Το πεπερασμένο αλλά χωρίς όρια Σύμπαν - Το θεώρημα της επιπλέον διάστασης
Μέρος 3ο

Άρθρο, Δεκέμβριος 2003

1o, 2o, 3o, 4o, 5o

Στο 3ο μέρος του άρθρου θα δούμε με ποιες υποθέσεις από το μοντέλο επίπεδου 3D χώρου του Friedmann καταλήγουμε στην 4D υπερσφαίρα Riemann της οποίας τα χαρακτηριστικά είδαμε στα δύο προηγούμενα άρθρα.

Θα ξεκινήσουμε δίνοντας μια περίληψη του μοντέλου Big Bang μέσα στο συνηθισμένο επίπεδο χώρο Friedmann. Στη συνέχεια θα δούμε τι τροποποιήσεις χρειαζόμαστε να κάνουμε για να πάρουμε την υπερσφαίρα Riemmann, όπως λέγεται επίσημα το "άπειρο αλλά χωρίς όρια Σύμπαν".            

A. Μια σύντομη περιγραφή του καθιερωμένου μοντέλου του Big Bang

1. Ο χώρος εκτείνεται ελαστικά στην κοντινή περιοχή μας σύμφωνα με την παράμετρο του Hubble, H, της οποίας τα όρια κυμαίνονται μεταξύ των τιμών 60 km/sec/mpc και75 km/sec/mpc. (Mpc = megaparsec δηλαδή  3.26 εκατομμύρια έτη φωτός, και η καλύτερη τιμή που έχει δοθεί για το Η μέσα στο 2003 είναι 71 km/sec/mpc.) Η ηλικία του σύμπαντος είναι η διάρκεια του χρόνου κατά τον οποίο διαρκεί η διαστολή του, και η περιοχή τιμών του Η από μόνη της υποδηλώνει μια ηλικία του σύμπαντος μεταξύ 13 και 16 δισεκατομμύρια χρόνια.

2. Παρατηρείστε τον τρόπο που ορίζεται το Η: Κm/sec/mpc. Οι δύο όροι - km και mpc - εκφράζουν μήκος και απλοποιούνται. Έτσι απομένει H = σταθερά/sec και αν υποθέσουμε ότι η τιμή του Η έχει παραμείνει η ίδια σε όλη την διαστολή του σύμπαντος, η ηλικία του σύμπαντος είναι απλά 1/H (εκφρασμένη σε δευτερόλεπτα). Τοπολογικά το H εκφράζει πόσο χρόνο πριν, δύο οποιαδήποτε σημεία που τώρα είναι διαφορετικά, ταυτίζονταν.

3. Τα μοντέλα του Friedmann υποθέτουν ότι ο ρυθμός διαστολής ελαττώνεται (ο βαθμός της ελάττωσης εξαρτάται από την πυκνότητα). Αν το Η είχε μεγαλύτερη τιμή στο παρελθόν, αυτό σημαίνει ένα νεαρότερο σύμπαν απ' ότι υποδηλώνει ο σημερινός ρυθμός επέκτασής του. Το 1998 αναγγέλθηκε ότι η φωτεινότητα των σούπερ-νόβα σε μακρινούς γαλαξίες έδειχνε ότι η διαστολή επιταχυνόταν αντί να επιβραδύνεται. Αν το Η είχε μικρότερη τιμή κατά το παρελθόν, τότε κατοικούμε σ' ένα παλαιότερο σύμπαν. Χρειάζεται όμως τώρα να υποθέσουμε ότι υπάρχει μια απωστική δύναμη που προκαλεί την επιτάχυνση, και τη λέμε κοσμολογική σταθερά.

   Η επιβράδυνση όμως μπορεί να επιστρέψει γιατί ο πιο μακρινός σούπερ-νόβα με z=1,75, είναι πολύ λαμπρότερος (κατά ένα μέγεθος), απ' ότι αναμένεται. Μερικοί το ερμηνεύουν αυτό ως μια καλή ένδειξη ότι βρίσκεται πιο κοντά, ίσως λόγω της επιβράδυνσης στις μεγαλύτερες ερυθρές μετατοπίσεις z, και σημαίνει λένε ότι η επιτάχυνση συμβαίνει μόνο στο πιο πρόσφατο σύμπαν, εκείνο με τις μικρότερες ερυθρές μετατοπίζεις z.

