Τα 'άτομα' του χώρου και του χρόνου
Μέρος 3ο

Άρθρο του Lee Smolin, Δεκέμβριος 2004

1o, 2ο, 3ο, 4ο

Δίκτυα σπιν

Τι άλλο μας λέει η θεωρία μας για το χωροχρόνο; Και πρώτα απ' όλα, πώς πρέπει να εννοήσουμε αυτές τις κβαντικές καταστάσεις του όγκου και του εμβαδού; Αποτελείται άραγε ο χώρος από ένα πλήθος μικροσκοπικών κύβων ή σφαιρών; Όχι, οπωσδήποτε όχι —δεν είναι τόσο απλό. Πάντως, μπορούμε να σχεδιάσουμε διαγράμματα τα οποία αναπαριστούν τις κβαντικές καταστάσεις όγκου και εμβαδού. Στα μάτια όσων από εμάς εργάζονται σε αυτό το πεδίο, τούτα τα διαγράμματα έχουν μια ιδιαίτερη ομορφιά λόγω της σύνδεσης τους με έναν κομψό κλάδο των μαθηματικών.

Για να καταλάβετε πώς δουλεύουν αυτά τα διαγράμματα, φανταστείτε ότι έχουμε ένα κομμάτι χώρου με σχήμα κύβου όπως εκείνο που φαίνεται στην εικόνα της σελίδας 70. Στα διαγράμματα μας, έναν τέτοιο κύβο θα τον απεικονίζαμε ως μία κουκκίδα, η οποία παριστάνει τον όγκο του, με 6 γραμμές να εκτείνονται από αυτή, που έκαστη παριστάνει μία από τις έδρες του κύβου. Χρειάζεται ακόμη να γράψουμε δίπλα στην κουκκίδα έναν αριθμό που δηλώνει το μέγεθος του όγκου, ενώ και πάνω σε κάθε γραμμή σημειώνουμε έναν αριθμό που δηλώνει το εμβαδόν της έδρας την οποία παριστάνει.

Έστω τώρα ότι τοποθετούμε μια πυραμίδα πάνω στον κύβο. Αυτά τα δύο πολύεδρα, τα οποία μοιράζονται μία κοινή έδρα, θα απεικονίζονταν ως δύο κουκκίδες (δύο όγκοι) που τις συνδέει μία από τις γραμμές (η έδρα κατά την οποία ενώνονται οι δύο όγκοι). Ο κύβος έχει ακόμη 5 έδρες (εξέχουν 5 γραμμές), ενώ η πυραμίδα ακόμη 4 (εξέχουν 4 γραμμές). Είναι, νομίζω, σαφές πώς θα μπορούσαν να απεικονιστούν με αυτά τα διαγράμματα από κουκκίδες και γραμμές πιο πολύπλοκες διατάξεις με πολύεδρα διαφορετικά από τους κύβους και τις πυραμίδες: κάθε πολύεδρο όγκου γίνεται μία κουκκίδα ή, όπως λέγεται σε πιο τεχνική γλώσσα, ένας κόμβος, και κάθε επίπεδη έδρα πολυέδρου γίνεται μία γραμμή, ενώ οι γραμμές ενώνουν τους κόμβους με τον τρόπο που οι έδρες ενώνουν τα πολύεδρα. Οι μαθηματικοί ονομάζουν αυτά τα γραμμικά διαγράμματα γραφήματα

