Εισαγωγή στην κβαντομηχανική

Άρθρο Ιανουάριος 2002

Οι περισσότεροι άνθρωποι θεωρούν ότι χρειάζονται το μυαλό του Einstein προκειμένου να γίνει κατανοητή σε αυτούς η κβαντομηχανική κι έτσι σταματούν να ασχολούνται μαζί της. Είναι όμως ενδιαφέρον να σημειώσουμε πως και ο ίδιος ο Einstein δεν εθεώρησε ότι η κβαντομηχανική ήταν μια σωστή θεωρία!

Αυτό λοιπον το άρθρο προορίζεται να δώσει σε ένα συνηθισμένο πρόσωπο μια συνοπτική επισκόπηση της σπουδαιότητας και της εκπληκτικής ανάπτυξης της κβαντικής μηχανικής.

Οι φυσικοί οι οποίοι ασχολήθηκαν με την κβαντομηχανικοί είναι πολλοί. Εμείς όμως θα ασχοληθούμε με τρείς. Τον Erwin Scrodinger, τον Werner Heisenberg και τον Paul Adrien Maurice Dirac.

 

Τι είναι όμως η κβαντομηχανική;

Ο πιό απλός ορισμός, είναι η μελέτη της ύλης και της ακτινοβολίας σε ένα ατομικό επίπεδο.

Γιατί αναπτύχθηκε;

Στις αρχές του 20ού αιώνα μερικά πειράματα παρήγαγαν αποτελέσματα που δεν θα μπορούσαν να εξηγηθούν από την κλασσική φυσική (η επιστήμη που αναπτύσσεται από τους Γαλιλαίο, τον Ισαάκ Νεύτωνα, κ.λπ.).

Παραδείγματος χάριν, ήταν αρκετά γνωστό ότι τα ηλεκτρόνια ήταν σε τροχιά γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου. Εντούτοις, εάν γινόταν έτσι, με έναν τρόπο που να έμοιζε με τους πλανήτες που στρέφονται γύρω από τον ήλιο, η κλασσική φυσική πρόβλεπε ότι τα ηλεκτρόνια θα κινούνταν σπειροειδώς συνεχώς προς τα μέσα και θα συντρίβονταν στον πυρήνα εντός ενός κλάσματος του δευτερολέπτου. Ευτυχώς αυτό δεν συμβαίνει, γιατί ή ζωή όπως την ξέρουμε δεν θα υπήρχε. (Η χημεία εξαρτάται από την αλληλεπίδραση των ηλεκτρονίων με τα άτομα, και η ζωή εξαρτάται από τη χημεία).

Εκείνη η ανακριβής πρόβλεψη, μαζί με μερικά άλλα πειράματα που η κλασσική φυσική δεν μπορούσε να εξηγήσει, έδειξε στους επιστήμονες ότι κάτι νέο απαιτείται για να εξηγήσει η επιστήμη, τι συμβαίνει στο ατομικό επίπεδο.

 

Εάν η διπλανή εικόνα είναι η ιδέα που έχετε για το άτομο, με τα ηλεκτρόνια που περιστρέφονται γύρω από τον πυρήνα, έχετε χάσει το τραίνο του εκσυχρονισμού περίπου 75 έτη. Είναι λοιπόν καιρός να ανοίξετε τα μάτια σας στον σύγχρονο κόσμο της κβαντομηχανικής!

 

Η νέα αντίληψη που έφερε η κβαντομηχανική για τη μορφή του ατόμου απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα. Η ανωτέρω εικόνα εμφανίζει μερικά σχήματα στο χώρο, στις περιοχές των οποίων υπάρχει πιθανότατα να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο σε ένα άτομο υδρογόνου (ο πυρήνας είναι στο κέντρο κάθε σχήματος). Τα σχήματα αυτά ονομάζονται τροχιακά.

Αντί λοιπόν να έχουμε τροχιές έχουμε τροχιακά. Αντί να ξέρουμε με ακρίβεια την ακτίνα των τροχιών, γνωρίζουμε την πιθανότητα να βρούμε ένα ηλεκτρόνιο σε μια δεδομένη θέση και με δεδομένη ενέργεια.

