Η αντίληψή μας σ' ένα σύμπαν θετικής καμπυλότητας
Πως η ύπαρξη αντίποδος επηρεάζει τις παρατηρήσεις μας
Μέρος 2ο

Άρθρο, Δεκέμβριος 2003

1o, 2o, 3o, 4o, 5o

Στο 2ο μέρος του άρθρου θα εξετάσουμε μερικές παρατηρησιακές συνέπειες που θα είχαμε αν το σύμπαν ήταν μια υπερσφαίρα S³ .Ένα σύμπαν δηλαδή με θετική καμπυλότητα. 

Η έννοια του υπερχώρου εδώ δηλώνει τον καμπύλο χώρο S³ που είναι μια επιφάνεια της υπερσφαίρας Riemann στο χώρο V⁴ σύμφωνα με τους ορισμούς που δώσαμε στο 1ο μέρος του άρθρου. Εξ ορισμού, ο κύκλος και η σφαίρα όπως τις γνωρίζουμε από την Ευκλείδια γεωμετρία, είναι ενσωματωμένα σ' αυτόν τον καμπύλο χώρο. Επίσης προβλέπεται ότι κάθε σημείο του καμπύλου αυτού χώρου έχει έναν αντίποδα όπως συμβαίνει και με τη συνηθισμένη σφαίρα. 

Στο παρόν άρθρο θα δούμε μερικές συνέπειες ενός "σφαιρικού σύμπαντος". Σφαιρικό εδώ σημαίνει κάθε σύμπαν με θετική καμπυλότητα. Εδώ περιλαμβάνεται επίσης το σύμπαν του Friedmann με πυκνότητα μεγαλύτερη από την κρίσιμη. "Σφαιρικό" μπορεί επίσης να σημαίνει ένα σύμπαν στο οποίο ο χώρος επαναλαμβάνεται περιοδικά.

Δεν είναι απαραίτητο βέβαια η κρίσιμη πυκνότητα στην μορφή αυτή των Συμπάντων να είναι τόσο μεγάλη ώστε ο αντίποδας να βρίσκεται σε μια απόσταση μικρότερη από τον κοσμικό ορίζοντά μας.

Συζητάμε λοιπόν για έναν "σφαιρικό" χώρο: χώρο S³ στον οποίο μια σφαιρική επιφάνεια Riemann είναι τοπολογικά ενσωματωμένη σε μια υπερσφαίρα με περισσότερες διαστάσεις. Η υπόθεσή μας αυτή μόλις τα τελευταία χρόνια άρχισε πάλι να αποκτά ενδιαφέρον γιατί  τις δύο προηγούμενες δεκαετίες κυριαρχούσε η άποψη ότι το σύμπαν είναι επίπεδο και Ευκλείδιο είτε σχεδόν επίπεδο.

Σ' ένα τέτοιο σύμπαν υποθέτουμε ότι μπορούμε να κοιτάξουμε κατά μήκος της σφαιρικής επιφάνειας μέχρι το αντιδιαμετρικό σημείο από αυτό που βρισκόμαστε εμείς και ακόμη πιο πέρα, και ότι οι παρατηρήσεις μας υπακούουν στους νόμους της φυσικής και της γεωμετρίας όπως τους κατανοούμε σήμερα. 

Καθώς θα αναλύσουμε πως η ύπαρξη αντίποδα επηρεάζει τις παρατηρήσεις μας, είναι σημαντικό να θυμόμαστε δυο πράγματα: (1) η αντίθετη πλευρά μιας ενσωματωμένης συνήθους σφαιρικής επιφάνειας αντιστοιχεί σε έναν αντίποδα μιας υπερσφαίρας υψηλότερης διάστασης και (2) οτιδήποτε ισχύει για τη σφαιρική επιφάνεια ισχύει επίσης και σε ορθή γωνία προς την επιφάνεια.  