ΜΙΑ ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ

Διαγράμματα που λέγονται δίκτυα σπιν, χρησιμοποιούνται από τους φυσικούς για να αναπαραστήσουν τις κβαντικές καταστάσεις του χώρου σε μικροσκοπική κλίμακα. Μερικά τέτοια διαγράμματα αντιστοιχούν σε όγκους πολυεδρικής μορφής. Για παράδειγμα ένας κύβος [a] αποτελείται από έναν όγκο που περικλείεται από 6 τετραγωνικές έδρες. Το αντίστοιχο διάγραμμα σπιν [b] έχει μια τελεία ή κόμβο που παριστάνει τον όγκο και 6 γραμμές που παριστάνουν τις 6 έδρες. Το πλήρες δίκτυο σπιν έχει έναν αριθμό στον κόμβο που δείχνει τον όγκο του κύβου και έναν αριθμό σε κάθε γραμμή που δείχνει το εμβαδό της αντίστοιχης έδρας.  Εδώ ο όγκος είναι 8 κυβικά μήκη Planck και κάθε έδρα είναι 4 τετραγωνικά μήκη Planck. Οι κανόνες της κβαντικής βαρύτητας βρόχων, περιορίζουν τις επιτρεπτές τιμές των όγκων και των εμβαδών. Έτσι ορισμένοι μόνο συνδυασμοί αριθμών επιτρέπονται στις γραμμές και στους κόμβους.  Αν μια πυραμίδα επικαθήσει στην άνω έδρα του κύβου [c], η γραμμή που παριστάνει την έδρα αυτή στο δικτύωμα, θα συνδέει τον κόμβο του κύβου με τον κόμβο της πυραμίδας [d]. Οι γραμμές που αντιστοιχούν στις 4 ελεύθερες έδρες της πυραμίδας και στις 5 ελεύθερες έδρες του κύβου, θα ξεκινάνε από τους αντίστοιχους κόμβους. (οι αριθμοί παραλείφθηκαν για απλότητα.)

Γενικά σε ένα δικτύωμα σπιν, ένα κβάντουμ εμβαδού παριστάνεται από μια απλή γραμμή [e], ενώ μια επιφάνεια που αποτελείται από πολλά κβάντα, παριστάνεται από πολλές γραμμές [f]. Παρόμοια ένα κβάντουμ όγκου παριστάνεται από ένα κόμβο [g], ενώ ένας μεγαλύτερος όγκος χρειάζεται περισσότερους κόμβους [h]. Αν έχουμε μια περιοχή του χώρου που ορίζεται από ένα σφαιρικό κέλυφος, ο όγκος εντός του κελύφους δίνεται από το άθροισμα όλων των περικλειόμενων κόμβων και το εμβαδόν της επιφάνειάς του δίνεται από το άθροισμα όλων των γραμμών που τρυπάνε το κέλυφος.

Τα δικτυώματα σπιν είναι πιο θεμελιώδη από τα πολύεδρα. Κάθε διάταξη από πολύεδρα μπορεί να παρασταθεί από ένα δικτύωμα σπιν με τον τρόπο που περιγράψαμε, αλλά μερικιά δικτυώματα σπιν, παριστάνουν συνδυασμούς όγκων και εμβαδών που δεν μπορούν να παρασταθούν με πολύεδρα. Τέτοια δικτυώματα σπιν μπορούν να συμβαίνουν όταν ο χώρος καμπυλώνεται από ένα ισχυρό βαρυτικό πεδίο ή κατά τις κβαντικές  διακυμάνσεις της γεωμετρίας του χώρου που συμβαίνουν στην κλίμακα Planck.
 

Στη θεωρία μας, πετάμε τα σχέδια των πολυέδρων και κρατάμε μόνο τα γραφήματα. Τα μαθηματικά που περιγράφουν τις κβαντικές καταστάσεις του όγκου και του εμβαδού μας δίνουν ένα σύνολο κανόνων σχετικά με το πώς επιτρέπεται να ενώνονται οι κόμβοι και οι γραμμές και το ποιοι αριθμοί μπορούν να μπουν πού, σε ένα διάγραμμα. Κάθε κβαντική κατάσταση αντιστοιχεί σε ένα από αυτά τα γραφήματα, και κάθε γράφημα που συμμορφώνεται με τους κανόνες αντιστοιχεί σε μία κβαντική κατάσταση. Τα γραφήματα αποτελούν μια βολική απεικονιστική έκφραση για όλες τις δυνατές κβαντικές καταστάσεις του χώρου. Τα μαθηματικά βέβαια και οι άλλες λεπτομέρειες των κβαντικών καταστάσεων είναι πολύ περίπλοκες για να συζητηθούν στο παρόν άρθρο.   

