο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα άλυτα για δεκάδες χρόνια. Το ένα είναι η Εικασία του Poincare που θεωρείται πλέον επαληθευμένη από τον Ρώσο Grigori Perelman. Το άλλο είναι η απεικόνιση μιας τεράστιας και πολύπλοκης μαθηματικής δομής, που έχει 248 διαστάσεις και αποκαλείται Ε8, από μια διεθνή ομάδα μαθηματικών. Και τα δύο είχαν μείνει αναπάντητα εδώ και έναν αιώνα περίπου. Η εικασία του Poincare είναι το ένα από τα 7 προβλήματα, την λύση των οποίων θα βραβεύσει το ινστιτούτο Clay με το ποσόν του ενός εκατομμυρίου δολαρίων.

Απομένουν όμως κι άλλα  6 προβλήματα, μερικά από τα οποία είναι άλυτα εδώ και πάνω από 100 χρόνια. Το κοινό τους σημείο δεν είναι μόνο ο μεγάλος βαθμός δυσκολίας, αλλά και το γεγονός ότι η προσπάθεια λύσης τους μας έχει οδηγήσει σε τελείως διαφορετικούς δρόμους από αυτούς που υποψιάστηκαν αρχικά οι μαθηματικοί. Η απόδειξη τους μπορεί με μια πρώτη ματιά να φαίνεται εφικτή, αλλά η πραγματικότητα είναι διαφορετική, ο δρόμος που αρχικά ακολουθήσαμε δεν μας οδήγησε προς τη λύση. Για παράδειγμα η υπόθεση του Riemann, που έχει να κάνει με την κατανομή των πρώτων αριθμών (δηλαδή, αριθμών που διαιρούνται μόνο με το 1 και με τον εαυτό τους, όπως για παράδειγμα το 3, το 5, το 7 κλπ). 

1. Υπόθεση του Riemann: Υπάρχει συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών - παραμένει άλυτη 148 χρόνια 

Η ακολουθία των πρώτων αριθμών αρχίζει με τους 2,3, 5, 7 και 11. Όσο προχωράει κανείς στην ακολουθία, η συχνότητα τους μειώνεται, αλλά η κατανομή τους δεν παύει να παρουσιάζει μια συστηματοποίηση, που είναι γνωστή εδώ και αιώνες. Υπάρχουν, ωστόσο, μικρές παρεκκλίσεις, και το 1859 ο Bemhard Riemann υπέθεσε ότι θα μπορούσε να τις περιγράψει επακριβώς, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη μιας ξεχωριστής ιδιότητας για τις τιμές που μηδενίζουν μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Πιο συγκεκριμένα, μια μιγαδική συνάρτηση που λέγεται ζήτα συνάρτηση του Riemann ζ(s), ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι διάφοροι του 1. Η συνάρτηση αυτή μηδενίζεται για όλους τους άρτιους αρνητικούς αριθμούς. Δηλαδή για s=-2, s=-4, s=-6 κλπ. Οι τιμές αυτές μηδενισμού είναι οι τετριμμένες της λύσεις. H υπόθεση του Riemann αφορά τις μη τετριμμένες λύσεις και ισχυρίζεται ότι το πραγματικό μέρος όλων των μη τετριμμένων λύσεων που μηδενίζουν την ζήτα-συνάρτηση είναι το 1/2.  Η υπόθεση έχει επαληθευτεί για τις πρώτες 1.500.000.001 λύσεις, αλλά εξακολουθεί να λείπει η τελική απόδειξη.