Έτσι λοιπόν για να καταλάβουμε τι συμβαίνει στην S³, εξετάζουμε πρώτα τι συμβαίνει στην S². Τι θα παρατηρήσουμε λοιπόν όταν κοιτάζουμε προς τον αντίποδά μας;

Ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε στο βόρειο πόλο της συνήθους σφαιρικής επιφάνειας και το φως ταξιδεύει επί της επιφανείας αυτής. Έστω ότι υπάρχει ένα σύννεφο κοντά μας που το φανταζόμαστε ότι το μετακινούμε κατά μήκος οποιουδήποτε μεσημβρινού προς τον νότιο πόλο και ακόμα μακρύτερα από αυτόν. Καθώς το σύννεφο απομακρύνεται από εμάς, πρώτα φαίνεται να μικραίνει, όπως αναμενόταν, αλλά μόνο μέχρι να φτάσει στον ισημερινό. Όταν το μετακινήσουμε στο νότιο ημισφαίριο αρχίζει πάλι να μεγαλώνει. Και εάν το σύννεφο βρεθεί πάνω από τον νότιο πόλο θα φαίνεται να καταλαμβάνει όλο τον οπτικό μας ορίζοντα γιατί προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και αν κοιτάξουμε βλέπουμε προς τον νότιο πόλο. 

Τα αντικείμενα λοιπόν φαίνονται να περνούν από ένα μέγιστο του μεγέθους τους καθώς πλησιάζουν τον αντίποδα στη σφαιρική μας επιφάνεια. Ο αντίποδας αυτός αντιστοιχεί στον αντίποδα της υπερσφαίρας. 

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τι συμβαίνει με τη φωτεινότητα των αντικειμένων κοντά στον αντίποδα; 

Θα επαναλάβουμε απλά το προηγούμενο νοητό πείραμα, χρησιμοποιώντας ένα φωτεινό προβολέα  αντί για σύννεφο. Θα υποθέσουμε: (1) ο προβολέας είναι κοντά μας στέλνει το φως του προς εμάς και κινείται κατά μήκος του ίδιου μεσημβρινού όπως το σύννεφο. (2) κάθε ακτίνα της δέσμης του προβολέα ακολουθεί ένα μέγιστο κύκλο (μια γεωδεσιακή) κατά μήκος της επιφάνειας, και (3) η σχετική λαμπρότητα της δέσμης μεταβάλλεται αντίστροφα με το πλάτος της δέσμης που έχει αυτή όταν φτάνει στη θέση μας στο βόρειο πόλο. 

Αρχικά το φως του προβολέα φαίνεται ασθενέστερο όσο αυξάνει η απόσταση γιατί η δέσμη πλαταίνει όταν φτάνει σε μας. Όμως η δέσμη παύει να πλαταίνει με την αύξηση της απόστασης όταν ο προβολέας περάσει τον ισημερινό. Αντίθετα, η δέσμη  γίνεται προοδευτικά όλο και στενότερη όταν φτάνει στη θέση μας στο βόρειο πόλο, πράγμα που σημαίνει ότι ο προβολέας αρχίζει να φαίνεται λαμπρότερος. Και θα συνεχίσει να φαίνεται λαμπρότερος με την αύξηση της απόστασης έως ότου περάσει τον νότιο πόλο. 

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν αριθμό φωτεινών πηγών που όλες έχουν μια συγκεκριμένη φωτεινότητα και είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες πάνω στην σφαιρική επιφάνεια. Αν από τη θέση μας στο βόρειο πόλο μπορούσαμε να δούμε ως το νότιο πόλο και ακόμα πιο πέρα, πως θα μας φαινόταν η κατανομή αυτών των φωτεινών πηγών; 

