Εισαγωγή
Ο τελεστής Hamilton
Η εξίσωση του Schrödinger
Εξαγωγή της εξίσωσης
Η φύση της κυματοσυνάρτησης Ψ
Σε τι είδους συστήματα εφαρμόζεται η εξίσωση;

Εισαγωγή

Στην Κλασσική Φυσική για να προσδιορίσουμε την κατάσταση ενός σώματος χρησιμοποιούμε τις συντεταγμένες της θέσης του καθώς και την ταχύτητα του. Στον μικρόκοσμο, όπου κυριαρχεί η κβαντική φυσική, η κατάσταση ενός σωματιδίου προσδιορίζεται με την βοήθεια της κυματοσυνάρτησης Ψ, από την οποία μπορεί να προσδιορίσουμε την πιθανότητα να βρεθεί σε κάποια θέση, την ταχύτητα ή την ενέργεια του. Η κυματοσυνάρτηση Ψ όμως στην κβαντική φυσική προσδιορίζεται από την εξίσωση του Schrödinger.

Πριν όμως ο Schrödinger βρει την εξίσωση του, ήδη (λίγους μήνες πριν) ο Heisenberg το 1925 είχε ανακαλύψει την μηχανική των μητρών. Αφετηρία της μηχανικής μητρών υπήρξε η άποψη πως όταν μελετάμε τον μικρόκοσμο, πρέπει να ενδιαφερόμαστε όχι για τις ποσότητες που είναι αδύνατον να παρατηρηθούν (όπως είναι οι τροχιές των ηλεκτρονίων ή οι περίοδοι περιστροφής τους) αλλά για τα μεγέθη εκείνα που μπορούν να μετρηθούν πειραματικά (οι συχνότητες εκπομπής των φασματικών γραμμών ή οι εντάσεις τους).

Ο Heisenberg διατύπωσε λοιπόν, με βάση τα παρατηρούμενα μεγέθη και με τη βοήθεια των μητρών, το στρυφνό και έντονα μαθηματικοποιημένο πρώτο μοντέλο της Κβαντικής Μηχανικής.

Ο Schrödinger όμως δεν ικανοποιούνταν από αυτό το μοντέλο γιατί αφ' ενός δεν του άρεσαν τα περίπλοκα τεχνάσματα της θεωρίας αυτής και αφ' ετέρου γιατί αδυνατούσε να σχηματίσει οποιαδήποτε  αισθητοποίηση της. Έτσι ακολούθησε το δικό του ανεξάρτητο δρόμο περιγράφοντας μαθηματικά το άτομο με τον ίδιο τρόπο που περιγράφουμε ένα σύστημα που ταλαντώνεται, και εισάγοντας αξιωματικά την ισοδυναμία όλων των δυνατών φυσικών ταλαντώσεων (ιδιοταλαντώσεων) αυτού του συστήματος με τις ευσταθείς ενεργειακές καταστάσεις του ατόμου.

Με την βοήθεια της υπόθεσης του De Broglie ότι τα υλικά σωματίδια με ορμή και ενέργεια συμπεριφέρονταν σαν κύματα με ορισμένο μήκος κύματος και με την στήριξη της αναλυτικής μηχανικής του Ιρλανδού μαθηματικού William Hamilton, ο Schrödinger προχώρησε στην δική του κβαντική εξίσωση για το άτομο του υδρογόνου.

Ο τελεστής Hamilton στην Κβαντομηχανική

Ο Hamilton είχε αναγνωρίσει την αναλογία μεταξύ της γεωμετρικής οπτικής με την κλασσική μηχανική και διατύπωσε τους βασικούς νόμους των φαινομενικά διαφορετικών επιστημών μέσω μαθηματικά όμοιων εξισώσεων .

