Πως εξηγείται η υπερρευστότητα του υγρού He II;

Συχνές ερωτήσεις, Οκτώβριος 2003

Σε μια ομάδα μποζονίων, όπως άλλωστε και σε μια συλλογή φερμιονίων, υπάρχει μια κρίσιμη θερμοκρασία Τ₀, κάτω από την οποία εκδηλώνεται η κβαντική συμπεριφορά των σωματιδίων. Η θερμοκρασία αυτή μπορεί να εκτιμηθεί προσεγγιστικά με τον εξής συλλογισμό:

Η μέση ορμή των σωματιδίων σε θερμοκρασία Τ δίνεται από τη σχέση

Εξάλλου το μήκος κύματος De Broglie που αντιστοιχεί σε σωμάτιο ορμής p δίνεται από τη σχέση

Στη θερμοκρασία Τ₀ όπου γίνεται εμφανής η κβαντική συμπεριφορά, το μήκος κύματος De Broglie των σωματιδίων, έχει την ίδια τάξη μεγέθους με την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων, η οποία είναι ανάλογη του n^-1/3 (όπου n είναι ο αριθμός των σωματιδίων ανά μονάδα όγκου.)

Δηλαδή ισχύει:

Και τελικά 

Κάτω από τη θερμοκρασία αυτή υπάρχει ισχυρός συσχετισμός μεταξύ των σωματιδίων, και δεν μπορούμε να τα θεωρήσουμε ότι κινούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

Αν και δεν υπάρχει καμιά δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ τους, οι κινήσεις τους είναι συσχετισμένες και δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε γι αυτά τις ιδέες των κλασσικών αερίων. 

Αντίθετα σε θερμοκρασίες Τ>>Τ₀ ο κβαντικός συσχετισμός γίνεται αμελητέος και τα αέρια των μποζονίων συμπεριφέρονται ως κλασσικά αέρια, καθώς το κάθε σωματίδιο κινείται ανεξάρτητα από τα άλλα, και ισχύει το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας.

Σε θερμοκρασίες Τ>>Τ₀ τα αέρια των φερμιονίων έχουν όμοια συμπεριφορά με τα αέρια των μποζονίων αφού και τα δύο συμπεριφέρονται ως κλασσικά αέρια. 

Τα κβάντα των κυμάτων που διαδίδονται στα στερεά αλλά και στα υγρά ονομάζονται φωνόνια και έχουν κβαντική συμπεριφορά μποζονίων. Η ενέργεια ενός φωνονίου εξαρτάται από την συχνότητά του σύμφωνα με τη σχέση ε = h.f και η ορμή του συνδέεται με το κυματάνυσμα k σύμφωνα με τη σχέση:

Εξήγηση της υπερρευστότητας στο  He II

Η εξήγηση του φαινομένου έχει να κάνει με τα μποζόνια και την κβαντική τους συμπεριφορά που εκδηλώνεται συλλογικά και σε μακροσκοπική κλίμακα.

Πρέπει να τονιστεί εδώ ότι τα μποζόνια στα οποία αναφερόμαστε εδώ δεν είναι τα άτομα του ηλίου, αλλά τα φωνόνια τα οποία διατρέχουν την μάζα του υγρού ηλίου. 

Όσο το μήκος κύματος παραμένει αρκετά μεγαλύτερο από τις αποστάσεις των ατόμων, η συχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το μήκος κύματος, δηλαδή ανάλογη προς το κυματάνυσμα k. 

Όταν όμως το μήκος κύματος είναι κοντά στη μέση ενδοατομική απόσταση, η σχέση της ενέργειας με το κυματάνυσμα είναι πιο περίπλοκη, (εικόνα 1) και παρουσιάζει ένα ελάχιστο για την τιμή k = k₀ = 1,9.10⁸cm^-1. 

Εικόνα 1.