Θα μας φαίνονταν να γίνονται λαμπρότερες καθώς κοιτάζουμε όλο και πιο κοντά προς το νότιο πόλο, αλλά θα υπάρχουν όλο και λιγότερες από αυτές καθώς κοιτάζουμε προς το νότιο πόλο. Αυτό συμβαίνει διότι καθώς κοιτάζουμε σ' ένα συγκεκριμένο δικό μας γωνιακό άνοιγμα βλέπουμε μια περιοχή της σφαίρας που μέχρι τον ισημερινό γίνεται όλο και μεγαλύτερη, αλλά μετά τον ισημερινό γίνεται όλο και μικρότερη. Ο αριθμός των φωτεινών πηγών θ' αρχίσει πάλι να μεγαλώνει, όταν μπορέσουμε να δούμε πέρα από τον νότιο πόλο, αλλά τότε οι φωτεινές πηγές θα μας φαίνονται πάλι όλο και πιο αμυδρές. Αυτές λοιπόν οι πρότυπες φωτεινές πηγές, περνούν πρώτα ένα μέγιστο φωτεινότητας στον νότιο πόλο όπου επίσης περνούν από ένα ελάχιστο αριθμό που παρατηρούμε. 

Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι αν ως πρότυπες φωτεινές πηγές θεωρήσουμε τα κβάζαρς, αυτά δείχνουν με αρκετή ακρίβεια τη συμπεριφορά που περιγράψαμε. Να είναι άραγε τυχαίο το γεγονός αυτό; 

Ένα παρόμοιο νοητό πείραμα αποκαλύπτει ότι κάθε πλευρική ίδια κίνηση ενός αστρονομικού αντικειμένου κοντά στον νότιο πόλο ή στον αντίποδα της υπερσφαίρας, θα εμφανίζεται μεγαλύτερη απ' ότι είναι στην πραγματικότητα. 

Και υπάρχει ένα πραγματικό αστρονομικό παράδειγμα που είναι πολύ δύσκολο να εξηγηθεί με τη συμβατική άποψη περί επιπέδου σύμπαντος. Ο κβάζαρ  1351-018 με ερυθρή μετατόπιση z = 3.707 φαίνεται να έχει τη μια συνιστώσα της ιδιοκίνησής του ίση με  0,18 χιλιοστά του τόξου ετησίως. Μια ταχύτητα που είναι 10 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός αν η τοπολογία του σύμπαντος είναι επίπεδη V³. Αλλά αν αυτός ο κβάζαρ είναι κοντά σε έναν αντίποδα σε ένα σφαιρικό σύμπαν, θα μπορούσαμε να δικαιολογήσουμε γιατί η συνιστώσα της κίνησής του μας φαίνεται τόσο διογκωμένη. 

Συμπερασματικά λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι αν μπορούσαμε να δούμε πέρα από ένα αντίποδα σ' ένα σφαιρικό σύμπαν, τα διακριτά φωτεινά αντικείμενα θα φαίνονταν να περνούν από ένα μέγιστο στο μέγεθός τους, στη φωτεινότητά τους και στην πλευρική τους ταχύτητα. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αν υπάρχει θετική καμπυλότητα στο χώρο κοντά στον αντίποδα, αυτή ενεργεί σαν ένας γιγαντιαίος μεγεθυντικός φακός, που κάνει τα αντικείμενα να φαίνονται πιο μεγάλα, πιο λαμπερά και ότι κινούνται κατά πλάτος του οπτικού μας πεδίου ταχύτερα απ' όσο προβλέπεται για την ίδια απόσταση στο συμβατικό Ευκλείδιο σύμπαν V³ χωρίς αντίποδα. 

Και μια σειρά άλλων αστρονομικών δεδομένων που ερμηνεύονται βέβαια στο συμβατικό μοντέλο για το σύμπαν, στο σύμπαν με μορφή S³ έχουν μια απλούστερη ερμηνεία. Μήπως θα πρέπει να πάρουμε πιο σοβαρά αυτή την πρόταση για το σύμπαν και να ελέγξουμε μήπως υπάρχει αντίποδας; 

Σημείωση: Αυτό το άρθρο εντάσσεται σε μια σειρά που στόχο έχει εφαρμογές στη φυσική και την κοσμολογία.

1o, 2o, 3o, 4o, 5o