4. Το φως ταξιδεύει με ταχύτητα 300,000 km/sec και η ταχύτητά του συμβολίζεται με "c".

Προφανώς η τιμή του Η και αν έχουμε επιτάχυνση ή επιβράδυνση είναι κρισιμες παράμετροι σε οποιαδήποτε συζήτηση για το σύμπαν.

 Αφού το σύμπαν διαστέλλεται και το φως ταξιδεύει με πεπερασμένη ταχύτητα, στην πραγματικότητα κοιτάζουμε πίσω στον χρόνο, σ' ένα σύμπαν που είχε σημαντικά μικρότερο μέγεθος και μάλιστα τόσο μικρότερο όσο πιο πίσω πάμε στο χρόνο. Αν η ερυθρή μετατόπιση z ενός αντικειμένου που απομακρύνεται από μας συμβαίνει σ' ένα συνηθισμένο σφαιρικό σύμπαν, το σχετικό μέγεθος του σύμπαντος σ' αυτή την προγενέστερη εποχή, συγκρινόμενο με το μέγεθός του εδώ που βρισκόμαστε είναι: 
1/(1 + z).

Το σύμπαν όμως δεν μπορεί να φαίνεται ότι συρρικνώνεται απεριόριστα καθώς πηγαίνουμε πίσω στο χρόνο. Το θεωρητικό όριο για τη συρρίκνωση αυτή είναι η κατάρρευση σε μια αδιάστατη ανωμαλία την οποία βλέπουμε προς όλες τις κατευθύνσεις γύρω μας και φαίνεται να είναι 13 με 14 δισεκατομμύρια χρόνια μακριά μας, ανάλογα με την τιμή του Η και τις μεταβολές του Η με το χρόνο. Αφού το σύμπαν στην κατάσταση της ανωμαλίας έχει μηδενικό μέγεθος τότε σύμφωνα με τη σχέση: 
σχετικό μέγεθος=1/(1 + z) η ανωμαλία αυτή πρέπει να έχει μια άπειρη ερυθρή μετατόπιση. 

Αν  H = σταθερό σε όλη τη διάρκεια ζωής του σύμπαντος, η απόσταση μέχρι την ανωμαλία είναι c/H και ο χρόνος που έχει περάσει από τότε είναι 1/H δευτερόλεπτα. Αλλά οι τιμές αυτές αλλάζουν αν το Η μεταβάλλεται. Αν το σύμπαν επιταχύνεται και συνεπώς το Η αυξάνει με το χρόνο, τόσο η απόσταση όσο και ο χρόνος μέχρι την ανωμαλία είναι μεγαλύτεροι επίσης. Το ίδιο βέβαια ισχύει και για τη ζωή του σύμπαντος. 

Το επόμενο βήμα μας τώρα θα είναι να δείξουμε πως ένα σύμπαν με αυτά τα γενικώς παραδεκτά χαρακτηριστικά, μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια κλειστή κοσμική υπέρ-σφαίρα Riemann.  

B. Η αντιπαράθεση μιας επίπεδης επιφάνειας V² με μια καμπυλωμένη επιφάνεια S²  

Για να ξεκινήσουμε ας φανταστούμε ότι κατοικούμε σε μια ελαστική επιφάνεια της οποίας ο ρυθμός διαστολής εκφράζεται από την παράμετρο του Hubble H. Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι Η = 65 km/sec/mpc και ότι ο ρυθμός διαστολής παραμένει ο ίδιος με τον χρόνο τότε ένας υπολογισμός μας δείχνει ότι η ηλικία της επιφάνειας αυτής είναι περίπου 15 δισεκατομμύρια χρόνια, δηλαδή τόσος χρόνος έχει περάσει κατά τη διαστολή της επιφάνειας, αρχίζοντας τη μέτρηση από την κατάσταση λίγο πριν τη διαστολή. Η απλή αυτή εκτίμηση της ηλικίας της επιφάνειας βασισμένη σε σταθερό ρυθμό επέκτασης μπορεί να μεγαλώσει ή να μικρύνει ανάλογα αν η διαστολή επιταχύνεται ή επιβραδύνεται αντίστοιχα. 