Σε σύγκριση με τα πολύεδρα, τα γραφήματα προσφέρονται πολύ περισσότερο για την αναπαράσταση των κβαντικών καταστάσεων. Μάλιστα, μερικά γραφήματα συνδέονται με τόσο παράξενους τρόπους ώστε είναι αδύνατο να μετατραπούν σε μια τακτοποιημένη εικόνα πολυέδρων. Για παράδειγμα, οποτεδήποτε ο χώρος είναι καμπυλωμένος, ενώ τα πολύεδρα δεν θα συναρμόζονταν σωστά σε κανένα από τα σχέδια που θα επιχειρούσαμε να κάνουμε, μπορούμε πάντοτε να σχεδιάσουμε ένα γράφημα χωρίς την παραμικρή δυσκολία. Μάλιστα, αν μας δοθεί ένα γράφημα, μπορούμε απ' αυτό να υπολογίσουμε το βαθμό παραμόρφωσης του χώρου. Εφόσον η παραμόρφωση του χώρου είναι εκείνη που παράγει τη βαρύτητα, αντιλαμβανόμαστε αμέσως πώς τα διαγράμματα συνιστούν μια κβαντική θεωρία της βαρύτητας.

Αν και χάριν απλότητας συνηθίζουμε να σχεδιάζουμε τα γραφήματα σε δύο διαστάσεις, είναι ορθότερο να φανταζόμαστε ότι γεμίζουν τον τρισδιάστατο χώρο, καθότι αυτόν ακριβώς αναπαριστούν. Εδώ, ωστόσο, κρύβεται μια εννοιολογική παγίδα: οι γραμμές και οι κόμβοι των γραφημάτων δεν «ζουν» σε συγκεκριμένες θέσεις του χώρου. Κάθε γράφημα ορίζεται αποκλειστικά και μόνο από τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται μεταξύ τους τα στοιχεία του και από το πώς σχετίζονται αυτά με καλά ορισμένα σύνορα όπως το Σ. Ο συνεχής τρισδιάστατος χώρος που φαντάζεστε ότι καταλαμβάνουν τα διαγράμματα δεν υφίσταται ως ξεχωριστή οντότητα. Εκτός από τις γραμμές και τους κόμβους, τίποτε άλλο δεν υπάρχει· οι γραμμές και οι κόμβοι είναι ο χώρος, και ο τρόπος με τον οποίο συνδέονται ορίζει τη γεωμετρία του χώρου.

Αυτά τα γραφήματα ονομάζονται δίκτυα σπιν επειδή οι αριθμοί τους οποίους φέρουν σχετίζονται με τα φυσικά μεγέθη που καλούνται σπιν. Την άποψη ότι τα δίκτυα σπιν θα έπαιζαν πιθανώς κάποιο ρόλο στις θεωρίες κβαντικής βαρύτητας πρώτος τη διατύπωσε στις αρχές της δεκαετίας του 1960 ο Roger Penrose, του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. Ικανοποιηθήκαμε πολύ όταν διαπιστώσαμε, το 1994, ότι η εικασία του επιβεβαιωνόταν από ακριβείς υπολογισμούς. Όσοι από τους αναγνώστες έχουν κάποια εξοικείωση με τα διαγράμματα Feynman πρέπει να προσέξουν ότι τα δίκτυα σπιν σε καμία περίπτωση δεν είναι διαγράμματα Feynman, παρά την επιφανειακή ομοιότητα τους με αυτά. Τα διαγράμματα Feynman αναπαριστούν κβαντικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ σωματιδίων τα οποία μεταβαίνουν από μια κατάσταση σε άλλη. Τα δικά μας διαγράμματα αναπαριστούν καθορισμένες καταστάσεις χωρικών όγκων και εμβαδών.