Τα φωνόνια που έχουν ορμή κοντά στην τιμή p₀ = (h/2π).k₀ =1,9.!0⁸ (h/2π) οι φυσικοί τα αποκαλούν ροτόνια.
Για να αποδείξουμε ότι ένα ενεργειακό φάσμα ενός υγρού, με μορφή όπως αυτή της εικόνας 1, οδηγεί στην ύπαρξη υπερρευστής κατάστασης, εργαζόμαστε ως εξής.

Θεωρούμε για απλούστευση ότι βρισκόμαστε σε θερμοκρασία Τ = 0^οΚ, ώστε το υγρό να βρίσκεται στη θεμελιώδη κβαντική του κατάσταση. 

Έστω λοιπόν ότι ένα τέτοιο υγρό ρέει μέσα σ' ένα σωληνίσκο με σταθερή ταχύτητα v. 
Η ενέργεια του υγρού στο σύστημα αναφοράς του σωληνίσκου είναι Ε₀ = (Μ v²) /2, όπου Μ είναι η μάζα όλου του υγρού. 

Αν στο υγρό αυτό διεγερθεί μια στοιχειώδης διέγερση (ένα φωνόνιο) ορμής p και ενέργειας ε(p) ως προς το σύστημα αναφοράς του υγρού, λόγω του ιξώδους του υγρού, τότε η ενέργεια του υγρού στο σύστημα αναφοράς του σωληνίσκου θα είναι:

Ε = ε + p.v +(Mv²)/2
Για να μπορεί να μειώνεται η ενέργεια του υγρού ως αποτέλεσμα των τριβών (ιξώδες), θα πρέπει Ε < Ε₀     δηλαδή     ε + p.v < 0.

Αυτό θα συμβαίνει μόνο όταν το γινόμενο p.v είναι αρνητικό, δηλαδή όταν τα p και v είναι αντιπαράλληλα. Χρησιμοποιώντας τα μέτρα των διανυσμάτων θα πρέπει: 

ε + p.v < 0    ή τελικά    v > ε / p 

Γεωμετρικά, το πηλίκο ε / p σε κάποιο σημείο της καμπύλης ε(p) εκφράζει την κλίση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το συγκεκριμένο σημείο της καμπύλης.

Η συνθήκη λοιπόν που θα μας λέει για ποιες ταχύτητες της ροής εμφανίζονται οι στοιχειώδεις διεγέρσεις λόγω ιξώδους, απαιτεί την εύρεση της ελάχιστης τιμής του πηλίκου ε / p.

Η ελάχιστη τιμή αυτού του πηλίκου δεν είναι 0, αλλά αντιστοιχεί στην κλίση της ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται επίσης στην καμπύλη. (Εικόνα 2)

Εικόνα 2.

Αυτό σημαίνει ότι για τιμές ταχύτητας ροής κάτω από αυτή την ελάχιστη τιμή του ε / p δεν μπορούν να εμφανιστούν διεγέρσεις φωνονίων στο υγρό.

Δηλαδή η ροή δεν μπορεί να γίνει πιο αργή, και αυτό ακριβώς αποτελεί το φαινόμενο της υπερρευστότητας.
Βέβαια θα μπορούσε ν' αναρωτηθεί κάποιος, γιατί αυτά συμβαίνουν ειδικά στο He II;

Ηχητικά κύματα και φωνόνια διαδίδονται σε κάθε υγρό, και όχι μόνο στο ήλιο.

Η απάντηση είναι ότι η ιδιόμορφη συμπεριφορά του ηλίου κάτω από του; 2,19^οΚ, προκύπτει από το ότι μόνο στο ήλιο το ενεργειακό φάσμα έχει αυτή τη μορφή της εικόνας 1, κι έτσι μόνο εκεί δεν είναι δυνατή καμιά συλλογική κίνηση ατόμων κάτω από τη συγκεκριμένη θερμοκρασία.

Σημείωση: Η παραπάνω φαινομενολογική ανάλυση της υπερρευστότητας προτάθηκε από το μεγάλο Ρώσο φυσικό Lev Landau.