Εάν όμως η κλασσική φυσική κάνει λάθος, γιατί την χρησιμοποιούμε ακόμα;

Η κλασσική φυσική είναι μια θεωρία που έχει ραγίσει, αλλά αυτή είναι μόνο εντυπωσιακά ραγισμένη, κατά την εξέταση πολύ μικρών μεγεθών (ατομικού μεγέθους, όπου η κβαντομηχανική χρησιμοποιείται) ή πολύ γρήγορων γεγονότων (κοντά στην ταχύτητα του φωτός, όπου αναλαμβάνει η σχετικότητα).

Για τα καθημερινά πράγματα, που είναι πολύ μεγαλύτερα από τα άτομα και πολύ πιό αργά από την ταχύτητα του φωτός, η κλασσική φυσική κάνει άριστα την δουλειά της. Στα συν της βέβαια, ότι είναι πολύ ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε την κλασσική φυσική παρά  την κβαντομηχανική και τη σχετικότητα (κάθε μια από την οποία απαιτεί ένα εκτενές ποσό μαθηματικών).

Ποια είναι η σημασία των κβαντομηχανικής;

Τα παρακάτω είναι μεταξύ των σημαντικοτέρων πραγμάτων που η κβαντομηχανική μπορεί να περιγράψει ενώ η κλασσική φυσική δεν μπορεί:

• Διακριτότητα της ενέργειας
• Η δυαδικότητα του φωτός και της ύλης
• Κβαντική σήραγγα

Διακριτότητα της ενέργειας

Εάν εξετάσετε το φάσμα του φωτός που εκπέμπεται από ενεργητικά άτομα (όπως το πορτοκαλο-κίτρινο φως από τους φωτεινούς σηματοδότες που περιέχουν ατμούς νατρίου, ή το λευκο-γάλαζο φως από τους λαμπτήρες ατμού υδραργύρου) θα παρατηρήσετε ότι αποτελείται από μεμονωμένες γραμμές διαφορετικών χρωμάτων. Αυτές οι γραμμές αντιπροσωπεύουν τα ιδιαίτερα ενεργειακά επίπεδα των ηλεκτρονίων σε εκείνα τα διεγερμένα άτομα.

Όταν δηλαδή ένα ηλεκτρόνιο σε μια υψηλή ενεργειακή κατάσταση μεταπηδά σε μια χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση, το άτομο εκπέμπει τότε ένα φωτόνιο του φωτός που αντιστοιχεί στη ακριβή ενεργειακή διαφορά εκείνων των δύο επιπέδων (διατήρηση της ενέργειας). Όσο μεγαλύτερη είναι η ενεργειακή διαφορά, τόσο πιο ενεργητικό θα είναι το φωτόνιο, και εάν βρίσκεται στην περιοχή του ορατού φωτός, τόσο πιο κοντά θα είναι το χρώμα του στο ιώδες, στο τέλος του φάσματος.

Εάν τα ηλεκτρόνια δεν ήσαν περιορισμένα σε διακριτές ενεργειακές στάθμες, το φάσμα από ένα διεγερμένο άτομο θα είχε τη μορφή μιας συνεχούς διαδοχής χρωμάτων από το κόκκινο ως το ιώδες χωρίς μεμονωμένες-διακριτές γραμμές.

Είναι γεγονός ότι τα ηλεκτρόνια μπορούν να υπάρξουν μόνο σε ιδιαίτερα ενεργειακά επίπεδα, που τα αποτρέπει από το να κινηθούν σπειροειδώς προς τον πυρήνα, όπως προβλέπει η κλασσική φυσική. Και αυτή είναι η κβάντωση της ενέργειας (παίρνει δηλαδή ορισμένες τιμές), μαζί με μερικές άλλες ατομικές ιδιότητες που είναι κβαντισμένες, η οποία δίνει στην κβαντομηχανική το όνομά της.

Η δυαδικότητα κύματος-σωματιδίου του φωτός και της ύλης

Το 1690 o Christiaan Huygens πρότεινε τη θεωρία ότι το φως αποτελούνταν από κύματα (κυματική φύση του φωτός), ενώ το 1704 ο Isaac Newton πρότεινε ότι το φως αποτελούνταν από μικροσκοπικά σωματίδια. Εξάλλου διαφορετικά πειράματα, υποστήριζαν την κάθε μια από τις θεωρίες αυτές.