Χρησιμοποιώντας την τιμή H = 65 km/sec/mpc, θεωρείστε 3 ακόμη πρόσθετες υποθέσεις για την επιφάνεια: 

1. Δεν υπάρχει στην κοντινή μας περιοχή καμιά ένδειξη ότι η επιφάνεια έχει οποιαδήποτε καμπυλότητα, αν και στην πραγματικότητα είναι μια σφαιρική επιφάνεια θετικά καμπυλωμένη, την οποία όμως εμείς αντιλαμβανόμαστε ως επίπεδη.  

2. Το φως περιορίζεται να ταξιδεύει πάνω σ' αυτή την επιφάνεια με ταχύτητα περίπου 300.000 km/sec.  

3. Γνωρίζουμε ότι προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και αν κοιτάξουμε, στην πραγματικότητα κοιτάζουμε προς τη σημειακή ανωμαλία που βρίσκεται περί τα 15 δισεκατομμύρια έτη φωτός μακριά. Εξ ορισμού της παραμέτρου Hubble, η συνολική ελαστική δομή της επιφάνειας, - όποια και αν είναι η γεωμετρία της- έχει τις ρίζες της στη σημειακή θέση της ανωμαλίας. 

[Στην πραγματικότητα δεν μπορούμε να δούμε πίσω στον χρόνο μέχρι τη στιγμή της μεγάλης έκρηξης. Μερικοί από τους λόγους είναι οι εξής: (1) Δεν μπορούμε να δούμε κάτι που απομακρύνεται με την ταχύτητα του φωτός (ιδίως ένα σημείο μηδενικών διαστάσεων και (2) το σύμπαν στις αρχικές του στιγμές είναι αδιαφανές στο φως. Παρόλα αυτά έστω και θεωρητικά υποθέτουμε ότι μπορούμε να δούμε πίσω έως τη χρονική στιγμή με t=0.]

Ας δούμε τώρα τι συνέπειες θα έχει στις παρατηρήσεις μας μια θετική καμπυλότητα της ελαστικής επιφάνειας που θεωρήσαμε.  

Ας επιλέξουμε οποιαδήποτε θέση επί της επιφανείας και ας θεωρήσουμε ότι αυτή είναι η θέση μας Α. Στη συνέχεια επιλέγουμε οποιαδήποτε άλλη θέση επί της επιφανείας την οποία αποκαλούμε θέση Β. 

Κοιτάζουμε προς το Β και στην πραγματικότητα και πέρα από το Β (επί της ίδιας γεωδεσιακής), πίσω στο χρόνο μέχρι την ανωμαλία 15 δισεκατομμύρια έτη φωτός μακριά. Ας τονίσουμε και πάλι, ότι εξ ορισμού η όλη δομή μαζί με τα σημεία Α και Β, που έχει κάποια έκταση για t > 0, μικραίνει  καθώς το t τείνει στο 0 και καταλήγει σε μια μόνο θέση .  Μπορούμε δηλαδή να συνεχίζουμε να κοιτάζουμε γύρω-γύρω στη σφαίρα με την ταχύτητα του φωτός, πηγαίνοντας πίσω στο χρόνο, κατά μήκος μιας όλο και μικρότερης επιφάνειας προς μια κεντρική τοποθεσία στην οποία τόσο η επιφάνεια S²  όσο και ο χώρος V³ που αποτελεί το εσωτερικό της καταρρέουν σε μηδενικό μέγεθος τη στιγμή 15 δισεκατομμύρια χρόνια πριν. 

Επειδή κοιτάζουμε προς τα πίσω στο χρόνο θα λέμε ότι η παράμετρος Hubble έχει αρνητικό πρόσημο αφού τώρα κάθε τι πλησιάζει την θέση της κατάρρευσης. Θα έχει δηλαδή την τιμή -65km/sec/mpc. 