Στηριζόμενοι στον φορμαλισμό του  Hamilton, αντιστοιχίζουμε διάφορους κβαντικούς τελεστές με τις μετρούμενες παραμέτρους ενός φυσικού συστήματος. Ο τελεστής πχ. που συσχετίζεται με την ενέργεια του συστήματος καλείται Χαμιλτονιανή H. Η Χαμιλτονιανή H περιέχει τις εκφράσεις που σχετίζονται με την κινητική και δυναμική ενέργεια, και για ένα σωματίδιο κινούμενο σε μια μόνο διάσταση χ, μπορεί να γραφεί :                                             

Στο πλαίσιο της προαναφερθείσης αναλογίας μεταξύ οπτικής και μηχανικής, οι νόμοι της κίνησης ενός υλικού σημείου με δεδομένη ενέργεια εντός κάποιου στατικού πεδίου δυνάμεων με μεταβλητό δυναμικό, μοιάζει με τη διάδοση μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας σε ένα οπτικό μέσο με μεταβαλλόμενο δείκτη διάθλασης. Η σταθερή τιμή της ενέργειας του υλικού σημείου αντιστοιχεί στη σταθερή συχνότητα ταλάντωσης του φωτός, ενώ η ταχύτητα του υλικού σημείου αντιστοιχεί στην ομαδική ταχύτητα που χαρακτηρίζει τη διάδοση του φωτός εντός του οπτικού μέσου.  

Η εξίσωση του Schrödinger

Ο Schrödinger αποφάσισε να επεκτείνει τη μαθηματική αναλογία μεταξύ της οπτικής και της μηχανικής, στις κυματικές ιδιότητες του φωτός και της ύλης. Κατόρθωσε λοιπόν με μεγάλη δυσκολία να δώσει την περίφημη εξίσωσή του για το άτομο του υδρογόνου, που είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιλαμβάνει ορισμένες παραμέτρους του σωματιδίου και η λύση της μας δίνει τη ζητούμενη κυματοσυνάρτηση Ψ.

Η εξίσωση, που είναι αξίωμα για την φυσική, συνόψισε όλες τις μέχρι τότε υποθέσεις --κβάντωση της ενέργειας και της στροφορμής-- που είχαν βρεθεί για να εξηγήσουν τη συμπεριφορά του μικρόκοσμου, και έχει τη μορφή:                                                              

Η παραπάνω μορφή είναι η χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση (t=0) για μία διάσταση. Όπου με Ψ παριστάνεται η κυματοσυνάρτηση, με m η μάζα του σωματιδίου που μελετάμε, το Ε δηλώνει την ολική του ενέργεια και το U την δυναμική του ενέργεια.

Ενώ η χρονικά εξαρτώμενη μορφή της εξίσωσης είναι η εξής:        

Η χρονικά ανεξάρτητη μορφή της εξίσωσης Schrödinger αποτελεί μια γενίκευση της υπόθεσης του de Broglie για τις κυματικές ιδιότητες της ύλης. Από μαθηματική άποψη, πρόκειται για μια γραμμική διαφορική εξίσωση της οποίας οι λύσεις περιγράφουν στάσιμα κύματα. Αν λοιπόν μ' αυτήν θέλουμε να περιγράψουμε το άτομο του υδρογόνου,οι επιτρεπόμενες ηλεκτρονιακές τροχιές όπως τις γνωρίζουμε από το ατομικό μοντέλο του Bohr μπορούν πλέον να εκλαμβάνονται ως φυσικές ταλαντώσεις μιας υποθετικής τεταμένης χορδής (ενός υποθετικού ταλαντωτή), η οποία μπορεί να ταλαντώνεται μόνο σε ένα σύνολο διακριτών συχνοτήτων που καθορίζονται από το μήκος της χορδής και από τις οριακές συνθήκες στα άκρα της.

Με τη βοήθεια της εξίσωσης του, ο Schrödinger κατόρθωσε να υπολογίσει τις ενεργειακές στάθμες διαφόρων μορφών μικροσκοπικού ταλαντωτή. Επιλέγοντας το άτομο του υδρογόνου σαν ένα τέτοιο ταλαντωτή, κατέδειξε πως οι θεωρητικά εξαγόμενες ενεργειακές στάθμες αφενός συμπίπτουν με αυτές που λαμβάνονται από την μηχανική μητρών του Heisenberg αφετέρου συμπίπτουν με τα πειραματικά δεδομένα.