Εντούτοις, ούτε μια τέλεια θεωρία σωματιδίων, ούτε μια τέλεια κυματική θεωρία δεν θα μπορούσε να εξηγήσει όλα τα φαινόμενα που συνδέονται με το φως! Έτσι οι επιστήμονες άρχισαν να σκέφτονται το φως και ως σωματίδιο και ως κύμα. Το 1923 ο Louis δε Broglie υπέθεσε ότι ένα υλικό σωματίδιο θα μπορούσε επίσης να έχει κυματοειδείς ιδιότητες, και το 1927 αποδείχτηκε πειραματικά από τους Davisson και Germer ότι τα ηλεκτρόνια μπορούν πράγματι να συμπεριφερθούν όπως τα κύματα.

Πώς μπορεί κάτι να είναι και ένα σωματίδιο και ένα κύμα συγχρόνως; Δεν εννοούμε βέβαια να σκεφτεί κάποιος το φως ως ένα ρεύμα σωματιδίων που κινούνται πάνω-κάτω κατά τρόπο κυματοειδή. Πραγματικά, το φως και η ύλη υπάρχουν ως σωματίδια. Αυτό που συμπεριφέρεται σαν ένα κύμα, είναι η πιθανότητα να βρεθεί αυτό το σωματίδιο σε διάφορες θέσεις.

Το φως που εμφανίζεται μερικές φορές να ενεργεί όπως ένα κύμα, είναι επειδή παρατηρούμε την συσσώρευση πολλών από τα σωματίδια του φωτός (κβάντα), κι έτσι διαμοιράζονται πάρα πολύ οι πιθανότητες για διαφορετικές θέσεις στις οποίες κάθε σωματίδιο θα μπορούσε να είναι.

Κβαντική σήραγγα

Αυτό είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα φαινόμενα που προκύπτει από την κβαντομηχανική. Χωρίς αυτή το chip του υπολογιστή δεν θα υπήρχε, και έτσι ένας "προσωπικός" υπολογιστής θα καταλάμβανε πιθανόν ένα ολόκληρο δωμάτιο.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ένα κύμα είναι αυτό το οποίο καθορίζει την πιθανότητα για το που θα βρίσκεται ένα σωματίδιο. Όταν εκείνο το κύμα πιθανότητας του σωματιδίου αντιμετωπίσει ένα ενεργειακό φράγμα, το μεγαλύτερο μέρος του κύματος θα ανακλαστεί προς τα πίσω, αλλά ένα μικρό μέρος από αυτό το κύμα "θα διαρρεύσει" μέσα στο φράγμα. Εάν το φράγμα είναι αρκετά μικρού πάχους, το κύμα που διέρρευσε μέσα από αυτό, θα συνεχίσει την διάδοση του στη άλλη πλευρά του φράγματος. Ακόμα κι αν το σωματίδιο δεν έχει αρκετή ενέργεια να ξεπεράσει το φράγμα, υπάρχει ακόμα μια μικρή πιθανότητα, να μπορεί αυτό "να ανοίξει" μέσα στο φράγμα μια σήραγγα.

Για παράδειγμα, υποθέστε ότι ρίχνετε μια λαστιχένια σφαίρα πάνω σε έναν τοίχο. Ξέρετε ότι δεν έχετε αρκετή ενέργεια για να την ρίξετε μέσω του τοίχου, έτσι αναμένετε την σφαίρα να αναπηδά πάντα πίσω. Η κβαντομηχανική, εντούτοις, λέει ότι υπάρχει μια μικρή πιθανότητα ώστε η σφαίρα να περάσει διαμέσου του τοίχου (χωρίς την καταστροφή του τοίχου) και να συνεχίσει την πτήση της από την άλλη πλευρά!

Με ένα τόσο μεγάλο σώμα όσο μια λαστιχένια σφαίρα, εν τούτοις, η πιθανότητα αυτή είναι τόσο μικρή ώστε και αν ακόμα ρίχνατε τη σφαίρα για δισεκατομμύρια έτη δεν θα την βλέπατε ποτέ να περνάει μέσα από τον τοίχο. Αλλά με ένα τόσο μικροσκοπικό σώμα όπως ένα ηλεκτρόνιο, το να ανοίξει μια "σήραγγα" είναι ένα καθημερινό περιστατικό.