2. Εικασία του Hodge: Μπορούν τα σχήματα να εξηγηθούν γεωμετρικά; - παραμένει άλυτη 70 χρόνια

Στον 20ο αιώνα οι μαθηματικοί ανακάλυψαν κάποιους δυναμικούς τρόπους για να ερευνήσουν τα σχήματα που είχαν κάποια πολύπλοκα αντικείμενα. Στην τεχνολογία π.χ. τρισδιάστατων γραφικών χρησιμοποιούνται απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία (κύκλοι, τρίγωνα και τετράγωνα) για να δημιουργηθούν πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις - όπως, π.χ., η Lara Kraft στο Tomb Raider.
Η βασική ιδέα που είχε τη δεκαετία του 1930 (πολύ πριν εμφανιστούν τα ηλεκτρονικά παιγνίδια), ο Σκωτσέζος μαθηματικός William Hodge είναι ήταν να αναρωτηθεί μέχρι ποιο σημείο μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, συγκολλώντας απλούς γεωμετρικούς δομικά στοιχεία με όλο και μεγαλύτερο μέγεθος. Το ερώτημα μάλιστα αυτό τέθηκε όχι μόνο για τον 3-διάστατο κόσμο αλλά και για περισσότερες διαστάσεις.
Η τεχνική αυτή της συγκόλλησης αποδείχτηκε μεγάλης χρησιμότητας, ώστε να γενικευτεί κατά πολλούς τρόπους και να μας δώσει προοδευτικά ισχυρά εργαλεία με τα οποία οι μαθηματικοί πέτυχαν την ταξινόμηση των διαφόρων σχημάτων που συναντούσαν κατά τις έρευνές τους.
Ατυχώς, οι γεωμετρικές καταβολές αυτής της διαδικασίας έγιναν τελείως δυσδιάκριτες καθώς εξελισσόταν η γενίκευση αυτή. Κατά κάποια έννοια, χρειαζόταν να προσθέσουμε κομμάτια που δεν είχαν καμιά γεωμετρική σημασία.
Η εικασία του Hodge ισχυρίζεται ότι για μερικούς ιδιαίτερης μαθηματικής κομψότητας χώρους, που λέγονται προβολικές αλγεβρικές κλάσεις, τα κομμάτια που χρειάζονται να συγκολληθούν και αποκαλούνται κύκλοι Hodge είναι  ρητοί γραμμικοί συνδυασμοί κομματιών που έχουν γεωμετρική σημασία και λέγονται αλγεβρικοί κύκλοι.  

3. P versus NP: Υπάρχει μια ιδανική διάταξη συνδαιτυμόνων; - παραμένει άλυτη 30 χρόνια

Υποθέστε ότι πρέπει να κάνετε μια λίστα για το πώς θα καθίσουν οι καλεσμένοι σε ένα μεγάλο εορταστικό δείπνο. Έχετε 400 άτομα στον κατάλογο σας, αλλά πρέπει να επιλέξετε μόνο 100 από αυτούς, καθώς δεν υπάρχει χώρος για περισσότερους. Επίσης, έχετε άλλη μια λίστα από ζεύγη αυτών των ανθρώπων, κι έτσι κανένα από αυτά τα ζευγάρια δεν πρέπει να εμφανιστεί στον τελικό κατάλογο των καλεσμένων που θα καθίσουν στο τραπέζι.

Το πρόβλημα αυτό είναι ένα παράδειγμα από αυτά που η πληροφορική αποκαλεί ΝΡ προβλήματα. Είναι εύκολο να ελέγξουμε αν μια συγκεκριμένη λίστα 100 ατόμων από τους 400 ικανοποιεί το κριτήριό μας να μην υπάρχουν ασύμβατα μεταξύ τους ζευγάρια στο τραπέζι. Το να δημιουργήσουμε όμως εμείς μια τέτοια λίστα από τους 400 είναι τόσο δύσκολο που μοιάζει να μην  είναι πρακτικά δυνατόν. Μάλιστα, ο αριθμός των εναλλακτικών τρόπων που μπορούμε να πάρουμε 100 καλεσμένους από τους 400 είναι μεγαλύτερος από το σύνολο των ατόμων που υπάρχουν στο σύμπαν, γι' αυτό και το πρόβλημα δε θα μπορούσε να λυθεί ούτε καν με τη βοήθεια του ισχυρότερου υπερυπολογιστή στον κόσμο.