Αν η επιφάνειά μας είναι επίπεδη τότε είμαστε αναγκασμένοι να παραδεχτούμε ότι κοιτάζοντας προς την θέση κατάρρευσης θα φτάσουμε σ' αυτήν γρηγορότερα απ' ότι θα φτάσουν οι διάφορες τοποθεσίες του επιπέδου, αφού η παρατήρησή μας κινείται με την ταχύτητα του φωτός ενώ οι τοποθεσίες συρρικνώνονται με ταχύτητα μικρότερη του φωτός που την καθορίζει η σταθερά του Hubble. Η κατάσταση αυτή βέβαια δημιουργεί παράδοξο.            

Αν όμως η επιφάνειά μας είναι σφαιρική και περιγράφεται με (x,y,z,t) - και όχι επίπεδη σε (x,y,t), τότε το παράδοξο αίρεται διότι όλες οι πορείες του φωτός (γεωδεσιακές) και όλες οι τοποθεσίες της επιφάνειας σε χρόνο t>0 φτάνουν συγχρόνως στη θέση κατάρρευσης για t=0, αλλά από διαφορετικές πορείες. Η πορεία των ακτίνων περιορίζεται στην "S² " ενώ η συνολική κίνηση οποιασδήποτε τοποθεσίας προς την θέση κατάρρευσης συμβαίνει κατά μήκος της ακτίνας της σφαίρας, σε ορθή γωνία προς την επιφάνεια στον χώρο "V³". Κι έτσι μπορούμε να εξηγήσουμε πως γίνεται να κοιτάζουμε προς την θέση κατάρρευσης ταχύτερα απ' ότι οι διάφορες θέσεις πλησιάζουν την θέση κατάρρευσης. Η παρατήρησή μας γίνεται με την ταχύτητα του φωτός ενώ η συρρίκνωση των θέσεων προς την κατάρρευση γίνεται με μικρότερη ταχύτητα αλλά σε μικρότερη διαδρομή- την διαδρομή της ακτίνας της σφαίρας. 

Το σκεπτικό αυτό μας πείθει μάλλον ότι κάτι που φαίνεται εκ πρώτης όψεως ως επίπεδη επιφάνεια V² είναι στην πραγματικότητα μια θετικά καμπυλωμένη ή αλλιώς μια "πεπερασμένη αλλά χωρίς όρια" σφαιρική επιφάνεια S^2.  

C. Η αντιπαράθεση του επίπεδου χώρου V³ με τον καμπύλο χώρο S³  

Ας έρθουμε τώρα στο πραγματικό σύμπαν.  

Κατοικούμε σ' έναν ελαστικό χώρο που μοιάζει να διαστέλλεται όπως το εσωτερικό μιας Ευκλείδιας σφαίρας σε διαστάσεις (x,y,z,t). Ξέρουμε όμως ότι κοιτάζουμε προς μια ανωμαλία κατάρρευσης της οποίας η απόσταση είναι πιθανόν μεταξύ 13 και 14 δισεκατομμύρια έτη φωτός μακριά. 

Κι έχουμε ακριβώς το ίδιο πρόβλημα όπως πριν. Δηλαδή κοιτάζουμε προς την ανωμαλία με την ταχύτητα του φωτός ενώ κάθε θέση του σύμπαντος αν αντιστρέψουμε την πορεία του χρόνου κινείται προς την ίδια ανωμαλία με ταχύτητα σημαντικά μικρότερη από αυτή του φωτός. Από την άλλη μεριά είναι λογικό να πρέπει όλες οι τοποθεσίες και όλες οι γεωδεσιακές να φτάνουν στην ανωμαλία την ίδια στιγμή t=0. Αυτό φαίνεται λογικό μια και ο χώρος στον οποίο και οι γεωδεσιακές και οι διάφορες θέσεις των γαλαξιών και των άστρων, καταρρέει στην ανωμαλία για t=0. 

Αν κατοικούσαμε ένα επίπεδο σύμπαν του Friedmann, το παράδοξο είναι δύσκολο να αρθεί. Η απλούστερη λύση του παραδόξου είναι να υποθέσουμε ότι κατοικούμε σ' έναν χώρο Riemann με θετική καμπυλότητα. Σε μια επιφάνεια S³ ενσωματωμένη σ' ένα χώρο V⁴. Την κατάσταση αυτή περιγράψαμε στο 2ο μέρος του άρθρου.  
Οι γεωδεσιακές μας που ακολουθεί το φως, περιορίζονται στην επιφάνεια S³,ενώ η συνολική διαστολή-ή αντίστοιχα συρρίκνωση καθώς αντιστρέφουμε το χρόνο- γίνεται πάνω στην ακτίνα του V⁴. Και τα δύο τώρα καταρρέουν σε μηδενικό μέγεθος για t=0, αλλά ακολουθώντας διαφορετικούς δρόμους. 