Ο κάθε κόμβος και η κάθε ακμή στα διαγράμματα αναπαριστούν εξαιρετικά μικρές περιοχές του χώρου: ένας κόμβος είναι τυπικά όγκος περίπου 1 κυβικού μήκους Planck, ενώ μια γραμμή είναι τυπικά εμβαδόν περίπου 1 τετραγωνικού μήκους Planck. Κατ' αρχήν, όμως, δεν τίθεται κανένας περιορισμός όσον αφορά το πόσο μεγάλο και περίπλοκο μπορεί να είναι ένα δίκτυο σπιν. Αν μπορούσαμε να σχεδιάσουμε μια λεπτομερή εικόνα της κβαντικής κατάστασης του σύμπαντος μας —της γεωμετρίας του χώρου του, όπως αυτός καμπυλώνεται και στρεβλώνεται από τη βαρύτητα των γαλαξιών, των μαύρων τρυπών και οτιδήποτε άλλου—, θα προέκυπτε ένα γιγαντιαίο δίκτυο σπιν αφάνταστης πολυπλοκότητας με περίπου 10¹⁸⁴ κόμβους. 

Τούτα τα δίκτυα σπιν περιγράφουν τη γεωμετρία του χώρου. Τι γίνεται όμως με όλη εκείνη την ύλη και την ενέργεια που περιέχεται σε αυτό το χώρο; Πώς αναπαριστούμε τα σωματίδια και τα πεδία που κατέχουν θέσεις ή καταλαμβάνουν περιοχές του χώρου; Τα σωματίδια, όπως για παράδειγμα τα ηλεκτρόνια, αντιστοιχούν σε ορισμένους τύπους κόμβων, οι οποίοι αναπαριστώνται με την προσθήκη επιπλέον χαρακτηριστικών ενδείξεων στους κόμβους. Τα πεδία, όπως λόγου χάριν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, αναπαριστώνται με την αναγραφή πρόσθετων χαρακτηριστικών ενδείξεων στις γραμμές του γραφήματος. Όσο για τα σωματίδια και τα πεδία που κινούνται διαμέσου του χώρου, αυτά αναπαριστώνται με τη μετακίνηση των αντίστοιχων χαρακτηριστικών ενδείξεων πάνω στα γραφήματα κατά διακριτά βήματα.

Η ύλη υπάρχει στους κόμβους του δικτύου των σπιν.

Κινήσεις και αφροί

Οι οντότητες, ωστόσο, που χαρακτηρίζονται από κίνηση δεν εξαντλούνται με τα σωματίδια και τα πεδία. Σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, με την πάροδο του χρόνου αλλάζει και η ίδια η γεωμετρία του χώρου. Οι κυρτώσεις και οι καμπύλες του χώρου μεταβάλλονται καθώς κινούνται η ύλη και η ενέργεια, ενώ μέσα σε αυτόν μπορεί να διαδίδονται κύματα σαν τις ρυτιδώσεις που σχηματίζονται στην επιφάνεια μιας λίμνης [βλ. W. Wayt Gibbs "Ripples in Space and Time", Scientific American, Απρίλιος 2002]. Στην κβαντική βαρύτητα βρόχων, τούτες οι διαδικασίες αναπαριστώνται από τις μεταβολές των γραφημάτων, τα οποία εξελίσσονται με την πάροδο του χρόνου με μια διαδοχή συγκεκριμένων «κινήσεων» κατά τις οποίες αλλάζει η ο τρόπος σύνδεσής τους.

Όταν οι φυσικοί περιγράφουν τα φαινόμενα κβαντομηχανικά, υπολογίζουν πιθανότητες για διάφορες διαδικασίες. Το ίδιο ακριβώς κάνουμε κι εμείς όταν εφαρμόζουμε τη θεωρία της κβαντικής βαρύτητας βρόχων για να περιγράψουμε κάποια φαινόμενα, είτε πρόκειται για σωματίδια και πεδία που κινούνται πάνω στα δίκτυα σπιν είτε για τη γεωμετρία του ίδιου του χώρου η οποία εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου.