Η θεμελίωση της κβαντομηχανικής

Στην καρδιά της κβαντομηχανικής βρίσκεται η αρχή της απροσδιοριστίας η οποία καθιστά απαγορευτική την ταυτόχρονη μέτρηση με απεριόριστη ακρίβεια δύο συζευγμένων μεταβλητών όπως πχ είναι η θέση και η ορμή ενός σωματιδίου.

Το 1925, ο Werner Heisenberg εργαζόταν πάνω σε μια νέα μαθηματική περιγραφή τής ύλης. Οι συλλογισμοί του τον οδήγησαν στην επιβεβαίωση μιας νέας αρχής που έχει γίνει το σήμα κατατεθέν της κβαντικής θεωρίας. Αυτή είναι η γνωστή αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.

Η εργασία του στηρίχτηκε στην περιγραφή της μηχανικής σύμφωνα με την θεμελίωση του Poisson, παρά σ' εκείνη του Χάμιλτον. Καθώς αποδεικνύεται, μια κεντρική έννοια που εμπλέκεται, είναι μια ποσότητα γνωστή ως αγκύλη Poisson, η οποία έχει έναν απλό ορισμό και είναι αρκετά ενδιαφέρουσα όταν μελετούνται τελεστές.

Δύο χρήσιμα μεγέθη για να μελετηθεί οποιοδήποτε αντικείμενο, θα μπορούσαν να είναι η θέση του αντικειμένου και η ορμή του. Ας περιοριστούμε λοιπόν για το πρόβλημά μας, στην μελέτη της κίνησης ενός σωματίου μάζας m που κινείται προς μια κατεύθυνση, για παράδειγμα την κατεύθυνση Χ. Η τιμή για τη θέση του είναι το Χ(t), και η τιμή για την ορμή του είναι το pΧ (t), και τα δύο εκφρασμένα σε συνάρτηση με το χρόνο t.

Ας υποθέσουμε ότι το σωμάτιο που μελετάμε εκτελεί αρμονική ταλάντωση.

Η βασική εξίσωση της κλασσικής φυσικής είναι ο δεύτερος νόμος του Newton:
Για την απλή αρμονική κίνηση, ισχύει επιπλέον ότι η δύναμη F είναι ανάλογη προς την μετατόπιση, ή αλλιώς F = - ΚΧ(t),
όπου Κ είναι ένας συντελεστής ή η σταθερά της δύναμης. Με αυτόν τον ορισμό για την δύναμη F, ο διαφορική εξίσωση του δεύτερου νόμου του Newton μπορεί να λυθεί ως προς το Χ(t).

Λύση για μια απλή αρμονική κίνηση:

Η ανωτέρω σχέση εκφράζει την μετατόπιση ως συνάρτηση του χρόνου.

Από τον ορισμό της ορμής βρίσκουμε πως για το σωμάτιο αυτό:

Με αυτές τις δύο εξισώσεις για την θέση και την ορμή αυτού του αρμονικά ταλαντευόμενου σωματίου, μπορούμε να ερευνήσουμε μερικές ιδιότητες του συστήματος. Στην μηχανική του Poisson μια σημαντική σχέση μεταξύ των δύο μεγεθών της θέσης και της ορμής, είναι αυτή που καθορίζεται από την αγκύλη του Poisson:

Με τις εκφράσεις των δύο μεγεθών όπως δίνονται παραπάνω, μπορούμε να βρούμε ένα αποτέλεσμα για αυτήν την αγκύλη. Προφανώς απλώς πήραμε το γινόμενο xp και μετά το γινόμενο px και τα αφαιρέσαμε.

Φαίνεται αμέσως πως η διαφορά αυτών των δύο εκφράσεων, px-xp πρέπει να είναι 0.

Μπορεί ένα τέτοιο συμπέρασμα να φαίνεται προφανές, αλλά δεν είναι αληθινό. Αυτή είναι η αξιοπρόσεκτη συμβολή από τον Heisenberg. Αυτός υπέθεσε ότι μπορεί να μην είναι ίση με μηδέν μια τέτοια ποσότητα, πρέπει όμως να είναι εξαιρετικά μικρή, αλλά σίγουρα διαφορετική από το μηδέν. Αυτή είναι η πρώτη φορά που εισάγεται η σταθερά Planck στην εργασία του. Η Αρχή Αβεβαιότητας απαιτεί ότι το x και το px ,πρέπει να ικανοποιούν την ακόλουθη σχέση.