Μοιάζει περίεργο πως αυτή απλή σκέψη των καμπύλων χώρων Riemann που κυριαρχούσε στην κοσμολογία τις πρώτες δεκαετίες του 20ου αιώνα, υποχώρησε αργότερα και κυριάρχησαν τα επίπεδα μοντέλα Friedmann. 

D. H παραδοχή επιπλέον διάστασης και ο υπερχώρος  Riemann σε S³/V⁴              

Ας δούμε τα παραπάνω νοητά πειράματα πιο αναλυτικά. 

Έστω ότι έχουμε μια σφαιρική επιφάνεια σε S²/V³ που ορίζεται ως εξής:             

Ο χρόνος t αρχίζει από τη στιγμή που αρχίζει να διαστέλλεται η επιφάνεια της σφαίρας. 

Δεχόμαστε ότι ισχύουν τα παρακάτω:

	Μια θέση επί της επιφανείας ονομάζεται "τόπος" και η κίνησή του περιορίζεται αποκλειστικά επί της κρυμμένης ακτίνας της σφαίρας. Κρυμμένη σημαίνει ότι εμείς ως κάτοικοι της επιφάνειας δεν αντιλαμβανόμαστε αυτή την ακτίνα.
	Συναντούμε τον ίδιο τόπο καθώς κοιτάζουμε ή ταξιδεύουμε γύρω από τη σφαιρική επιφάνεια κατά μήκος μιας πορείας που μας φαίνεται ευθεία έστω και αν το r αλλάζει κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται για να κάνουμε το γύρο της επιφάνειας.
	Το φως περιορίζεται πάνω στην επιφάνεια.
	Ο παρατηρούμενος ρυθμός διαστολής επί της επιφάνειας S2 ορίζεται από τη σταθερά του Hubble H, (Η σταθερά H προφανώς φαίνεται μεγαλύτερη επί της S2 απ' ότι είναι κατά μήκος της κρυμμένης ακτίνας στον V3).. Θα υποθέσουμε ότι έχει την ίδια τιμή των   65 km/sec/mpc όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, και ότι ο χρόνος που χρειάζεται για να κοιτάξουμε πίσω στη θέση της κατάρρευσης είναι περίπου 15 δισεκατομμύρια χρόνια.
	Η ακτίνα καμπυλότητας R >>> 0, πράγμα που σημαίνει ότι η κρυμμένη ακτίνα είναι τόσο μεγάλη που είναι αδύνατον να ανιχνεύσουμε τη θετική καμπυλότητα με πειράματα στη γειτονιά μας.

Η επιπλέον όμως διάσταση είναι αυτή που μας διαβεβαιώνει ότι αν μπορούσαμε να δούμε πίσω στη θέση κατάρρευσης, η γραμμή όρασής μας και όλοι οι τόποι της επιφάνειας θα έφταναν μαζί στην αδιάστατη θέση της κατάρρευσης την ίδια χρονική στιγμή t=0 κάπου 15 δις χρόνια πριν. Η διάρκεια αυτή είναι το αντίστοφο της σταθεράς Η δηλαδή το 1/Η. Βεβαίως οι τόποι κινούνται κατά μήκος της κρυμμένης χωρικής διάστασης που είναι η ακτίνα της σφαίρας.   

Τα παραπάνω γενικεύονται και στις n διαστάσεις.  

Θεώρημα της επιπλέον διάστασης (ΕDT): Αν όλοι οι τόποι όταν 
t > 0 σε μια οποιαδήποτε ελαστική δομή που διαστέλλεται σύμφωνα με την παράμετρο Η του Hubble υπάρχουν επίσης και στην θέση κατάρρευσης όταν t = 0 πριν από 1/H seconds (προς την οποία και κοιτάζουμε), τότε αυτό που μας φαίνεται σαν ορθογώνια δομή Vⁿ είναι στην πραγματικότητα μια δομή Sⁿ με θετική καμπυλότητα και με μια επιπλέον μη ανιχνεύσιμη χωρική διάσταση. 