Μπορεί όμως η δυσκολία αυτή να δείχνει απλά ότι προσεγγίζουμε προγραμματιστικά το πρόβλημα με λάθος μέθοδο. Υπάρχει άραγε ένας έξυπνος τρόπος να λυθεί το πρόβλημα; Το πρόβλημα αυτού του τύπου, «Ρ versus ΝΡ» -όπως λέγεται- εμφανίστηκε τη δεκαετία του 1970.  Οι Stephen Cook και Leonid Levin διατύπωσαν αυτό το πρόβλημα όπου το Ρ σημαίνει εύκολο να βρεθεί λύση και το ΝΡ σημαίνει εύκολο να ελεγχθεί, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο κατά το 1971. Γενικά, έχει να κάνει με το αν όντως υπάρχουν προβλήματα τα οποία είναι εύκολο να ελεγχθούν αλλά πρακτικά αδύνατο να λυθούν με άμεσες αλγοριθμικές διαδικασίες.

Για προβλήματα όπως το παραπάνω, κανείς μέχρι σήμερα δεν έχει καταφέρει να δείξει ότι η λύση τους δεν είναι εφικτή με κατάλληλη προγραμματιστική μέθοδο.
Το πρόβλημα «Ρ versus NP» είναι θεμελιώδες για την ασφάλεια των υπολογιστών. Κι αυτό γιατί, όταν κρυπτογραφούνται ψηφιακά οι χρηματικές συναλλαγές, χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι των οποίων η λύση ελέγχεται εύκολα αλλά δύσκολα βρίσκεται - μεταξύ άλλων, με κλειδιά κρυπτογράφησης που περιέχουν πρώτους αριθμούς. Αν αποδειχθεί ότι ένας ικανός προγραμματιστής μπορεί να βρει ένα σύντομο δρόμο για τη λύση τους, τότε το «σπάσιμο» της κρυπτογράφησης των πληρωμών με πιστωτικές κάρτες ίσως καταστεί εφικτό.

4. Εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer: Πόσες ακέραιες λύσεις έχει π.χ. η εξίσωση ψ²=x²-x+1; Παραμένει άλυτη 40 χρόνια

Οι μαθηματικοί γοητεύονταν πάντα από την εύρεση όλων των λύσεων στο πεδίο των ακεραίων αριθμών, εξισώσεων όπως η παρακάτω  x² + ψ² = z²,    όπου οι x, ψ και z είναι ακέραιοι αριθμοί. Μια λύση είναι η 3² + 4²=5². Εδώ και πάνω από 2.000 χρόνια, ο Ευκλείδης Βρήκε ένα γενικό τύπο που δίνει όλες τις πιθανές λύσεις (είναι άπειρες), αλλά σε πιο περίπλοκες εξισώσεις η εύρεση όλων των λύσεων είναι πράγμα εξαιρετικά δύσκολο. Στα 1970 ο Yu. V. Matiyasevich έδειξε ότι το 10ο πρόβλημα του Hilbert είναι αδύνατο. Δηλαδή έδειξε ότι δεν υπάρχει γενική μέθοδος που να μας δείχνει πότε οι εξισώσεις αυτές έχουν λύση στο πεδίο των ακεραίων αριθμών.

Ωστόσο, είναι σημαντικό να μπορεί κανείς να εκτιμήσει αν υπάρχει ένας πεπερασμένος ή άπειρος αριθμός λύσεων με ακέραιους αριθμούς για μια δεδομένη εξίσωση.
Ας πάρουμε για παράδειγμα τις λεγόμενες ελλειπτικές καμπύλες. Βασικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι πρόκειται για αλγεβρικές εξισώσεις σαν την παρακάτω  y² = x³ + ax + b, που ορίζουν επιφάνειες στο χώρο με μορφή σαμπρέλας.  

Κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι μια αβελιανή ομάδα και τα σημεία πάνω σ' αυτήν με συντεταγμένες ρητούς αριθμούς σχηματίζουν μια υποομάδα. Πότε υπάρχουν άπειρα τέτοια ρητά σημεία; Στα 1965 οι Birch και Swinnerton-Dyer ισχυρίστηκαν ότι υπάρχει ένα κριτήριο που περιλαμβάνει ένα μαθηματικό αντικείμενο που λέγεται L-συνάρτηση της ελλειπτικής καμπύλης.  Η εικασία των  Birch-Swinnerton-Dyer λέει ότι L(1) = 0 αν και μόνο αν η ελλειπτική καμπύλη έχει άπειρα ρητά σημεία. Αν δηλαδή L(1) = 0 τότε υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία επί της καμπύλης ή με άλλα λόγια άπειρες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Ενώ αντίστροφα αν L(1) δεν ισούται με μηδέν τότε υπάρχει μόνο πεπερασμένος αριθμός ρητών λύσεων της εξίσωσης.

Αν μπορούσε να αποδειχτεί αυτή η εικασία θα έριχνε πολύ φως και στη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων, μια από τις οποίες ανάγεται στον 10ο αιώνα μ.Χ. και στην οποία ζητείται να βρεθούν ποιοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να εμφανιστούν ως εμβαδά ορθογωνίων τριγώνων, των οποίων οι πλευρές έχουν ως μήκη ρητούς αριθμούς.

5. Το χάσμα μάζας στη θεωρία Yang-Mills: Παραμένει μαθηματικά αναπόδεικτο εδώ και 43 χρόνια

Οι νόμοι της κβαντικής φυσικής αποτελούν για τον κόσμο των στοιχειωδών σωματίων ότι οι νόμοι του Νεύτωνα για την κλασσική μηχανική του μακροσκοπικού κόσμου.Περίπου μισό αιώνα πριν, οι φυσικοί Chen Ning Yang και Robert Mills παρουσίασαν ένα νέο πλαίσιο για τη περιγραφή των στοιχειωδών σωματιδίων. Σ' αυτό χρησιμοποίησαν δομές που συναντάμε επίσης και στην γεωμετρία.

Η θεωρία Yang-Mills, όπως είναι γνωστή, αποτελεί πλέον τη βάση σχεδόν όλου του οικοδομήματος της σύγχρονης φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων, σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο. Το Καθιερωμένο Πρότυπο περιγράφει τις τρεις από τις τέσσερις αλληλεπιδράσεις που υπάρχουν στη φύση, δηλαδή τις ηλεκτρομαγνητικές, τις ασθενείς (αυτοί οι δύο τύποι αλληλεπιδράσεων έχουν ενοποιηθεί ως ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις) και τις ισχυρές, που περιγράφονται από την κβαντική χρωμοδυναμική. Οι προβλέψεις της έχουν ελεγχθεί σε πολλά εργαστήρια αλλά παρόλα αυτά το μαθηματικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο βασίζεται η θεωρία Yang-Mills παραμένει ασαφές.

Πιο συγκεκριμένα, η επιτυχής χρήση της θεωρίας Yang-Mills για την περιγραφή των ισχυρών αλληλεπιδράσεων εξαρτάται από μια λεπτή κβαντομηχανική ιδιότητα που είναι γνωστό τεχνικά ως χάσμα μάζας. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει η πιο ελαφριά κατάσταση του ενός σωματιδίου ενός κβαντικού πεδίου στις 4 διαστάσεις, να έχει αυστηρά θετική μάζα.   Η ιδιότητα αυτή δεν έχει αποδειχτεί ακόμα μέσα στα πλαίσια της αυστηρής μαθηματικής θεμελίωσης της θεωρίας.

6. Εξισώσεις Navier-Stokes: Μπορούν να περιγραφούν τα κύματα; παραμένει άλυτη εδώ και 150 χρόνια

Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι ένα σύνολο εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την κίνηση των ρευστών όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Οι εξισώσεις αυτές μας λένε πως οι μεταβολές στην ορμή ενός απειροστού όγκου του ρευστού είναι απλά το αθροιστικό αποτέλεσμα των δυνάμεων ιξώδους του ρευστού, των μεταβολών της πίεσης, της βαρύτητας και των άλλων δυνάμεων που δρουν εντός του ρευστού. Πρόκειται στην ουσία για εφαρμογή του 2ου νόμου του Νewton στα ρευστά. Αφορούν δηλαδή τη δυναμική της αλληλεπίδρασης της αδράνειας του ρευστού με τις διάφορες δυνάμεις που δρουν σε μια περιοχή του ρευστού.
Είναι από τα πιο χρήσιμα σύνολα εξισώσεων γιατί εφαρμόζονται σε μοντέλα καιρού, μοντέλα ωκεάνιων ρευμάτων, ροή ρευστών σε σωλήνες, ροή αέρα γύρω από πτέρυγες αεροπλάνων και ανεμογενητριών, κίνηση άστρων μέσα στο γαλαξία κ.ο.κ.  Σε συνδυασμό εξάλλου με τις εξισώσεις Maxwell μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κάνουμε εξομοιώσεις και μα μελετήσουμε μοντέλα μαγνητοϋδροδυναμικής.

Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση δηλαδή με τις αλγεβρικές εξισώσεις δεν μας δείχνουν εκπεφρασμένα μια σχέση μεταξύ των μεγεθών που μας ενδιαφέρουν (π.χ. μεταξύ ταχύτητας και πίεσης) αλλά περιγράφουν σχέσεις μεταξύ των ρυθμών μεταβολής ή μεταξύ των ροών των διαφόρων μεγεθών. Με όρους μαθηματικούς λέμε ότι οι εξισώσεις αυτές περιέχουν σχέσεις μεταξύ των παραγώγων των διαφόρων μεγεθών. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις Navier-Stokes για την πιο απλή περίπτωση ενός ιδανικού ρευστού (χωρίς ιξώδες) μας λέει ότι η επιτάχυνση δηλ. η παράγωγος της ταχύτητας είναι ανάλογη με τη βαθμίδα (δηλ. την παράγωγο ως προς τις 3 χωρικές συντεταγμένες) της εσωτερικής πίεσης του ρευστού.

Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μόνο οι πιο απλές περιπτώσεις αυτών των εξισώσεων μπορούν να λυθούν μέσα στα πλαίσια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού και να μας οδηγήσουν σε ακριβείς λύσεις. Οι περιπτώσεις αυτές γενικά περιλαμβάνουν μόνο ροή χωρίς στροβίλους σε μόνιμες καταστάσεις. Δηλαδή καταστάσεις που δεν αλλάζουν με τον χρόνο. Στις καταστάσεις αυτές είτε το ιξώδες του ρευστού είναι πολύ μεγάλο, είτε η ταχύτητα ροής πολύ μικρή.

Για πιο περίπλοκες καταστάσεις, όπως είναι τα παγκόσμια συστήματα καιρού σαν το φαινόμενο El Nino, οι λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes πρέπει να βρεθούν με τη βοήθεια υπολογιστών. Πράγματι, έχει αναπτυχθεί μια ποικιλία υπολογιστικών προγραμμάτων που χρησιμοποιούν αριθμητικές μεθόδους για τη λύση των εξισώσεων Navier-Stokes.  Η προσέγγιση αυτή της αντιμετώπισης του ζητήματος είναι γνωστή ως Υπολογιστική Δυναμική των Ρευστών (CFD). Αν και θεωρητικά η CFD δουλεύει σε κάθε περίπτωση ροής, πολλές συνηθισμένες περιπτώσεις ροής όπως είναι η ροή γύρω από μια πτέρυγα αεροπλάνου, περιέχει τόσο πολλές λεπτομέρειες που κανένα πρόγραμμα υπολογιστή δεν μπορεί να λύσει το πρόβλημα σε λογικό χρονικό διάστημα.

Το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων του ινστιτούτου Clay, θα δοθεί σε όποιον κάνει μια σοβαρή πρόοδο προς μια μαθηματική θεωρία που θα βοηθήσει στην κατανόηση και το ξεπέρασμα των δυσκολιών που κρύβουν αυτές οι μαθηματικές εξισώσεις.

Πηγές: Δίκτυο, Science Illustrated