Εξαγωγή της εξίσωσης

Έστω ένα κινούμενο σωμάτιο με την ταχύτητα (ορμή) του σταθερή. Σύμφωνα με τον de Broglie αντιστοιχεί σε ένα κύμα με ενέργεια E=hf και ένα μοναδικό μήκος κύματος λ , γι' αυτό και η κυματοσυνάρτηση του είναι αρμονική. 
Οι μη αρμονικές κυματοσυναρτήσεις δεν μπορούν να έχουν ένα μόνο μήκος κύματος.

Η χρονικά ανεξάρτητη αρμονική κυματοσυνάρτηση δίνεται από τη σχέση : 
(1), όπου είναι ο κυματάριθμος (κυματικός αριθμός) του σωματίου. 
Ας παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση αυτή περιγράφει επίσης το στιγμιότυπο ταλάντωσης μιας τεντωμένης χορδής.

Η κινητική  ενέργεια του σωματιδίου γίνεται με τη βοήθεια της ορμής p και της σχέσης του de Broglie p=h/λ :

                                                               ₍₃₎ 

και αντικαθιστούμε την (2) στην (3) :             (4)

Η Κινητική Ενέργεια όμως είναι Κ=Ε-U , όπου Ε η ολική ενέργεια και U η δυναμική του ενέργεια, άρα τελικώς παίρνουμε την εξίσωση του Schrödinger:

Ανάλογα με τις τιμές της δυναμικής ενέργειας U, παίρνουμε και τις διαφορετικές λύσεις ή κυματοσυναρτήσεις Ψ και τις τιμές της ενέργειας που μπορεί να πάρει το σωματίδιο. Επειδή σε πολλά προβλήματα η U μεταβάλλεται με το χ, γι' αυτό λύνουμε την εξίσωση για κάθε τιμή του U ξεχωριστά.

Η φύση της κυματοσυνάρτησης Ψ

Στην περίπτωση των μηχανικών κυμάτων η κυματοσυνάρτηση Ψ είναι πχ. η απόσταση των μορίων μιας χορδής από τη θέση ισορροπίας τους, ή η ενταση του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Τι σημαίνει όμως η κυματοσυνάρτηση Ψ, όταν μιλάμε για σωματίδια;

Στην περίπτωση των σωματιδίων που συμπεριφέρονται σαν κύματα De Broglie δεν πρέπει να φανταστούμε πως τα σωματίδια καταλαμβάνουν έκταση όση και το κυματόδεμα ή ότι η κυματοσυνάρτηση εκφράζει την κατανομή της μάζας τους στο χώρο. Η αντίληψη αυτή είναι λανθασμένη.

Όταν δείχτηκε η ορθότητα της εξίσωσης του Schrödinger, κατέστη η πιο δημοφιλής ανάμεσα στους επιστημονικούς κύκλους.  Αργότερα όμως άνοιξε η συζήτηση για την φύση της κυματοσυνάρτησης Ψ και ως προς αυτό το ζήτημα οι φυσικοί διαιρέθηκαν σε δύο στρατόπεδα.

Στην πρώτη ομάδα των επιστημόνων, ο  Schrödinger απέδιδε φυσική σημασία στην κυματοσυνάρτηση. Το κβαντικό άλμα που συντελούνταν στο άτομο κατά τη μετάβασή του από τη μια κατάσταση στην άλλη ερμηνευόταν ως μετασχηματισμός, που οδηγούσε το σύστημα από την κατάσταση που αντιστοιχεί σε ταλαντώσεις με ενέργεια Εm στην κατάσταση με ενέργεια Εn, όπου η πλεονάζουσα ενέργεια ακτινοβολείται ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Το ηλεκτρόνιο θεωρούνταν σαν ένα φορτισμένο νέφος που περιέβαλλε τον πυρήνα του ατόμου και μπορούσε να παρουσιάζει ενεργειακές μεταπτώσεις παράγοντας ένα χωρικά κατανεμημένο ηλεκτρομαγνητικό κύμα το οποίο διαδίδεται με συνεχή τρόπο χωρίς κβαντικά άλματα. Έτσι συνυπήρχε αρμονικά η κβαντική μηχανική με την κλασσική φυσική. Την άποψη αυτή ασπάστηκαν οι Louis de Broglie, Albert Einstein, Max von Laue και Max Planck.