Μια παράξενη συνέπεια του θεωρήματος της επιπλέον διάστασης είναι ότι καθώς κοιτάζουμε προς την απομακρυσμένη θέση κατάρρευσης είναι ισοδύναμο σα να "βλέπουμε την πλάτη μας", αφού η ακτίνα φωτός περνάει ξανά και ξανά από τον τόπο μας παρόλο που φαίνεται να διαδίδεται σε ευθεία γραμμή. Το πέρασμα αυτό βέβαια δεν αντιστοιχεί στην ίδια χρονική στιγμή αφού ο τόπος μας κινείται επίσης προς την θέση κατάρρευσης πάνω στην επιπλέον διάσταση. 

Η επόμενη ερώτηση είναι: Πως εντάσσεται ο πολλαπλά συνεκτικός χώρος S³/V⁴ που περιγράφεται με τη σχέση

Χρειάζεται απλά να κάνουμε τις εξής τροποποιήσεις: 

	Ένας τόπος της επιφάνειας ορίζεται τώρα από (x,y,z,w,t) αλλά πάλι η μοναδική του κίνηση είναι κατά μήκος μιας ακτίνας που δεν μπορούμε να αντιληφθούμε.
	Δεν μπορούμε να δούμε εντελώς μέχρι την ανωμαλία της κατάρρευσης για τους λόγους που ήδη αναφέραμε συν το γεγονός ότι το αρχικό σύμπαν ήταν αδιαφανές στη διάδοση του φωτός για τα πρώτα 300.000 χρόνια περίπου.
	Ο χρόνος μέχρι να φτάσουμε πίσω στην ανωμαλία δεν είναι ακριβώς 1/Η sec. επειδή πρέπει να κάνουμε διορθώσεις για τη μεταβαλλόμενη τιμή του Η με το χρόνο. Για παράδειγμα αν το σύμπαν επιταχύνεται ο συνολικός χρόνος προς τα πίσω είναι μεγαλύτερος του 1/Η sec.

Ο τρόπος να πάρουμε τον υπερχώρο Riemann και μια μη συμπιεσμένη 4η χωρική διάσταση είναι  να εφαρμόσουμε το θεώρημα EDT και να υποθέσουμε ότι όλοι οι τόποι που υπάρχουν για t >0 υπάρχουν και στην ανωμαλία όταν t=0 στην αρχή του χρόνου. Όλα όσα παρατηρούμε στον κόσμο είναι εμβαπτισμένα μέσα σ' αυτόν τον υπερχώρο με περισσότερες διαστάσεις.

Όταν κοιτάζουμε γύρω από την υπερσφαίρα Riemann προς την αρχική ανωμαλία η διαδρομή έχει τα ίδια χαρακτηριστικά της σπείρας όπως συνέβαινε και με τη συνηθισμένη σφαιρική επιφάνεια που εξετάσαμε πιο πάνω γιατί οτιδήποτε συμβαίνει στην S² συμβαίνει και στην S³ εξαιτίας της ενσωμάτωσης. Και η παράμετρος Hubble θα φαίνεται μεγαλύτερη αν μετρείται πάνω στην πολλαπλά συνεκτική επιφάνεια S³ αντί επάνω στην κρυμμένη ακτίνα του V⁴. Παρόμοια το σενάριο κατά το οποίο κοιτάζουμε προς την ανωμαλία είναι ισοδύναμο με το να κοιτάζουμε την πλάτη μας, πάλι λόγω της ιδιότητας της ενσωμάτωσης. 

Πρέπει να τονιστεί ότι σ' όλη αυτή την εξέταση η θετική καμπυλότητα δεν σχετίζεται καθόλου με τη βαρύτητα. Τη θεωρούμε ως μια βασική ιδιότητα του χώρου.  

Σημείωση: Αυτό το άρθρο εντάσσεται σε μια σειρά που στόχο έχει εφαρμογές στη φυσική και την κοσμολογία.

1o, 2o, 3o, 4o, 5o