Ειδικότερα, ο Thomas Thiemann του Ινστιτούτου Perimeter για την θεωρητική φυσική στο Waterloo του Καναδά εξήγαγε ακριβείς κβαντικές πιθανότητες για τις κινήσεις των δικτύων σπιν. Με αυτές η θεωρία γίνεται πλήρως καθορισμένη: διαθέτουμε έναν καλά ορισμένο τρόπο που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάθε διαδικασίας η οποία μπορεί να συμβεί σε έναν κόσμο που υπακούει στους κανόνες της θεωρίας μας. Δεν απομένει παρά να εκτελέσουμε τους υπολογισμούς και να διατυπώσουμε προβλέψεις σχετικά με το τι θα ήταν δυνατόν να παρατηρηθεί σε πειράματα αυτού ή εκείνου του είδους.

Οι θεωρίες του Einstein της ειδικής και της γενικής σχετικότητας συνενώνουν το χώρο και το χρόνο σε μία μοναδική, ενοποιημένη οντότητα που ονομάζεται χωρόχρονος.

Τα δίκτυα σπιν που αναπαριστούν το χώρο στη θεωρία της κβαντικής βαρύτητας βρόχων προσαρμόζονται στην έννοια του χωροχρόνου και μετατρέπονται σε αυτό που ονομάζουμε «αφρούς» σπιν. Με την προσθήκη άλλης μίας διάστασης, του χρόνου, οι γραμμές των δικτύων σπιν γίνονται 2-διάστατες επιφάνειες και οι κόμβοι γραμμές.

Οι μεταβάσεις κατά τις οποίες μεταβάλλονται τα δίκτυα σπιν (οι «κινήσεις» που συζητήσαμε νωρίτερα) αναπαριστώνται τώρα από τους κόμβους όπου συντρέχουν οι γραμμές στον αφρό σπιν. Την εικόνα του αφρού σπιν για το χωρόχρονο την πρότειναν αρκετοί ερευνητές, μεταξύ των οποίων συγκαταλέγονται ο Carlo Rovelli,  ο Mike Reisenberger (σήμερα στο Πανεπιστήμιο του Montevideo), ο John Barret του Πανεπιστημίου του Nottingham, ο Louis Crane του Πολιτειακού Πανεπιστημίου του Kansas, ο John Baez του Πανεπιστημίου της California στο Riverside και η Φωτεινή Μαρκοπούλου του Perimeter Institute for Theoretical Physics.

Στη χωροχρονική οπτική των πραγμάτων, ένα στιγμιότυπο σε κάποια δεδομένη χρονική στιγμή αντιστοιχεί σε μια διατομή του χωροχρόνου. Αν πάρουμε μια τέτοια διατομή ενός αφρού σπιν, προκύπτει ένα δίκτυο σπιν. Προσοχή όμως! Θα σφάλλαμε αν φανταζόμασταν μια τέτοια διατομή ως κινούμενη συνεχώς σαν μια ομαλή ροή χρόνου. Αντ' αυτού, ακριβώς όπως ο χώρος ορίζεται από τη διακριτή γεωμετρία ενός δικτύου σπιν, ο χρόνος ορίζεται από την ακολουθία των διάφορων κινήσεων που αναδιατάσσουν το δίκτυο, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Τοιουτοτρόπως, ο χρόνος γίνεται και αυτός διακριτός. Ο χρόνος ρέει όχι σαν ποτάμι αλλά σαν το κτύπημα του ρολογιού, με το χρόνο να προχωρά με κάθε κτύπο κατά ένα βήμα ίσο περίπου με το χρόνο Planck: 10^-43 δευτερόλεπτα. Ή ακριβέστερα, ο χρόνος στο σύμπαν μας ρέει με το κτύπημα αναρίθμητων ρολογιών —κατά μία έννοια, σε κάθε θέση ενός αφρού σπιν όπου συντελείται μια κβαντική «κίνηση», κάποιο ρολόι σε εκείνο το σημείο έχει χτυπήσει μία φορά.

ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ

Μεταβολές στο σχήμα του χώρου- όπως όταν ύλη και ενέργεια κινούνται μέσα σ’ αυτόν και όταν διαδίδονται βαρυτικά κύματα – παριστάνονται με διαφορετικές αναδιατάξεις ή κινήσεις των δικτύων σπιν. Στο a μια ομάδα από 3 κβάντα όγκου συνενώνονται και κάνουν ένα κβάντο όγκου. Η αντίστροφη διαδικασία είναι επίσης δυνατή. Στο b δύο όγκοι διαιρούν τον χώρο και συνδέονται με παρακείμενους όγκους κατά διαφορετικό τρόπο. Αν τους παραστήσουμε με πολύεδρα, τα δύο πολύεδρα μπορούν να συνενωθούν ως προς την κοινή τους επιφάνεια, και μετά να διαιρεθούν σαν κρύσταλλος που έχει κοπεί ως προς διαφορετικό επίπεδο, Αυτές οι κινήσεις του δικτύου των σπιν συμβαίνουν όχι μόνον όταν έχουμε μεταβολές μεγάλης κλίμακας στη γεωμετρία του χώρου, αλλά και ως αποτέλεσμα των κβαντικών διακυμάνσεων στην κλίμακα του Planck. 

Ένας άλλος τρόπος να παραστήσουμε τις κινήσεις είναι να προσθέσουμε τη χρονική διάσταση σε ένα δίκτυο σπιν – το αποτέλεσμα λέγεται κβαντικός αφρός.  (C). Οι γραμμές του δικτύου σπιν γίνονται επίπεδα και οι κόμβοι γίνονται γραμμές. Θεωρώντας μια σειρά από φέτες σε διαφορετικές στιγμές, παίρνουμε μια σειρά σαν κινηματογραφικές στιγμές  που μας δίνουν την εξέλιξη του δικτύου με τον χρόνο (d).

Παρατηρείστε όμως ότι η εξέλιξη αυτή η οποία εκ πρώτης όψεως μοιάζει ομαλή και συνεχής είναι στην πραγματικότητα ασυνεχής. Όλα Όλα τα δίκτυα σπιν που περιλαμβάνουν την πορτοκαλί γραμμή (φαίνονται τα 3 πρώτα πλάνα), παριστάνουν ακριβώς την ίδια γεωμετρία του χώρου. Το μήκος της πορτοκαλί γραμμής δεν παίζει ρόλο- αυτό που έχει σημασία για τη γεωμετρία είναι το πως συνδέονται οι γραμμές και ποιος αριθμός σηματοδοτεί την κάθε γραμμή.  Αυτοί ορίζουν το πως διατάσσονται τα κβάντα όγκου και επιφάνειας και πόσο μεγάλα είναι.  Έτσι στο d η γεωμετρία παραμένει σταθερή στα 3 πρώτα στιγμιότυπα με 3 κβάντα όγκου και 6 κβάντα επιφάνειας. Στη συνέχεια η γεωμετρία αλλάζει ασυνεχώς και γίνεται ένα απλό κβάντο όγκου και 3 κβάντα εμβαδού, όπως φαίνεται στο τελευταίο στιγμιότυπο. Με τον τρόπο αυτό ο χρόνος όπως ορίζεται με τον αφρό από σπιν, εξελίσσεται με μια σειρά από ξαφνικές διακριτές κινήσεις και όχι από μια συνεχή ροή.

Αν και τέτοιες ακολουθίες κινηματογραφικών στιγμιοτύπων βοηθούν να σχηματίσουμε κάποια εικόνα στο μυαλό μας, ο πιο σωστός τρόπος να κατανοήσουμε την εξέλιξη της γεωμετρίας είναι σαν τα διακριτά τικ ενός ρολογιού. Σε κάποιο τικ το πορτοκαλί κβάντο ενός εμβαδού είναι παρόν, στο επόμενο τικ έχει εξαφανιστεί. Στην πραγματικότητα η εξαφάνιση του πορτοκαλί κβάντου της επιφάνειας είναι που ορίζει το τικ. Η διαφορά στο χρόνο από το ένα τικ στο επόμενο είναι περίπου ο χρόνος Planck δηλ. 10^-43 sec.

Ο χρόνος όμως δεν υπάρχει μεταξύ των τικ. Δεν υπάρχει καν η έννοια του «μεταξύ» κατά τον ίδιο τρόπο που δεν υπάρχει νερό μεταξύ δύο γειτονικών μορίων νερού.  

1o, 2ο, 3ο, 4ο