Η δεύτερη ομάδα, που περιλάμβανε τους Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg και Niels Bohr, θεωρούσε ότι η ημικλασσική ερμηνεία της κυματομηχανικής ήταν εσφαλμένη και ότι αποκλειόταν να κατασκευαστεί μια συνεπής κβαντική θεωρία χωρίς την έννοια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού.

Όμως αργότερα ο Max Born, το 1926, με πειράματα σκέδασης των ηλεκτρονίων και των σωματίων άλφα από πυρήνες, πρόσφερε το κλειδί για να κατανοηθεί η σημασία της κυματοσυνάρτησης Ψ. Το τετράγωνο της Ψ πρέπει να εκληφθεί σαν την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα ή την πυκνότητα του ηλεκτρονιακού νέφους γύρω από τον πυρήνα. Κατά συνέπεια η κυματοσυνάρτηση περιγράφει μεμονωμένα συμβάντα (όπως η εκπομπή ενός κβάντου φωτός) μόνο κατά το ότι καθορίζει την πιθανότητα πραγματοποίησης τους. Αυτή η ερμηνεία έδωσε στέρεα βάση στην κυματομηχανική.

Ο Einstein αντιδρώντας στην πιθανοκρατική ερμηνεία της σχολής της Κοπεγχάγης που εισήγαγε ο Max Born, του έγραψε μια επιστολή που έμεινε στην ιστορία της φυσικής:

“Πιστεύετε σε ένα Θεό που παίζει ζάρια, ενώ εγώ σε πλήρη τάξη και νομοτέλεια του αντικειμενικού κόσμου. Ακόμα και η αρχική μεγάλη επιτυχία της κβαντικής θεωρίας δενμε κάνει να πιστεύω σε έναν πιθανοκρατικό κόσμο, αν και ξέρω καλά, ότι οι νεώτεροι συνάδελφοί σου αποδίδουν την εμμονή μου σε γεροντική άνοια”.

Βέβαια σήμερα η πιθανοκρατική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης έχει επικρατήσει πλήρως. 

Σε τι είδους συστήματα εφαρμόζεται η εξίσωση;

Η εξίσωση Schrödinger ισχύει για συστήματα που ικανοποιούν τους παρακάτω περιορισμούς:
1. Ο αριθμός των σωματιδίων παραμένει σταθερός. Δεν υπάρχουν δηλαδή φαινόμενα εξαΰλωσης και δημιουργίας σωματιδίων.
2. Τα σωματιδια δεν κινούνται με πολύ υψηλές ταχύτητες. Άρα δεν ταιριάζει για σχετικιστικά μοντέλα (Την αδυναμία αυτή κάλυψε η εξίσωση Dirac). Να υπενθυμίσουμε ότι στα ελαφριά άτομα (πχ υδρογόνο) τα ηλεκτρόνια κινούνται αργά. Να γιατί η μη σχετικιστική εξίσωση του Schrödinger έδωσε σωστά αποτελέσματα στο υδρογόνο.
3. Η εξίσωση έχει νόημα για υλικά σωματίδια κι όχι για φωτόνια.

Αναφορές: Κβαντομηχανική Berkeley, Στ. Τραχανά, Serway, Ο κβαντικός κόσμος του J. C. Polkinghorne, Το κβαντικό Σύμπαν των Tony Hey & Patrick Walters καθώς και το βιβλίο της Γ! Λυκείου Κόκκοτα, Περιστερόπουλου κλπ.