Αυτή είναι η πιo θεμελιώδης εξίσωση της κβαντικής μηχανικής. Ολόκληρη η κβαντική θεωρία ξεκινάει από εδώ.

Οι ιδιότητες των πινάκων είναι το κλειδί για την αρχή της απροσδιοριστίας

Είναι προφανές ότι οι ιδιότητες των σωματίων όπως η θέση και η ορμή δεν μπορούν πλέον να αντιπροσωπευθούν από συναρτήσεις του χρόνου όπως στην κλασσική μηχανική για τις οποίες ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα (όπως στη περίπτωση που παρουσιάζεται στη προηγούμενη παράγραφο.)

Μάλλον πρέπει να αντιπροσωπευθούν από μαθηματικά αντικείμενα στα οποία η σειρά εφαρμογής τους ΕΝΑΙ σημαντική. Οι Πίνακες και οι Τελεστές είναι δύο μαθηματικές οντότητες που έχουν αυτήν την ιδιότητα.

Ο Heisenberg επέλεξε να ακολουθήσει το μονοπάτι των Πινάκων και άρχισε να συνδέει τους πίνακες με τις ιδιότητες της ύλης. Όταν δύο πίνακες, Α και β, πολλαπλασιάζονται μαζί, το προϊόν ΑΒ δεν είναι γενικά το ίδιο με το BA (αν και αυτό μπορεί να συμβεί όταν είναι οι ίδιοι πίνακες). Λέμε ότι αυτοί δεν αντιμετατίθενταιι, ή ότι ο μεταθέτης τους (όπως δίνεται πιό πάνω με την έκφραση της αγκύλης Poisson) είναι διαφορετικός από το μηδέν. Ο Heisenberg κατασκεύασε τους πίνακες έτσι ώστε αυτοί να υπακούουν στον ανωτέρω κανόνα. Αυτή είναι η μηχανική των Πινάκων ή Μητρών.

Η άλλη επιλογή που έχει αναπτυχθεί επίσης - είναι αυτή που χρησιμοποιεί την Άλγεβρα των Τελεστών. Πράγματι, η εξίσωση του Schrodinger εμφανίζεται ως μια εξίσωση τελεστών. Στην περιγραφή της φύσης με την μέθοδο του Schrodinger ο τρόπος επιλογής των τελεστών είναι ο παρακάτω.

Έστω ο τελεστής για τη θέση ότι είναι Χ. Η δράση του τελεστή Χ σε μια συνάρτηση ορίζεται ως ο πολλαπλασιασμός του Χ επί την συνάρτηση.(αυτό δεν φέρνει καμία πραγματική αλλαγή σε σχέση με τον καθορισμό του Χ σαν συνάρτηση.)

Η γραμμική ορμή, αφ' ετέρου, πρόκειται να ερμηνευθεί ως τελεστής που εκφράζει την παραγώγιση ως προς Χ και τον πολλαπλασιασμό με μια σταθερά, συγκεκριμένα:

Μπορούμε τότε ν' αποδείξουμε ότι αυτή η επιλογή των τελεστών ικανοποιεί την Αρχή της Αβεβαιότητας:

Η μέθοδος αυτή των πινάκων ήταν η κατεύθυνση που πήρε ο Heisenberg, με την βοήθεια του Max Born και του Pascual Jordan για τη θεμελίωση της κβαντομηχανικής. Αν εξετασθεί επιφανειακά, αυτή η μέθοδος, έναντι αυτής του Schrodinger, εμφανίζεται να είναι απολύτως διαφορετική. Όταν αυτές οι δύο προσεγγίσεις παρουσιάστηκαν σχεδόν ταυτόχρονα, προέκυψε λοιπόν το ερώτημα, ποια ήταν σωστή. Πολύ γρήγορα αποδείχτηκε ότι ήταν απολύτως ισοδύναμες. Μάλιστα είναι ενδιαφέρον ότι ο ίδιος ο Schrodinger έδειξε πρώτος την ισοδυναμία των δύο μεθόδων.

Αναφορές

1. Κβαντομηχανική Τροχανά

2. Το Κβαντικό Σύμπαν, Tony Hey & Patric Walters Εκδ. Κάτοπτρο

3. Κβαντική Φυσική, Berkley, ΕΜΠ

4. Κλασσική και σύγχρονη Φυσική, Kenneth Ford, Εκδ. Πνευματικός

5. Κβαντική θεωρία, The Open University